Разработка систем автоматического регулирования

Получаем,

W_о.р.(р) =                    W_о.р.(iw) =                   W_о.р.(w) =

 

W	0	0,5	1	2	3
A	0	2	1	0,5	0,3

 

 

 

 

Частотная характеристика датчика:

Частотная характеристика датчика — один из параметров, характеризующих качество системы, воспроизводящей изображения такими системами, в частности, являются оптические приборы.

W_{д (р)} =                            W_{д (iw)} =

 

Для  выделения действительного  и мнимого значений умножаем числитель  и знаменатель на сопряженное  число знаменателя:

W_{д (iw)} = * = = - )

 

 

 

В результате получим действительную и мнимую части. Далее определим  модуль:

 

а =               =          А ( =

 

А_д ( = 2 = 2 =

А_д ( =

W	0	1	2	3
А	0	2,9	2,2	2,1

 

 

 

 

                   Частотная характеристика регулятора:

Основной характеристикой  регулятора является диапазон изменения коэффициента усиления.

W_{р (р)} =                       W_{р (iw)} =

W_{р (iw)} = * = = *

а =                    =

А ( =

А_р ( = = = К, где

К = ≈ 1, при

 А_р ( =

W	1	2	3	4
A	0,68	0,72	0,78	0,81

 

 

 

 

Частотная характеристика ИМ:

Частотная характеристика ИМ описывает сигнал на его входе и выходе. ИМ используют в качестве характеристики звукового устройства.

W_{и.м. (р)} =           W_и.м. =         А_и.м. ( = =

W	0	1	2	3
A	0	0,4	0,2	0,13

 

 

 

 

Определим частотную характеристику цепи обратной связи ДРИМ.

Частотной характеристикой ДРИМ называют зависимость модуля коэффициента усиления от частоты.

А_о.с. ( = А_д. ( * А_р. ( * А_и.м. (

А_о.с. ( =

W	0	1	2	3
A	0	0,78	0,31	0,21

 

 

15) Определение  параметров устойчивой системы.

Понятие устойчивости системы  регулирования связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Устойчивость системы можно определить по критериям: Гурвиц-Раусса, Михайлова, Ляпунова, Найквиста.

Критерий устойчивости Гурвиц-Раусса.

Задача критерия устойчивости для  систем, описываемых дифференциальными  уравнениями любого порядка, была сформулирована Рауссом в 1868 году. Поскольку критерий Раусса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Теорема Раусса — Гурвица дает способы характеризации устойчивых многочленов.

Критерий устойчивости Михайлова  относится к частным критериям устойчивости, в основе критерия используется полином, стоящий в левой части характеристического уравнения. 
Критерий Михайлова формулируется следующим образом для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического вектора, начинаясь при w=0 на действительной оси с увеличением частоты от 0 до бесконечности, обходим последовательно в положительном направлении против часовой стрелки n квадратов, где n- порядок характеристического уравнения. Устойчивость системы находим следующим образом:

- по положению корней р₁ и р₂ на координатной плоскости;

- по кривой годографа.

Определение устойчивости системы  по положению корней р₁ и р₂

р₁ = -2 + 3,4i                   р₂ = -2 – 3,4i       

Особенности определения  устойчивости по Ляпунову.

1. В основе определения устойчивости по Ляпунову лежит понятие числа, а не бесконечно малой величины.

2. Возмущения действуют только в начальный момент времени мгновенные возмущения.

3. Устойчивость рассматривается на бесконечном интервале времени

4. Устойчивость по Ляпунову - понятие математическое в том смысле, что в определении говорится об устойчивости относительно величин . Невозмущенное движение может быть устойчиво относительно одних величин и неустойчиво относительно других.

 

 

 

16) Построение годографа.

Определим устойчивость по критерию Найквиста:

W_{c (р)} =

В знаменателе заменим  выражение р на i

У = + 1,8 + 1,26 + 4 + 4 = – 1,8 – 1,26 + 4 + 4

Разделим на действительную и мнимую части

R_е ( = - 1,26 + 4

I_m ( = 1,8 – 4

Для определения реперных точек годографа приравняем мнимую часть к нулю и определим частоты:

I_m ( = 0

1,8 - 4 = 0                                 = 0

w(6.5 – 6.65 )= 0

6.65 = 6.5

= 0.97                                             = 0.98       = -0.98 – не учитывается

 

Подставим значения этих частот в выражения действительной части

R_е ( = 3.4

R_е ( = 4.4

 

Определим частоты, при условии, что действительная часть равна нулю

- 2 + 2.46 = 0

 

Введем новую  переменную = х и получим квадратное уравнение

х²  - 2х + 2.46 = 0

Д = (- 2)² – 4 * 2.46 = -0.92 0

 

Уравнение имеет  мнимые корни, значит, годограф не пересекает мнимую ось. Для определения других реперных точек определим максимальное значение годографа по условиям dI_m/d = 0 и dR_e/d = 0

 

 

I_m⁽) = (2 – 12 = 2 * 3- 12 = 6 – 12

6 – 12 = 0

12 = 6

= 0.5

= 0,7

= - 0,7 – не учитывается

 

R_e⁽) = – 2.03 + 4) ^{= 4} - 4,5

4 - 4,5 = 0        

4 - 4,5 = 0                                = 0

1

= 1

= - 1 –  не учитывается

 

I_m(0,67) = 1,2

R_e (0) = 4

I_m (2) = -39,5

R_e (1) = 0,7

R_е (2) = 12

 

 

Соединим реперные точки:

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно критерию Найквиста кривая не должна пересекать ось R_e в отрицательной полуплоскости за пределами точки (-1; i₀). Из этого критерия следует, что наша система устойчива.  Особенность этого критерия заключается в том, что устойчивую замкнутую систему определяют, используя амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) разомкнутой системы. Разомкнутая система смысла не имеет. Большим запасом устойчивости обладает замкнутая система.  Иногда АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0до бесконечности несколько раз пересекает отрицательную, действительную полуось комплексной плоскости. В этом случае замкнутая система будет устойчивой.

 

 

 

Вывод: По результатам  расчетов система является устойчивой. И время регулирования, говорит  о том, что элементы цепи обратной связи в системе выбраны оптимальным  образом и создают благоприятные  условия для рабочей системы.