Специальные функции в системе Maple

 

3.3. Работа со  специальными функциями

3.3.1. Обзор специальных  математических функций

Специальные математические функции являются решениями дифференциальных уравнений, которые невозможно представить  через элементарные функции. Через  такие функции нередко представляются и многие интегралы. Наиболее мощные из СКМ, например Maple, широко используют специальные математические функции в ходе символьных преобразований. Рассмотрим наиболее важные специальные математические функции.

Функция Эйри формирует пару линейно независимых решений дифференциального уравнения вида:

Связь между функцией Эйри и модифицированной функцией Бесселя выражается формулой:

где

Дифференциальное уравнение  вида

где v — неотрицательная константа, называется уравнением Бесселя, а его решения известны как функция Бесселя. J(z) и J_{_}(z) формируют фундаментальное множество решений уравнения Бесселя для неотрицательных значений (так называемые функции Бесселя первого рода):

где для гамма-функции  используется следующее представление:

Второе решение уравнения  Бесселя, линейно независимое от J(z), определяется как

и задает функции Бесселя  второго рода Y(z).

Функции Бесселя третьего рода (функции Ханкеля) и функция  Бесселя связаны следующим выражением:

H⁽¹⁾_v(z) = J_v(z) + iY_v(z),

H⁽²⁾_v(z) = J_v(z) - iY_v(z).

Дифференциальное уравнение  вида

где v — неотрицательная константа — называется модифицированным уравнением Бесселя, и его решения известны как модифицированные функции Бесселя I(z) и I_{_}(z).K(z) — второе решение модифицированного уравнения Бесселя, линейно независимое отI(z). I(z) и K(z) определяются как:

и

Бета-функция определяется как:

где Г(z) — гамма-функция. Неполная бета-функция определяется интегральным выражением:

Эллиптические функции  Якоби определяются интегралом:

В некоторых случаях при  определении эллиптических функций  используются модули k вместо параметра m. Они связаны выражением:

k² = m = sin² α.

Полные эллиптические  интегралы первого и второго  рода определяются следующим образом:

Функция ошибки (интеграл вероятности) определяется следующим образом:

erf(X) — возвращает значение функции ошибки для каждого элемента вещественного массива X.

Остаточная функция  ошибки задается соотношением:

Встречается и масштабированная остаточная функция ошибки. Эта функция  определяется так:

eifcx(x) = е^x² erfc(x)

Интегральная  показательная функция определяется следующим образом:

Гамма-функция определяется выражением:

Неполная гамма-функция определяется как:

Перейдем к функциям, представляющим ортогональные полиномы. Функция Лежандраопределяется следующим образом:

где Р_n(х) — полином Лежандра степени n, определяется так:

3.3.2. Специальные  математические функции системы  Maple 9.5

Maple 9.5 имеет практически полный набор специальных математических функций:

• AiryAi (Bi) — функции Эйри;

• AngerJ — функция Ангера;

• bernoulli — числа и полиномы Бернулли;

• Bessell (J, K, Y) — функции Бесселя разного рода;

• Beta — бета-функция;

• binomial — биноминальные коэффициенты;

• Chi — интегральный гиперболический косинус;

• Сi — интегральный косинус;

• csgn — комплексная сигнум-функция;

• dilog — дилогарифм;

• Dirac — дельта-функция Дирака;

• Ei — экспоненциальный интеграл;

• EllipticCE (CK, CPi, Е, F, K, Modulus, Nome, Pi) — эллиптические интегралы;

• erf — функция ошибок;

• erfc — дополнительная функция ошибок;

• euler — числа и полиномы Эйлера;

• FresneIC (f, g, S) — интегралы Френеля;

• GAMMA — гамма-функция;

• GaussAGM — арифметико-геометрическое среднее Гаусса;

• HankelH1 (Н2) — функции Ганкеля;

• harmonic — частичная сумма серии гармоник;

• Heaviside — функция Хевисайда;

• JacobiAM (CN, CD, CS, DN, DC, DS, NC, ND, NS, SC, SD, SN) — эллиптические функции Якоби;

• JacobiTheta1 (2, 3, 4) — дзета-функции Якоби;

• JacobiZeta — зет-функция Якоби;

• KelvinBer (Bei, Her, Hei, Ker, Kei) — функции Кельвина;

• Li — логарифмический интеграл;

• InGAMMA — логарифмическая гамма-функция;

• MeijerG — G-функция Мейджера;

• pochhammer — символ Похгамера;

• polylog — полилогарифмическая функция;

• Psi — дигамма-функция;

• Shi — интегральный гиперболический синус;

• Si — интегральный синус;

• Ssi — синусный интеграл смещения;

• StruveH (L) — функции Струве;

• surd — неглавная корневая функция;

• LambertW — W-функция Ламберта;

• WeberE — Е-функция Вебера;

• WeierstrassP — Р-функция Вейерштрасса;

• WeierstrassPPrime — производная Р-функции Вейерштрасса;

• WeierstrassZeta — зета-функция Вейерштрасса;

• WeierstrassSigma — сигма-функция Вейерштрасса;

• Zeta — зета-функция Римана и Гурвица.

Ввиду большого числа специальных  функций и наличия множества  примеров их вычисления в справочной системе Maple 9.5, ограничимся несколькими примерами вычисления наиболее распространенных специальных функций. По их подобию читатель может опробовать в работе и другие специальные функции.

На рис. 3.13 даны примеры применения ряда специальных функций. Обратите особое внимание на первый пример. Он показывает, как средствами системы Maple задается определение функций Бесселя. Показано, что функции Бесселя являются решениями заданного на рис. 3.13 дифференциального уравнения второго порядка. Система Maple 9.5/10 способна вычислять производные и интегралы от специальных функций.

Рис. 3.13. Примеры применения специальных функций

 

Еще несколько примеров работы со специальными функциями представлено на рис. 3.14. Как видно из приведенных  примеров, на экране монитора можно  получить математически ориентированное  представление специальных функций, обычно более предпочтительное, чем  представление на Maple-языке или  в текстовом формате. Записи функций  при этом выглядят как в обычной  математической литературе.

Рис. 3.14. Примеры работы со специальными математическими функциями

 

На рис. 3.14 показаны примеры  разложения специальных функций  в ряды и применения функции convert для их преобразования. Любопытно отметить, что в двух первых примерах рис. 3.14 вывод оказался иным, чем в предшествующих версиях Maple. Да и в них вывод для этих примеров отличался. Это говорит о непрерывной работе разработчиков над алгоритмами символьных вычислений и необходимости переработки примеров при переходе от одной версии Maple к другой.

3.3.3. Построение  графиков специальных функций

Много информации о поведении  специальных функций дает построение их графиков. На рис. 3.15 показано построение семейства графиков функций Бесселя  BesselJ разного порядка и гамма-функции. Эти функции относятся к числу наиболее известных. Если читателя интересуют те или иные специальные функции, следует прежде всего построить и изучить их графики.

Рис. 3.15. Графики функций  Бесселя и гамма-функции

3.3.4. Консультант  по функциям

Математикам, серьезно работающим с функциями, большую помощь может  оказать имеющийся в составе  Maple 9.5 консультант по функциям, вводимый командой:

FunctionAdvisor()

FunctionAdvisor(topics, quiet)

FunctionAdvisor(Topic, function, quiet)

Здесь: topics — строковый параметр, задающий вывод тематической информации, quiet — строковый параметр, указывающий на вывод вычислительных данных, Topic — задание темы и function — задание имени функции или класса функций.

Команда FunctionAdvisor() выводит правила применения консультанта по функциям (файл funcadv):

> FunctionAdvisor(); The usage is as follows:

> FunctionAdvisor( topic, function, ... );

where 'topic' indicates the subject on which advice is required, 'function' is the name of a Maple function, and '...' represents possible additional input depending on the 'topic' chosen. To list the possible topics:

> FunctionAdvisor( topics ); A short form usage,

> FunctionAdvisor(function);

with just the name of the function is also available and displays a summary of information about the function.

Следующие примеры показывают вывод определений функций Бесселя:

> FunctionAdvisor(describe, Bessel);

BesselI = Modified Bessel function of the first kind,

BesselJ = Bessel function of the first kind,

BesselK = Modified Bessel function of the second kind,

BesselY = Bessel function of the second kind

> FunctionAdvisor(describe, BesselJ);

BesselJ = Bessel function of the first kind

В следующем примере выводится  информация о представлении функции  синуса в виде ряда, представленного  суммой его членов:

> FunctionAdvisor(sum_form, sin);

Еще один пример показывает вывод интегрального представления  синусного интеграла Френеля:

> FunctionAdvisor(integral form, FresnelS);

Представленные примеры  дают представление лишь о малой  части возможностей консультанта по функциям. С этим мощным средством  получения информации о функциях можно дополнительно познакомиться  по справке о нем, содержащей множество  интересных примеров применения консультанта по функциям.