Программа Mathcad и ее достоинства

ВВЕДЕНИЕ

 

О ПРОГРАММЕ MATHCAD.

Программа Mathcad и ее достоинства.

 

Mathcad - это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных

Mathcad - это популярная  система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов - MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design - системы автоматического проектирования, или САПР). Так что вполне правомерно считать Mathcad математическими САПР.

Сегодня различные  версии Mathcad являются математически  ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.

К важным достоинствам программы Mathcad относятся настройка  под любой мало известный тип  печатающих устройств, богатый набор  шрифтов, возможность использования всех инструментов Windows, прекрасная графика и современный многооконный интерфейс. В Mathcad включены эффективные средства оформления документов в цвете, возможность создания анимированных (движущихся) графиков и звукового сопровождения. Тут же текстовый, формульный и графический редакторы, объединенные с мощным вычислительным потенциалом. Предусмотрена и возможность объединения с другими математическими и графическими системами для решения особо сложных задач.

 

Состав системы Mathcad.

 

Как интегрированная система Mathcad 2000 содержит следующие основные компоненты:

1. Редактор документов - редактор с возможностью вставки  математических выражений, шаблонов  графиков и текстовых комментариев;

2. MathConnex - системный  интегратор, обеспечивающий интеграцию Mathcad с рядом иных программных продуктов;

3. Центр ресурсов - система управления ресурсами  системы;

4. Электронные  книги - электронные книги с  описанием типовых расчетов в  различных областях науки и  техники;

5. Справочная  система - система для получения справочных данных по тематическому и индексному каталогу, а также для поиска нужных данных по ключевому слову или фразе;

6.Быстрые шпаргалки  QuickSheets - короткие примеры с минимальными  комментариями, описывающие применение  всех встроенных операторов и функций системы;

7. Браузер Интернета  - собственное средство выхода  в Интернет.

Системы реализуют  типовые и весьма обширные возможности Windows 95/98/NT, включая доступность множества  шрифтов, работу со всеми типами принтеров, одновременное выполнение нескольких разнохарактерных задач и (в последних версиях) реализацию технологии обмена объектами OLE2. В режиме редактирования возможна одновременная работа с рядом документов и перенос объектов из одного окна в другое.

Предусмотрен также импорт любых графических изображений - от простых и специальных графиков функций до многокрасочных репродукций художественных произведений. Введены средства анимации рисунков и воспроизведения видеофайлов со звуковым стереофоническим сопровождением. Это наряду с улучшенной визуализацией сложных расчетов позволяет пользователю готовить электронные статьи и книги высокого качества. Начиная с версии Mathcad 8.0, было предусмотрено упрощенное построение двумерных графиков и вращение трехмерных графиков мышью. Теперь в версию Mathcad 2000 введено упрощенное построение и трехмерных графиков.

 

Достоинства Mathcad:

 

• удобный для описания аналитических моделей дружественный интерфейс, ориентированный на классическую форму языка математики. Программа, в отличие, например от MathLab’а, достаточно проста в освоении для того, чтобы ее применяли не только ученые, инженеры или студенты вуза, но и школьники старших классов. Как калькулятор в свое время упростил изучение арифметики в школе, так и Mathcad может позволить упростить освоение школьниками алгебры и геометрии, да и математического аппарата школьной физики;
• возможность не только численного, но и символьного решения многих задач. Последнее особенно впечатляет: программа аналитически определяет значения производных, сумм и интегралов, упрощает аналитические выражения и т.п.
• наличие интерактивного учебника и множества шаблонов для решения типовых задач математики, физики, техники, бизнеса и др.
• Возможность вставки документа Mathcad в другое приложение, например в VisSim, который будет обмениваться информацией с программой Mathcad, и использовать его вычислительно-аналитические ресурсы в процессе моделирования. Однако если сравнить VisSim со скакуном, то Mathcad в таком случае можно приравнять к плугу: вставка элемента программы Mathcad в VisSim существенно тормозит работу последнего. Во многих случаях моделирования это не критично, а совокупная вычислительная мощность упрощает работу исследователя и делает ее более эффективной.
• Наличие встроенного языка программирования. С одной стороны это вынужденная мера, поскольку разработчики не могут предвосхитить и обеспечить все потенциальные требования пользователей.

Необходимость освоения языка является недостатком  программы. С другой стороны, синтаксис  языка довольно простой, его использование может существенно расширить круг задач, решаемых исследователями, при этом вспомогательные инструменты, в частности построение графиков всегда у него под рукой.

 

МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ  И ИНТЕГРИРОВАНИЯ

 

1.1 Дифференцирование

 

С помощью Mathcad можно вычислять производные скалярных функций любого количества аргументов, от 0-го до 5-го порядка включительно. И функции, и аргументы могут быть как действительными, так и комплексными. Невозможно дифференцирование функций только вблизи точек их сингулярности.

Вычислительный  процессор Mathcad обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования. Но больше всего пользователь оценит возможности символьного процессора, который позволяет с легкостью  осуществить рутинную работу вычисления производных громоздких функций, поскольку, в отличие от всех других операций, символьное дифференцирование выполняется успешно для подавляющего большинства аналитически заданных функций.

В Mathcad П для  ускорения и повышения точности численного дифференцирования функций, заданных аналитически, автоматически задействуется символьный процессор

 

1.1.1 Первая производная

 

Для того чтобы  продифференцировать функцию f (x) в  некоторой точке:

1. Определите  точку х, в которой будет  вычислена производная, например  х:=1.

2. Введите оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative (Производная) на панели Calculus (Вычисления) или введите с клавиатуры вопросительный знак <?>.

3. В появившихся  местозаполнителях (рис. 7.3) введите  функцию, зависящую от аргумента  х, т. е. f (x), и имя самого аргумента х.

4. Введите оператор <=> численного или <>> символьного вывода для получения ответа.

Рис. 1. Оператор дифференцирования

Пример дифференцирования  функции f(x)=cos(x)ln(x) приведен в листинге 1.

Листинг1. Численное Часть и символьное дифференцирование

Внимание!

He забывайте предварительно определять точку, в которой производится численное дифференцирование, как это сделано в первой строке листинга 1 Иначе будет выдано сообщение об ошибке, показанное на рис. 2, гласящее, что переменная или функция, входящая в выражение, ранее не определена. Между тем, символьное дифференцирование не требует обязательного явного задания точки дифференцирования. В этом случае вместо значения производной (числа или числового выражения) будет выдана аналитическая зависимость (см. верхнюю часть рис. 2).

Рис2. Ошибка в  применении оператора дифференцирования

 

Конечно, можно, как и при использовании других операторов, предварительно определить функцию в отдельном выражении, а затем посчитать ее производную (см. листинг 2); или применить оператор дифференцирования для определения собственных функций пользователя (см. листинг 3).

Листинг 2. Символьное и численное дифференцирование  функции пользователя

Листинг 3. Определение функции через оператор дифференцирования

В обоих листингах первой строкой определяется функция f (x)=1/x. Во второй строке листинга 2 с помощью символьного процессора находится аналитическое выражение ее производной, а в оставшейся части, подобно листингу 1, сначала численно, а затем аналитически определяются значения этой производной в точке х=0.1. В листинге 3 через производную от f (х) определяется еще одна пользовательская функция g(x) и затем находится ее конкретное значение в той же точке х=0.1.

Как Вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению. Однако в некоторых случаях при его вводе следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример, приведенный в листинге 4. Его первые две строки вычисляют производную sin(x) в точке х=0.5. Последняя строка демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования. Вместо вычисления производной sin(x) в той же точке, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось потому, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=0.5, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=0.5, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен — в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.

Листинг 4. Пример правильного и неправильного применения дифференцирования

Для численного дифференцирования Mathcad применяет довольно сложный алгоритм, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7—8-го знака после запятой. Этот алгоритм (метод Риддера) описан во встроенной справочной системе Mathcad, доступной через меню Help (Справка). Погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL ИЛИ CTOL, В противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом. Исключение составляют функции, которые дифференцируются в окрестности сингулярной точки; например для рассмотренной нами функции f (x)=1/x это будут точки вблизи х=0. При попытке найти ее производную при х=0 будет выдано сообщение об одной из ошибок деления на ноль "Can't divide by zero" (Деление на ноль невозможно) или "Found a singularity while evaluating this expression. You may be dividing by zero" (Найдена сингулярность при вычислении этого выражения. Возможно, Вы делите на ноль). Если попробовать численно определить производную очень близко к нулю, например, при х=10 то может появиться сообщение об ошибке "Can't converge to a solution" (Невозможно найти решение). Встретившись с одной из упомянутых ошибок, присмотритесь повнимательнее к дифференцируемой функции и убедитесь, что Вы не имеете дело с точкой сингулярности.

 

1.2 Интегрирование

 

   Интегрирование  как и дифференцирование - самые простые, с вычислительной точки зрения, операции, реализованные в MathCAD в виде операторов. Тем не менее, если расчеты выполняются с помощью вычислительного процессора, необходимо хорошо представлять себе особенности численных алгоритмов, действие которых остается для пользователя «за кадром».

  Интегрирование, как и множество других математических действий, устроено в MathCAD по принципу "как пишется, так и вводится". Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вычисления) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш +<7> (или символа "&", что то же самое). Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителями , в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести -°° (минус бесконечность), добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.

Чтобы получить результат интегрирования, следует  ввести знак равенства или символьного  равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором - в случае успеха, будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора MathCAD.

Рис. 4.1. Оператор интегрирования

 

1.2.1 Об алгоритмах интегрирования

 

Результат численного интегрирования - это не точное, а  приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. По умолчанию TOL=0.001. Для того чтобы ускорить вычисления, можно установить меньшее значение TOL.

Кроме нее, пользователь имеет возможность выбирать сам  алгоритм численного интегрирования. Для этого:

1. Щелкните правой  кнопкой мыши в любом месте  на левой части вычисляемого  интеграла.

2. В появившемся  контекстном меню выберите один  из четырех численных алгоритмов.

Обратите внимание, что перед тем как один из алгоритмов выбран впервые флажок проверки в  контекстном меню установлен возле  пункта AutoSelect (Автоматический выбор). Это  означает, что алгоритм определяется MathCAD, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой.