Построение парной линейной эконометрической модели одношаговым методом наименьших квадратов (1МНК). Расчет интервальных прогнозов на 1 го

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ВАДИМА ГЕТЬМАНА»

Кафедра економіко-математичного  моделювання

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторна робота №1

з дисципліни «Економетрика»

Тема: «Побудова парної лінійної економетричної моделі однокроковим методом найменших квадратів (1МНК).

Розрахунок інтервальних прогнозів на 1 рік»

 

 

 

 

 

 

 

Виконала: студентка

2 курсу, 3 групи, спец. 6504

Андрущенко В.В.

 

Перевірив: викладач

Романюк Т.П.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Київ 2012

 

 

План

1. Постановка  задачі
2. Вибір специфікації моделі і створення сукупності спостережень
3. Розрахунок системи нормальних рівнянь і оцінка параметрів моделі трьома 

               способами

4. Розрахунок дисперсії залишків і оцінка адекватності моделі
5. Перевірка значущості параметрів, моделі і коефіцієнта кореляції
6. Розрахунок інтервальних прогнозів математичного сподівання та

               індивідуального значення залежної змінної на 1 рік

   Висновки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.  Постановка задачі

Побудувати парну  економетричну модель методом 1МНК, перевірити її адекватність, значущість параметрів і моделі, використовуючи прогноз залежної змінної на 9 рік  за такими даними:

 

t	Y(рівень рентабельності, %)	Х0	Хt(собівартість на од. продукції)
1	12	1	15
2	11	1	15
3	14	1	15,1
4	13	1	15
5	14,5	1	16
6	14,8	1	16,5
7	14,5	1	16,8
8	14,7	1	17

 

 

2.  Розрахунок системи  нормальних рівнянь і оцінка  параметрів моделі трьома способами

Таблиця 1

Вихідні дані в грошових одиницях і відповідні розрахунки для оцінювання параметрів:

 

1	12	1	15	225	180	-0,8	-1,56	0,64	2,44	1,25	12,55	-0,55	0,3
2	11	1	15	225	165	-0,8	-2,56	0,64	6,57	2,05	12,55	-1,55	2,41
3	14	1	15,1	228,01	211,4	-0,7	0,44	0,49	0,19	-0,31	12,68	1,32	1,75
4	13	1	15	225	195	-0,8	-0,56	0,64	0,32	0,45	12,55	0,45	0,2
5	14,5	1	16	256	232	0,2	0,94	0,04	0,88	0,19	13,82	0,68	0,47
6	14,8	1	16,5	272,25	244,2	0,7	1,24	0,49	1,53	0,87	14,45	0,35	0,12
7	14,5	1	16,8	282,24	243,6	1	0,94	1	0,88	0,94	14,82	-0,33	0,11
8	14,7	1	17	289	249,9	1,2	1,14	1,44	1,29	1,37	15,08	-0,38	0,14
	108,5		126,4	2002,5	1721,1	-	-	5,38	14,09	6,8	-	-	5,5

 

І спосіб: за допомогою функції ЛИНЕЙН

Нехай залежність між рентабельністю і собівартістю подається прямою

, де

- параметри моделі;

Y_t – вектор рентабельності;

Х_t – вектор собівартості;

u – вектор залишків.

Розрахункові значення рентабельності можна знайти, скориставшись такою моделлю:

Щоб оцінити параметри моделі і методом 1 МНК, запишемо систему нормальних рівнянь:

 

де n = 8 — кількість спостережень.

Підставивши в цю систему потрібні значення дістанемо систему рівнянь:x

    

 

                                         

 

Розраховується за допомогою ЕОМ, а саме MS Excel та функція ЛИНЕЙН. 

 

 

 

Викликавши функцію ЛИНЕЙН, одержуємо такі результати:

 

1,26394052	-6,407760223
0,4129245	6,532988923
0,60961401	0,957771238
9,36940405	6
8,59479554	5,503954461

де  =-6,407760223, а =1,26394052

 

Тоді, економетрична модель матиме такий вигляд Y =  -6,40776 + 1,263941X_t + u_t.

Також ми можемо розрахувати коефіцієнт еластичності рентабельності від обсягу собівартості:

 

 

.

Знаючи коефіцієнт еластичності, можна  дійти висновку, що зі збільшення обсягів собівартості на 1% рентабельність підприємства зросте на 146%.

 

ІІ спосіб: Метод найменших квадратів (1МНК)

 

 

                                                 

 

 

 

Щоб знайти і , використаємо такі формули:

 

 

 

 де  ;

де 

 

Висновок: економетрична модель має такий вигляд Y =  -6,40776 +  1,263941 X_t + u_t і кількісно описує зв'язок між рентабельністю та собівартістю на од.продукції . Параметр показує, що  граничний розмір рентабельності  при збільшення собівартості на одну грошову одиницю становить 1,263941 млн. грн.

ІІІ спосіб: Матричний метод

система нормальних рівнянь (СНР)

де Х’ – транспонована матриця.

                                                                       

 

Розрахунок  проводимо за допомогою MS Excel:

1	1	1	1	1	1	1	1
15	15	15,1	15	16	16,5	16,8	17

1)

 

 

 

8	126,4
126,4	2002,5

 

2)

 

 

 

108,5

1721,1

 

3)

 

 

 

4) Обернена матриця: 

 

46,52649	-2,936802974
-2,9368	0,185873606

 

         

 

 

 

 

 

 

-6,40776

1,263941

5)  

 

 

 

Отже, економетрична модель має  вигляд Y =  -6,40776 + 1,263941X_t + u_t.

3.  Розрахунок дисперсії  залишків і оцінка адекватності  моделі

Обчислити дисперсію залишків можна за такою формулою:

Проводимо розрахунок за допомогою  MS Excel і продукту «Поиск решения»  та заносимо отримані дані до таблиці 1, на основі який знаходимо значення невідомих.

 

 

 

12,55135
12,55135
12,67774
12,55135
13,81529
14,44726
14,82644
15,07923

 

 

 

       

 

 

 

 

 

 

      0,92

 

 

Дисперсія залежної змінної (у), тобто рентабельності : 

Знаходимо оцінку адекватності моделі (коефіцієнт детермінації) за такою формулою:

   

     0,54

 

Далі розраховуємо коефіцієнт кореляції:

 

Оскільки коефіцієнт детермінації , це свідчить про те, що варіація величини рентабельності  на 54% визначається варіацією собівартості на од. продукції . Коефіцієнт кореляції показує, що існує тісний зв'язок між цими соціально-економічними показниками.

4.  Перевірка значущості параметрів, моделі і коефіцієнта кореляції

Спочатку знаходимо дисперсійно-коваріаційну матрицю:

, де

    

 

Перевірка значущості параметрів:

, де α = 0,05.

Відповідно до таблиці значень  критерію Стьюдента  .

   6,54 =>                 0,98

 

   

    0,41   =>                   3,07

 

3, 07>2,446, 

0,98>2,446, 

 

Отже, з імовірністю 0,95 параметр - незначущий; а₁ — значущий.

 Перевірка  значущості моделі:

, де 

0,54

n=8

m – число Х-ів.

7,173775

 

α = 0,05

Відповідно до таблиці значень  критерію Фішера 5,99.

Тоді  , тобто , а це означає що дана модель значуща.

Перевірка значущості коефіцієнта кореляції:

, де 

 

2,67 > 2,446

 

Отже, коефіцієнт кореляції значущий.

5.  Розрахунок інтервальних прогнозів математичного сподівання та індивідуального значення залежної змінної на 1 рік

Так як n = 8, а прогноз величини рентабельності буде розраховуватися на 2009 рік.

t = 9

X₉ = 17,2

1) розраховуємо точковий прогноз

Y =  -6,4048 +  1,2639X_t + u_t

  (млн. грн.)

або

знаходимо точковий прогноз  за функцією ТЕНДЕНЦИЯ, яка також дає результат 15,43 (млн. грн.)

2) для розрахунку інтервального прогнозу математичного сподівання перш за все розраховується дисперсія похибки прогнозу:

α = 0,05

 

НМ = 15,33 – 2,446*0,67= 13,69(%)

ВМ = 15,33 + 2,446*0,67 = 16,97 (%)

Економічний висновок: з імовірністю 0,95 середня величина рентабельності на 2009 рік буде коливатися в таких межах (%)

.

Індивідуальне значення величини рентабельності  розраховується за такою формулою:

(млн. грн.)

 (млн. грн.)

Економічний висновок: отже, з імовірністю 0,95 середнє індивідуальне значення величини рентабельності на 2009 рік буде в межах (млн. грн.)

.

 

Висновки

Отже, в ході розрахунку даної лабораторної роботи було знайдено такі результати:

1. економетрична модель розрахована за трьома способами має такий вигля