Автор: Пользователь скрыл имя, 31 Октября 2011 в 14:55, лекция
Под системой счисления (с/c) понимают способ записи чисел с помощью цифр и символов (букв). Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления "вес" цифры зависит от ее местоположения , позиции в числе. Непозиционной системой счисления, например, является римская система счисления. В вычислительной технике широко используются позиционные системы счисления.
Основанием системы счисления называется количество цифр и символов, используемых в ней (обозначим основание через р). Величина р показывает, во сколько раз численное значение единицы данного разряда больше численного значения последущего разряда.
Под системой счисления (с/c) понимают способ записи чисел с помощью цифр и символов (букв). Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления "вес" цифры зависит от ее местоположения , позиции в числе. Непозиционной системой счисления, например, является римская система счисления. В вычислительной технике широко используются позиционные системы счисления.
Основанием системы счисления называется количество цифр и символов, используемых в ней (обозначим основание через р). Величина р показывает, во сколько раз численное значение единицы данного разряда больше численного значения последущего разряда.
В позиционной системе счисления с основанием р число R можно представить в развернутом виде:
где -целые положительные числа, со значением от 0 до p-1 .
Обычно число R представляется с помощью коэффициентов в виде:
Наибольшее распространение получили двоичная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.
Примеры записи чисел в различных системах счисления.
В памяти ПК информация представляется в двоичной системе счисления.
1.1. Двоичная система счисления
Для представления чисел в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1. Основание системы счисления записывается как
Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются с помощью таблиц по тем же правилам, что и в 10 системе счисления.
0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 * 0 = 0
0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 0 * 1 = 0
1 + 0 = 1 1 – 1 = 0 1 * 0 = 0
1 + 1 = 10 10 – 1 = 1 1 * 1 = 1
В ЭВМ для записи результатов вычислений количество разрядов ограничено и определяется конструкцией устройства.
Рассмотрим
примеры выполнения операций в двоичной
системе счисления. Результаты будем
округлять до четырех знаков после
запятой.
0.0110111 0.101101 1.1101
+0.1101101 -0.010110 *0.0101
1.0100100 0.010111 11101
Ответ: 1.0101 Ответ: 0.011 11101
1.2. Шестнадцатеричная система счисления
Для
представления чисел в
Основание системы счисления записывается как .
(
).
Таблица
сложения цифр в шестнадцатеричной
системе счисления
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
| 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
| 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
| 9 | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
| A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | |
| B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | |
| C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | |
| D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D | |
| E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E | |
| F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E | 1F | |
Таблица
умножения цифр в шестнадцатеричной
системе счисления
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | A | C | E | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 1A | 1C | 1E |
| 3 | 3 | 6 | 9 | C | F | 12 | 15 | 18 | 1B | 1E | 21 | 24 | 27 | 2A | 2D |
| 4 | 4 | 8 | C | 10 | 14 | 18 | 1C | 20 | 24 | 28 | 2C | 30 | 34 | 38 | 3C |
| 5 | 5 | A | F | 14 | 19 | 1E | 23 | 28 | 2D | 32 | 37 | 3C | 41 | 46 | 4B |
| 6 | 6 | C | 12 | 18 | 1E | 24 | 2A | 30 | 36 | 3C | 42 | 48 | 4E | 54 | 5A |
| 7 | 7 | E | 15 | 1C | 23 | 2A | 31 | 38 | 3F | 46 | 4D | 54 | 5B | 62 | 69 |
| 8 | 8 | 10 | 18 | 20 | 28 | 30 | 38 | 40 | 48 | 50 | 58 | 60 | 68 | 70 | 78 |
| 9 | 9 | 12 | 1B | 24 | 2D | 36 | 3F | 48 | 51 | 5A | 63 | 6C | 75 | 7E | 87 |
| A | A | 14 | 1E | 28 | 32 | 3C | 46 | 50 | 5A | 64 | 6E | 78 | 82 | 8C | 96 |
| B | B | 16 | 21 | 2C | 37 | 42 | 4D | 58 | 63 | 6E | 79 | 84 | 8F | 9A | A5 |
| C | C | 18 | 24 | 30 | 3C | 48 | 54 | 60 | 6C | 78 | 84 | 90 | 9C | A8 | B4 |
| D | D | 1A | 27 | 34 | 41 | 4E | 5B | 68 | 75 | 82 | 8F | 9C | A9 | B6 | C3 |
| E | E | 1C | 2A | 38 | 46 | 54 | 62 | 70 | 7E | 8C | 9A | A8 | B6 | C4 | D2 |
| F | F | 1E | 2D | 3C | 4B | 5A | 69 | 78 | 87 | 96 | A5 | B4 | C3 | D2 | E1 |
Ниже приведены примеры выполнения операций в шестнадцатеричной системе счисления:
287.AB
EC2A.82
+
65.52
-BD7C.9A
1.3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Правило 1. Перевод чисел из р-ичной системы счисления в q-ичную, если имеет место соотношение (к-целое положительное число), наиболее прост. В этом случае перевод из р-ичной системы счисления в q-ичную осуществляют поразрядно, заменяя каждую р-ичную цифру равным ей к-разрядным числом, записанным в q-ичной системе счисления.
Перевод из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием р осуществляют следующим образом. Двигаясь от запятой вправо и влево, разбивают запись числа на группы по к цифр. Если при этом крайние группы окажутся неполными, то их дополняют до к цифр незначащими нулями. Затем заменяют каждую группу цифр ее р-ичным изображением.
Рассмотрим примеры:
а) перевести число в 16 с/c
б)перевести число BC5AD416 в 2 с/c
Рассмотрим более общее правило перевода чисел. В этом случае перевод производится отдельно для целой и дробной частей числа.
Правило 2. Перевод целой части числа.
Целую часть числа, записанную в р-ичной системе счисления, делят на основание новой системы q до получения целого частного(все операции выполняются по правилам р-ичной системы счисления). В остатке получается число, являющееся последней(младшей) цифрой записи числа в q-ичной системе счисления (эта цифра записана в р-ичной системе, надо перейти в q-ичную систему).
Полученное частное снова делят на основание q. В остатке будет число, являющееся предпоследней цифрой искомой записи, и т.д. Операцию деления повторяют до тех пор, пока в частном не получат число, меньшее q. Это будет первая (старшая) цифра записи переводимого числа в q-ичную систему счисления.
Рассмотрим примеры:
а)перевести число из 10 с/с в 2 с/с
б)перевести число из 10 с/с в 16с/с
в)перевести число из 2 с/с в 10 с/с. Удобно использовать 16 с/с.
г)перевести число из 16 с/с в 10 с/с
Можно использовать правило 2, но удобнее применить разложение шестнадцатеричного числа по степеням основания 16 и вычислить полученную сумму.
Правило 3. Перевод дробной части числа.
Дробную часть числа, записанную в р-ичной системе счисления, умножают в р-ичной системе на основание q.Целая часть произведения будет первой (старшей) цифрой изображения дроби в q-ичной системе.
Дробную часть произведения снова умножают на q. Целая часть произведения будет следующей цифрой записи дроби в q-ичной системе счисления. Процесс продолжают до тех пор, пока дробная часть произведения не будет нулевой или пока не получат требуемое количество знаков записи дроби в q-ичной системе счисления.
а)перевести дробное число из 10 с/с в 2 с/с
б)перевести дробное число из 10 с/с в 16с/с
в)перевести дробное число из 2 с/c в 10 с/c
Можно использовать правило 3,но удобнее применить разложение двоичного числа по степеням основания 2 и вычислить полученную сумму.
г)перевести число из 16 с/с в 10 с/с. Можно использовать правило 3,но удобнее применить разложение шестнадцатеричного числа по степеням основания 16 и вычислить полученную сумму.