Специальные функции в системе Maple

Maple — программный пакет, система компьютерной алгебры. Является продуктом компании Waterloo Maple Inc., которая с 1984 года выпускает программные продукты, ориентированные на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование.

Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, напоминающий Паскаль.

Программное обеспечение Maple позволяет моделировать многокомпонентные технические системы и содержит инструменты для подготовки технической документации. Maple предлагает глубину, размах, точность и производительность вычислений для решения любых математических и инженерных задач, независимо от того, требуются ли элементарные проектные расчеты и алгоритмы или разработка комплексных моделей, логическое моделирование и обучение математике. Интуитивный интерфейс Maple 15 фиксирует все технические данные пользователя, содержит множество средств анализа, функцию редактирования уравнений, контекстные меню, палитры для быстрого начала работы. Продукт Maple 15 является незаменимой системой компьютерной алгебры для инженеров, математиков и ученых.  
Начинающим пользователям система Maple 15 представляет средства обучения и инструменты для пошагового решения наиболее сложных задач. Специалистам предоставляется удобный доступ к дополнительным ресурсам для быстрого получения ответов на различные вопросы. Продукт Maple 15 интегрирован с ведущими САПР-системами, включая известную платформу NX. Maple предлагает усовершенствованные и высокопроизводительные средства численных и символьных вычислений с возможностью представления математических результатов в виде подробной технической документации. Система обеспечивает высокое качество графики и анимации и включает комплекс инструментов для редактирования документов и средства управления визуализацией результатов.  
Основные возможности Maple 15:

• Создание передаточных функций для моделей на основе дифференциальных уравнений, пространства состояний, полюсов и нулей коэффициентов усилений.
• Быстрое преобразование модели из одной формы в другую.
• Графический анализ: построение схем частотных характеристик, графиков корневых годографов, графическое изображение нулей и полюсов линейных систем.
• Генерации сигналов различных форм волн для создания импульсных, периодических, синусоидальных, шаговых, прямоугольных и треугольных тестовых сигналов.
• Имитация дискретных и непрерывных систем.
• Решение дифференциальных уравнений с помощью усовершенствованных алгоритмов решения стандартных дифференциальных уравнений (ODEs), дифференциальных уравнений с частными производными (PDEs) и дифференциальных алгебраических уравнений (DAEs).
• Использование новых алгоритмов для решения классов нелинейных стандартных дифференциальных уравнений 1 и 2 порядка и линейных дифференциальных уравнений 3 порядка.
• Применение новых алгоритмов для преобразования уравнений в формы, подходящие для решения в Maple.
• Усовершенствованные инструменты для работы с уравнениями с частными производными включают команды для работы с оператором Эйлера, сохраняющимися потоками и обобщенными интегрирующими множителями.
• Решение задач с задаваемыми пользователем событиями, параметрических задач, определение дискретных переменных при постановке задачи: в комбинации с событиями дискретные переменные могут быть использованы для определения критериев остановки, условий возврата и многих других событий, имеющих место в процессе решений.
• Интерполяции кривых с возможностью просмотра и уточнения результатов благодаря команде ArrayInterpolation для многомерной интерполяции данных.
• Улучшенные опции для программирования.
• Анализ и решение систем параметрических полиноминальных уравнений и неравенств.
• Команда для вычисления тензора Кронекера произведения двух матриц.
• Преобразование кодов MATLAB в Maple.
• Интеграция с базами данных Microsoft SQL Server, MicrosoftAccess, Sybase, Oracle, IBM DB2 и MySQL.
• Возможность делать запросы, обновлять и создавать базы данных в среде Maple.

Версии Maple 15:

• Maple 15 Professional– издание для частных и государственных лабораторий, бизнеса, коммерческих исследовательских объединений.

• Maple 15 AcademicEngineering– издание для академических организаций, факультетов и кафедр инженерной специализации.

• Maple 15 AcademicMath– издание для академических организаций, кафедр и факультетов математической специализации.

• Maple 15 PersonalEdition – издание для домашних и индивидуальных пользователей.

 
 
Новые возможности  Maple 15: 
Новая версия Maple 15 предлагает множество опций, повышающих эффективность параллельных вычислений как на многоядерных машинах, так и на крупных вычислительных кластерах и суперкомпьютерах, что позволяет еще быстрее решать возникающие задачи. Одним ключевых преимуществ новой версии является высочайшая скорость решения дифференциальных уравнений. Столь же значительные улучшение внесены и во все остальные математические функции, в том числе базовые операции и комплексные алгоритмы обработки данных. Дополнительно в состав пакета включено более 27 совершенно новых математических функций.

• Автоматический параллелизм – программа самостоятельно определяет и задействует все доступные ядра процессоров для параллельного выполнения вычислений.
• Запуск нескольких вычислительных процессов напрямую из уровня пользователя без необходимости получать права администратора.
• Решение до 96% стандартного набора дифференциальных уравнений.
• Новый диспетчер переменных, обеспечивающий улучшенный контроль в сеансах Maple с помощью управления состояниями вычислительных заданий.
• Интерактивные инструменты ClickableMath – более 40 новых мини-демонстраций, помогающих изучать или наглядно демонстрировать основные математические понятия.
• Многопоточное программирование.
• Поддержка CUDA, в том числе на платформах Mac OS X.
• Менеджер переменных, предоставляющий простой доступ к переменным, заданным в ходе сеанса пользователя.
• Новая таблица данных, которую можно встраивать непосредственно в документ пользователя.
• Интерактивные ассистенты и шаблоны заданий – свыше 60 ассистентов и около 350 шаблонов заданий.
• Свыше 160 типов графиков и опций для визуализации выражений и данных.
• Быстрое создание всеобъемлющих приложений, включающих интерактивные элементы – ползунки, кнопки и шкалы.
• Возможность быстрого поиска документов в «облачном» хранилище MapleCloud.
• 17 новых команд в комплекте «Дифференциальная геометрия».
• Отображение всех возможных решений параметрических полиномиальных уравнений в зависимости от свойств неизвестных параметров.
• Новые команды в компоненте статистики.
• Генерация кода на языках C#, C, Java, Fortran, VisualBasic и MATLAB.
• Подключение к Интернету для извлечения и экспорта результатов на web-сайты или импорта данных из интернет-источников в среду Maple.
• Возможность использовать вычисления Maple для анализа и оптимизации CAD-проектов.

Назначение и место  систем Maple

Maple – система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, и это указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.

Для наших читателей (в том числе  и для математиков-профессионалов) возможности систем символьной математики, реализованных на массовых ПК класса IBM PC, порой являются полной неожиданностью и вызывают вполне заслуженное удивление  и восхищение, но иногда и резкое отрицание. Впрочем, последнее характерно скорее для тех, кто с системой Maple просто не работал и относится к ней, как дама из анекдота о паровозе – увидев паровоз впервые, она воскликнула: "Не может быть, что он едет без лошадей!" Maple – тщательно и всесторонне продуманная система компьютерной математики. Она с равным успехом может использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений и выкладок. Заслуженной популярностью системы Maple пользуются в университетах – свыше 300 самых крупных университетов мира (включая и наш ЧГУ) взяли эту систему на вооружение. А число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило один миллион. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например в MATLAB и Mathcad, для реализации в них символьных вычислений.

Добавьте к этому куда большее число незарегистрированных пользователей – ведь система записана на многих компакт-дисках, лихо продаваемых в России по вполне доступным ценам. Если учесть все это, то оказывается, что популярность системы Maple ничуть не ниже, а то и выше, чем у гораздо более простых систем, таких как Derive и Mathcad.

Maple – типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

• мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);
• редактор для подготовки и редактирования документов и программ;
• современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;
• мощную справочную систему со многими тысячами примеров;
• ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;
• численный и символьный процессоры;
• систему диагностики;
• библиотеки встроенных и дополнительных функций;
• пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется  полный доступ прямо из программы. Maple – одна из самых мощных и "разумных" интегрированных систем символьной математики, созданная фирмой WaterlooMaple, Inc. (Канада).

Во многих обзорах систем компьютерной алгебры Maple справедливо считается одним из первых кандидатов на роль лидера среди них. Это лидерство она завоевывает в честной конкурентной борьбе с другой замечательной математической системой – Mathematica 4.1. Каждая из данных двух систем имеет свои особенности, но в целом эти две лидирующие системы практически равноценны. Однако надо отметить, что появление новейшей версии Maple означает очередной виток в соревновании этих систем за место лидера мирового рынка. Причем виток на этот раз раньше сделала система Maple.

Система Maple прошла долгий путь развития и апробации. Она реализована на больших ЭВМ, рабочих станциях Sun, ПК, работающих с операционной системой Unix, ПК класса IBM PC, Macintosh и др. Все это самым положительным образом повлияло на ее отработку и надежность (в смысле высокой вероятности правильности решений и отсутствия сбоев в работе). Не случайно ядро системы Maple используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса Mathcad и MATLAB.

Математические функции  
Понятие о встроенных функциях  
Maple 15 имеет полный набор элементарных математических функций. Все они, кроме арктангенса двух аргументов, имеют один аргумент х, например sin(x). Он может быть целым, рациональным, дробно-рациональным, вещественным или комплексным числом. В ответ на обращение к ним элементарные функции возвращают соответствующее значение. Поэтому они могут быть включены в математические выражения. Все описанные здесь функции называются встроенными, поскольку они реализованы в ядре системы.  
Как правило, если аргументом функции является фундаментальная константа, целое или рациональное число, то функция выводится с таким аргументом без получения результата в форме действительного числа с плавающей точкой. Например:

Нетрудно заметить, что  есть и исключения из этого правила  — например, на экране монитора ехр(1) будет выведено как константа е, а значение функции arcsin( 2) все же вычислено и результат получен как 1/6 от константы Pi. Вообще говоря, если результат выражается через фундаментальную математическую константу, то он будет вычислен и представлен ею. В противном случае функция с целочисленным и рациональным аргументом или с константой просто повторяется в строке вывода в установленном для этой строки формате.  
Для получения подробной информации о некоторой произвольной функции <f> достаточно задать команду:  
?<f> 
Ввиду общеизвестности элементарных функций мы не будем обсуждать ни их свойства, ни допустимые для них пределы изменения аргумента.

Некоторые целочисленные  функции и факториал  
Ниже представлены наиболее распространенные целочисленные функции Maple 15, используемые в теории чисел:  

• factorial (n) — функция вычисления факториала (альтернатива — оператор !);
• iquo(a.b) — целочисленное деление а на b;  
• irem(a,b) — остаток от деления а на b;  
• igcd(a b) — наибольший общий делитель;  
• lcm(a,b) — наименьшее общее кратное.

Примеры применения:

В последних двух примерах применения оператора факториала полезно  обратить внимание, что запись n!! означает лишь (n!)!, а не n!! = 2*4*6*…, то есть произведение четных целых чисел. Действие других функций очевидно.  
Тригонометрические функции 
В ядре Maple определены следующие тригонометрические функции:  

• sin — синус;  
• cos — косинус;  
• tan — тангенс;  
• sec — секанс;  
• csc — косеканс;  
• cot — котангенс.

Все эти функции являются периодическими (с периодом 2л, кроме  тангенса и котангенса, у которых  период равен л) и определены для  действительного и комплексного аргументов. Примеры вычислений:

Многие свойства тригонометрических функций можно оценить, рассматривая их графики. Для построения таких  графиков можно использовать функцию  piot. сверху показаны графики ряда тригонометрических функций.

Из графиков тригонометрических функций хорошо видна их периодичность. Функция тангенса имеет разрывы, и ее значение в этих точках в  пределе равно бесконечности. Поэтому  для наглядного ее представления  вместе с функциями синуса и косинуса (их экстремальные значения по модулю равны 1) приходится вводить ограничения  на масштаб графика по оси у.  
ПРИМЕЧАНИЕ   
Обратите внимание на параметр color=black в функции построения графиков plot. Он  задает построение всех графиков черным цветом, что сделано для более четкой печати их в книге. Если убрать этот параметр, то графики разных функций будут строиться с использованием разных цветов, что облегчит их различение. Другие способы выделения отдельных кривых будут описаны в дальнейшем при описании графических возможностей системыMaple 15.

Понятие о встроенных функциях

Maple имеет полный набор элементарных математических функций. Все они, кроме арктангенса двух аргументов, имеют один аргумент х, например sin(x). Он может быть целым, рациональным, дробно-рациональным, вещественным или комплексным числом. В ответ на обращение к ним элементарные функции возвращают соответствующее значение. Поэтому они могут быть включены в математические выражения. Все описанные здесь функции называются встроенными, поскольку они реализованы в ядре системы.