Разработка систем автоматического регулирования

 

Статическая характеристика исполнительного механизма:

Исполнительный  механизм - механизм осуществляющий воздействие на технологический объект управления.

Исполнительный  механизм не только изменяет состояние управляемого объекта, но и перемещает регулирующий орган в соответствии с заданным законом регулирования при минимально возможных отклонениях. Обычно состоит из двигателя, передачи и элементов управления, а также элементов обратной связи, сигнализации, блокировки, выключения.

 

 У_и.м =

У_и.м = =

У_и.м =

Уи.м	0	4,9
Xи.м.	0	5

 

 

2) Определение графическим методом общей статической характеристики обратной связи – ДРИМ.

Для определения общей  статической характеристики цепи обратной связи изобразим статическую  характеристику звеньев на общей  плоскости.

Для определения результирующей статической характеристики разбиваем  ось на равные промежутки 0, 1, 2, 3, 4 и  т.д. Из точек 1, 2, 3 проводим перпендикуляр до пересечения с линейной статической характеристикой датчика; из точек А, Б, С проводим перпендикуляр до пересечения с линейной статической характеристикой регулятора; из этих точек опускаем перпендикуляр. Из новых точек проводим горизонтальный перпендикуляр А3, Б3, С3, соединяя эти точки, получаем результирующую характеристику общей системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Построение статической  характеристики объекта регулирования  и системы управления 

Для определения взаимосвязи  между статической характеристиками объекта и ДРИМ изобразим их в одной системе координат.

 

∆x=2,9

∆y=0,6

 

 

 

 

 

 

 

В результате эти 2 статические  характеристики пересекаются, в точке А. Эта точка называется рабочей. Угол пересечения равен 40 градусов. Систему будем считать неустойчивой.

4) Определение на графиках рабочей точки и угла между статическими характеристиками.

Для определения взаимосвязи  между статическими характеристика 
ми объекта и ДРИМ изобразим их в одной системе координат. В результате эти две статические характеристики пересекутся в точке А  
Эта точка называется рабочей. Угол пересечения этих двух статических характеристик равен 40°. Система является неустойчивой

Из теории автоматического  регулирования известно: при пересечении двух статических характеристик под углом 60...90° система характеризуется хорошей устойчивостью.

 

5) Динамический коэффициент регулирования Д = и определение                               К_о.с

На основании рисунка  по одной из характеристик определим  возможный диапазон изменений входного параметра. Фиксируем две точки  этого диапазона. И с помощью  этой характеристики определяется диапазон изменения выходного параметра. В результате по статической характеристике ДРИМ определяем,

D=∆Y/∆X

D=0,2                K=0,2

Вывод:  D < 1, то в цепь обратной связи требуется включить усилительный элемент с коэффициентом передачи, К = 0,2.

 

6) Определение аналитическим выражением регулирующей системы – ДРИМ.

Для определения аналитического выражения работы регулирующей системы, осуществим преобразование статической  характеристики датчика, регулятора и  исполнительного механизма.

X_o=X_o/N  - Р.О.

У_д= – X_д  - датчик

У_р=X_р   - регулятор

У_и.м =  - И.М.

Из структурной схемы  следует, что

У_д = Х_р

У_р = Х_и.м.

Подставим уравнение датчика  в уравнение для регулятора. Результирующее уравнение подставим в уравнение  для исполнительного механизма.

У_р=*У_д = ( _√10 - Х_д) =6,3 – 2Х_д     

Х_и.м = = * У_р 6,3– 2Х_д                 

У_и.м = 6,3– 2Х_д                              

Это выражение является статической  характеристикой цепи обратной связи, полученной аналитическим способом.

7) Построение графика статической характеристики – ДРИМ по аналитическому выражению.

Наше полученное выражение  является статической характеристикой  цепи обратной связи, полученное аналитическим  способом. Также описываем статическую  характеристику цепи обратной связи  графическим образом.

 

 

 

 

 

8) Нахождение аналитическим способом рабочей точки пересечения статических характеристик ДРИМ и объекта.

Для определения координат  рабочей точки системы приведем структурную схему в виде двух элементов с целью определения взаимосвязи регулирующих параметров. Поскольку статические характеристики представляются прямыми линиями, то необходимо найти пересечение двух прямых линий аналитическим способом.

Аналитический способ — это способ задания функции с помощью формул.

                                                               А(2,86 ; 0,57)

 

9) Передаточные функции элементов системы.

Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция  непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к  преобразованию Лапласа входного сигнала  при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция  датчика:

W_{д (р)} = =

Передаточная функция  регулятора:

W_{р (р)} = =

Передаточная функция  ИМ:

W_и.м.(р) = = = 

Для определения передаточной функции обратной связи:

W_о.с.(р) = W_д(р) * W_р(р) * W_и.м.(р)

W_о.с.(р) = * * = =

 

10) Определение передаточной функции системы.

Передаточной  функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(р) к изображению входного X(р) при нулевых начальных условиях. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной.

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. В частности, использование моделей инерционных звеньев первого или второго порядка

 

с запаздыванием для расчета  настроек регуляторов обеспечивает в большинстве случаев качественную работу реальной системы управления.

Для определения передаточной функции  системы

W_{c (р)} = W_о.р.(р) /

Подставим сюда все составляющие передаточной функции и преобразуем  результирующее выражение.

W_{c (р)} = =

11) Нахождение  временной функции переходного  процесса.

В основе временной функции  лежит понятие переходного процесса.

Переходный процесс - это обобщенное отображение реакции любой системы на воздействие. Процесс начинается выходом системы из динамического равновесия. По достижении максимальной амплитуды неравновесия система восстанавливает прежнее равновесие (после импульсного воздействия) или новое равновесие (в результате ступенчатого воздействия). Изучение переходных процессов — важный шаг в процессе анализа динамических свойств и качества рассматриваемой системы. Для нахождения временной функции переходного процесса, необходимо упростить  выражение. Исключаем из выражения передаточной функции в числители р³ + 0,8р², а в знаменателе р⁴ + 1,8р³. Поэтому передаточная функция имеет следующий вид:

W_пер.(р) = = =

Для определения переходной функции представим общее выражение  в виде двух слагаемых. Эти слагаемые  можно получить, если определить корни  характеристического уравнения.

W_пер(р)= +     р₁, р₂ – корни

Р² + 4р + 4 = 0

Найдем дискриминант уравнения,

Д = = = -3,4

Р_1,2 = = -2 ± 3,4

Р₁ = 2 + 3,4 i          Р₂ = 2 – 3,4i

Подставим значения характеристического  уравнения р₁ и р₂ в W_пер и определим коэффициенты А и В.

+ = + = (А + В) р + А(2 – 3,4i) + B(2– 3,4i)

 

 

 

Подставляем А = 1 – В во второе уравнение и решаем относительно В.

(2 – 3,4i) (1 – В) + (2 + 3,4i)В = 2 –2В – 3,4i + 3,4i + 2В + 3,4iВ = 2 – 3,4i + 6,3iВ = 0

6,3iВ = -2 + 3,4i

В = (2 + 3,4i) / 6,8i = 0,5 + 0,32i

 

А = 0,5 –0,32i

Для определения функции времени  необходимо воспользоваться обратным преобразованием Лапласа.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного с функцией вещественного переменного. С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

= exp (- р₁t)                          = exp (- р₂t)

 

Далее определяем переходную функцию системы, которая определяется  как,           h(t) = А exp (-2+ 3,4i) + В exp (-2- 3,4i)

 

 

Преобразуем это выражение,

h(t) = А exp (-2t) + А exp (+3,4it) + В exp (-3,4t) + В exp(- 3,4it)

или

h(t) = exp (-2t) [А exp (3,4it) + В exp(- 3,4it)]

Подставим значения А и В.

h(t) = exp (-2t) [(0,5-0,32i exp (3,4it) - i0,32 exp(3,4it)+0,5 exp (-3,4it)]

Сгруппируем слагаемые в  квадратных скобках таки образом, чтобы  формировать уравнение Эйлера. Уравнение  Эйлера, является прообразом прямых методов  вариационного исчисления 20 века. Эйлер  создал  самостоятельную дисциплину, теорию обыкновенных дифференциальных уравнений с частными производными.

h(t) = exp (-2t) [0,5* 2 – 0,32 * 2i ]

Две гармонические функции  можно заменить одной, если определить модуль и фазу результирующего колебания.

Гармонические функции - вещественная функция , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве (или его открытом подмножестве).

М = 1 tg α = 45⁰

             В результате получаем,

h(t) = exp (-2t) sin (3,4t + 45⁰)

Переводим величину градусов в радианы, и получаем,

h(t) = exp (-2t) sin (3,4t + 0,8)

Для построения этой функции  рассчитаем характерные точки гармонической  функции. Построение графика функции  осуществляется основными параметрами.

 

 

 

 

 

12) Определение основных параметров переходного процесса.

Простейшая система двухпозиционного регулирования может быть представлена в виде последовательного соединения позиционного регулятора (ПР) и объекта  регулирования (ОР), охваченных отрицательной обратной связью. Основным параметром здесь является нагрузка объекта Z, изменение которой компенсируется регулирующим воздействием X. Определение основных параметров системы следует производить с учетом построенного свыше графика. Согласно построенному графику время регулирования равно: t_рег = 3,4

13) Определение двух коэффициентов качества системы регулирования.

К автоматическим системам качества регулирования предъявляются требования устойчивости процессов регулирования во всем диапазоне нагрузок на объект. Для работоспособности системы не менее необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при обеспечении определенных качественных показателей. Такими показателями являются:

1). Ошибка регулирования  (статистическая или среднеквадратическая  составляющие).

2). Время регулирования.

3). Перерегулирование.

4). Показатель колебательности.

Для определения  коэффициентов качества системы  необходимо воспользоваться аналитическим выражением,

К =   , где h(t) — функция ошибки.

Чтобы упростить  вычисления интеграла, площадь, ограниченную функцией h(t), заменим площадью трех треугольников S₁, S₂,

  S = = S₁ + S₂ + S₃ = 1 + 0,4 + 0,6 = 2

    К = = = 0,6

14) Построение частотных характеристик устройств: объекта регулирования, датчика, регулятора, исполнительного механизма, ДРИМ, всей системы.

 

W_о.р.(р) = ≈

 

 

Частотная характеристика - в теории автоматического регулирования зависящий от частоты комплексный коэффициент связи между рассматриваемым параметром системы и входным воздействием; Ч. х. существуют, если вынужденная составляющая движения системы является периодической функцией одного периода (одной частоты (ω)) с периодом вынуждающего воздействия. Для получения частотной характеристики ОР ступенчатое воздействие может быть приложено к объекту регулирования или к регулятору. Для определения частотной характеристики объекта регулирования произведем замену в передаточной функции объекта. , сделав замену p=iw, получим частотную характеристику объекта регулирования