Морфологічна обробка зображень

Зміст

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вступ

      Покращення якості зображень є актуальною задачею в системах технічного зору, дистанційному зондуванні, біомедичному аналізі зображень. Як один із засобів її реалізації, останніми роками виділяється саме логарифмічна обробка зображень (ЛОЗ), запропонована у роботах Жорлін та Пінолі [1-3]. Логарифмічна модель представлення зображень є потужним інструментом для обробки та аналізу напівтонових та кольорових зображень, бо відображає особливості психофізичного сприйняття зображень людиною. Оскільки у процесі логарифмічної обробки зображень арифметичні операції безпосередньо враховують нелінійну залежність інтенсивності (рівня сірого) елемента зображення під час його психофізичного сприйняття, то логічним є припустити, що обробка за цим підходом має дати добрі результати. Однак наявність узагальненої логарифмічної моделі вимагає вибору оптимальних значень параметрів у процесі реалізації такої ЛОЗ. Тому актуальним є дослідження оптимальних параметрів узагальненої моделі ЛОЗ для покращання якості обробки зображень.

       Для поліпшення якості зображень використовують різні методи обробки як в частотній, так і в просторовій області. Однак серед багатьох методів покращання якості зображень є методи, які використовують морфологічну обробку. Саме на використання такого підходу під час одночасного застосування логарифмічної моделі зображення і спрямована ця робота. Тому на початку розглянемо базові методи логарифмічної обробки зображень, потім опишемо метод логарифмічної морфологічної обробки, а на завершення застосуємо до відомої логарифмічної морфологічної обробки нову узагальнену модель та з її використанням проведемо дослідження якості опрацьованих за таким підходом зображень. 
 
 

1 Постановка проблеми

     Однією  з фундаментальних проблем аналізу  зображень є створення адекватного  математичного опису зображень, що передає їх зміст, сенс. Іншими словами, це опис має відбивати лише суттєві (з точки зору розв'язуваної задачі) особливості зображення, і не залежати від несуттєвих деталей. У морфологічному аналізі такими несуттєвими характеристиками є умови реєстрації зображень  об'єкта або сцени і параметри  реєструючої апаратури. Методи морфологічного аналізу є, таким чином, кроком на шляху вирішення проблеми опису  семантики зображень.

     Добре відомо, що зображення однієї і тієї ж сцени, які відповідають різним умовам освітлення і (або) зміненим оптичними  властивостями об'єктів можуть відрізнятися радикально. Ця обставина породжує значні труднощі в прикладних задачах  аналізу та інтерпретації зображень  реальних сцен, в яких рішення не повинно залежати від умов реєстрації зображень. Мова йде, наприклад, про  завдання виділення невідомого об'єкта на фоні відомої місцевості, відомого об'єкта на довільному фоні при неконтрольованих умовах освітлення, про завдання поєднання  зображень однієї і тієї ж сцени, отриманої в різних спектральних діапазонах і т.д.

     Для вирішення перерахованих завдань  були розроблені методи морфологічного аналізу зображень, які виявилися достатньо ефективним [4,5].

     Основну ідею цих методів пояснимо на наступному прикладі. Розглянемо зображення, сформоване за допомогою відеокамери у видимому діапазоні спектра. Це зображення несе, як правило, найбільш докладну інформацію про геометричну форму зображуваних об'єктів сцени. Якщо припустити, що одна і та ж поверхня об'єкта, що відображається на відеозображенні областю однорідної яскравості, має однорідні властивості, що відображаються на зображеннях іншої природи - в ІЧ або радіодіапазоні тощо, то будь-які зображення даної сцени, отримані тим або іншим способом, будучи пов'язаними з геометричними властивостями об'єктів сцени, можуть бути отримані шляхом перетворення яскравості відеозображення. У цій ситуації різна природа пристроїв формування зображення або зміну умов освітлення і т.п. можуть моделюватися шляхом всіляких перетворень яскравості вихідного відеозображення. Максимальний інваріант такого класу перетворень визначить все те, що відноситься до даної сцени і не залежить від умов формування зображень -– його можна назвати формою. Оскільки цей інваріант форму сцени повністю не визначає, його називають формою зображення сцени. Відмінності форми одного зображення від форми іншого характеризують властивості сцени, не пов'язані з умовами реєстрації, і можуть відображати зміни у змісті зображуваного - наприклад, наявність нових об'єктів або відсутність старих. Яскравість ІЧ зображень чи зображень локатора, що несе інформацію якісного характеру про фізичні властивості об'єктів - температурному контрасті або відносної швидкості приймача і об'єкта - природно зв'язати з геометричною формою зображення сцени і тим самим “прив'язати” до конкретних об'єктів сцени.

     Важливим  класом задач, що передують вирішенню завдання порівняння за формою пред'явлених зображень, є завдання суміщення і виділення заданих фрагментів. Наприклад, дано зображення місцевості, отримане з деякою “точки зору”, і на ньому виділено певний фрагмент. На іншому зображенні, отриманому при інших умовах і (або) в іншому діапазоні спектра, потрібно вказати виділений фрагмент місцевості і уточнити “точку зору”, з якою воно отримано. Як відомо, в таких завданнях погано працюють широко розповсюджені кореляційні методи [4,5], це зумовлено значним спотворенням розподілу яскравості на шуканому фрагменті в порівнянні з виділеним на вихідному зображенні, яке не зводиться до однорідного зміни яскравості і контрасту фрагменту як цілого.

     Отже, в основі методів морфологічного аналізу лежить математичне поняття  форми. Під формою зображення розуміється  максимальний інваріант перетворень зображення, яким воно піддається при зміні умов спостереження, зміну параметрів реєструючої апаратури та ін [4].

     Форма, таким чином, визначається не тільки досліджуваним об'єктом або сценою, а й тісно пов'язана з моделлю  реєстрації зображення об'єкта або  сцени.

Наприклад, якщо мова йде про завдання порівняння або класифікації об'єктів, що складаються  з однорідно світлорозсіюючих площин по їх зображеннях, отриманих при збереженні ракурсу, але при різних умовах освітлення, то під формою зображення можна розуміти максимальний інваріант перетворення яскравостей зображення, яким є ортогональний проектор в гільбертовому просторі зображень на безліч кусково-постійних зображень [4]. Таким чином, побудова форми зображення є основоположною частиною завдань морфологічного аналізу. 

2 Поняття форми  зображення в задачі  морфологічного аналізу  

Пояснимо  поняття форми зображення спочатку на простому прикладі. Розглянемо зображення “одиниці", представлені на рис.1:

 

Всі представлені на рис.1 зображення мають одну і  ту ж форму (у звичайному розумінні) і відрізняються лише умовами  реєстрації. Формально кожне зображення можна задати як функцію 

,   ,

визначену на поле зору X і приймаючу два значення: і на його подмножествах “одиниці” і – “тлі” відповідно, X (x) - індикаторна функція:

,      , 

причому множини і не перетинаються.

         Слід зазначити, що, крім зображень “одиниці”, можна розглянути зображення однорідного поля зору. Форму такого зображення природно вважати більш простою, ніж форма “одиниці”.

          При такій угоді форма будь-якого зображення f ', отриманого за допомогою перетворення яскравостей F (f ' = F (f)) не складніше, ніж форма f, і ми будемо відзначати цей факт, записуючи f ' <f. Про такі зображення будемо говорити також, що вони порівнюються по формі з f. Зображения f' і f назвемо еквівалентними по формі, якщо f'<f і f'> f. Факт еквівалентності зображень будемо відзначати як f '~ f.

            Форма зображення f складається із зображень f' <f , які порівнюються  по формі з f, але не обовязково можуть порівнюватися за формою між собою. Що стосуєть інших властивостей множин F, визначаючого модуля формування яскравості зображень, то в більшості випадків його можна рахувати випуклим. Випуклість і замкнутість F гарантує для зображення g, що спостерігається існування оператора проеціювання на , який визначається за допомогою рішенням слідуючої задачі найкращого приближення: 
 

Зображення  g є найкращим наближенням зображення g зображеннями, форма яких не складніша, ніж форма f, відповідно, зображення g-g пред-ставляє все те, що відрізняє g за формою від f. 

3 Побудова форми зображення

     Завдання  побудови форми зображення є істотною частиною морфологічного аналізу. Від  того, наскільки якісно побудована форма, істотно залежить і результат  рішення задачі морфологічного аналізу.

     Один  із способів побудови форми полягає  в завданні областей постійної яскравості за фізичними властивостями об'єкта, тобто по розташуванню однорідно таких, що світяться чи відбивають граней або меж відносно спостерігача. Приписуючи цим областям можливі яскравості, отримаєм форму зображення як безліч зображень. Якщо ж ми не маємо настільки докладних відомостей про об'єкт дослідження, то ми можемо побудувати форму по якому-небудь одному зображенню, знаючи, до яких перетворень яскравості даного зображення можуть привести умови, що змінилися спостереження.

     Будь-яке  зображення, форма якого не складніше  f, можна отримати підбором яркостей . Таким чином, побудова форми зображення полягає у визначенні індикаторних функцій . У простому випадку можна діапазон зміни яскравості зображення f розбити на n однакових інтервалів.

     Однак процес реєстрації та оцифрування зображення обов'язково супроводжується деякою погрішністю, тому будемо вважати, що вихідне  зображення деякої системи є сумою  “ідеального”, незашумленим зображення  

f (x) і шуму n (x).

     Як  апроксимувати форму зображення f, якщо саме зображення f ненаблюдаються, а доступна спостереженню лише його спотворена шумом версія g? Для вирішення цієї проблеми скористаємося тим фактом, що безліч кусочно постійних зображень є усюди щільним. Це означає, що існує послідовність {}, що сходиться до f. Апроксимація форми полягає тепер в тому, щоб використовувати форму кусочно постійного зображення , досить близького до f, замість форми зображення f. Близькість зображень і f тут розуміється в тому сенсі, що їх різниця f- повинна бути мала в порівнянні з шумом g.

     Однак саме зображення f ненаглядаємі, в нашому розпорядженні є лише його зашумлена версія x. Тому, вибираючи занадто високу точність апроксимації зображення x кусочно постійним зображенням, ми разом з формою зображення f будемо апроксимувати і форму шумового зображення, що не має відношення до суті проблеми. Якщо ж точність наближення x зображенням недостатня, ми можемо втратити важливі особливості форми зображення f. Тому необхідний критерій вибору точності апроксимації, що дозволяє досягти компромісу між втратою інформації про форму з одного боку та її зашумлення з іншого.

     Будемо  вважати, що проектор досить добре описує форму f, якщо зображення f не помітно на тлі шуму. Критерій того, що в апроксимації форми не упущені важливі робили форми зображення f, може бути ототожнений з критерієм перевірки статистичної гіпотези про параметр розподілу статистики 
 

Розглянемо  тепер способи вибору послідовностей, {}, апроксимуючих зображення g.

1-й  спосіб. Нехай задана послідовність , N = 1,2 ,..., все більш дрібних розбиттях поля зору X, а яскравість , i = 1 ,..., N, вибирається з рішення задачі найкращого наближення 

зображення  g кусочно постійним зображенням. Рішенням цього завдання є числа 

2-й  спосіб. Нехай задана послідовність {,:, }_N, N = 1,2 ,..., яркостей кусочно постійного зображення, і відповідне розбиття {,:, }_N  поля зору X, а яскравість вибирається з рішення наступної задачі найкращого наближення