Моделирование случайных величин с заданным законом распределения

Министерство  образования и науки Российской Федерации

ГБОУ ВПО

Тверской  государственный технический университет

Кафедра ЭВМ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отчёт

по лабораторной работе №1

на тему:

«Моделирование  случайных величин с заданным законом распределения»

по дисциплине:

«Моделирование дискретных систем»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 

 группы

 

Принял:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тверь

2012

Задание на лабораторную работу.

 

В лабораторной работе рассматриваются вопросы, связанные с моделированием случайной величины Y, которая в общем случае является функцией других случайных величин:

Y=f(Y₁, Y₂, …, Y_n).

Для выполнения данного задания используются методы и процедуры, изложенные в параграфах 2.2 – 2.4 используя теоретические  положения раздела 1.

В отчете по лабораторной работе в качестве результатов моделирования должны быть приведены:

1. эмпирические оценки средних значений и дисперсии случайных величин Y₁, Y₂, …, Y_n и Y;
2. теоретические средние значения и дисперсии для  тех случайных величин Y₁, Y₂, …, Y_n, для которых заданы функции распределения;
3. гистограммы плотности и функции распределения для случайных величин Y₁, Y₂, …, Y_n и Y.

 

 

Вариант задания.

 

     Моделировать  случайную величину, распределенную  по:

3)  экспоненциальному закону при:

c) l=0.8

4)  закону Эрланга при:

a)  k=2

h)  l=2.0

 

Моделировать  непрерывную случайную величину Y, заданную в виде:

10) Y = Y1 / Y2 / (Y1 + Y2);

 

где Y₁ и Y₂ – случайные величины с известными законами распределения, в качестве которых задаются законы, предусмотренные в вариантах 3 - 7.

 

 

Понятие случайного события и случайной  величины.

Под случайным событием понимается всякий факт, лишенный преднамеренности и  регулярности, или другими словами  факт, который может произойти  или не произойти в результате какого-нибудь опыта. Каждое из случайных  событий обладает той или иной степенью объективной возможности. Количественной мерой степени объективной  возможности того или иного  события  является вероятность данного события.

Если  в результате N одинаковых и независимых испытаний (реализаций опыта) число исходов, которые приводили к наступлению некоторого события A составило n, то вероятность события А, обозначаемая через Рr[A], может быть вычислена по формуле:

Рr[A]= n/N.

Вероятность любого события А удовлетворяет условию:

0

Pr[A] 1.

Множество событий {А₁, А₂ ,..., А_n} образует полную группу событий, если в результате опыта должно непременно иметь место хотя бы одно из них. Для полной группы событий справедливо условие:

Рr[A₁]+Рr[A₂]+...+Рr[A_n]=1.

События А и В называются несовместными или взаимоисключающими, если в результате опыта они не могут появиться одновременно (вместе) и для таких событий справедливо:

Рr[АВ]=0 и Pr[A

B]=Pr[A]+Pr[B] .

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не зависит имело место или нет другое событие. Для таких событий Pr[AB]=Pr[A]´Pr[B] . Такое равенство в виде произведения справедливо и для большего количества независимых событий.

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая может принять то или иное значение, неизвестное заранее. Случайные величины могут быть двух видов [1]:

1. дискретные случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга значения из дискретного (конечного или счетного) множества;
2. непрерывные случайные величины, которые могут принимать любые значения из некоторого промежутка.

Случайные величины часто обозначают большими буквами (например X), а их возможные значения - соответствующими малыми буквами: x₁, x₂, ..., x_n…

 

 

Законы распределения  случайных величин.

 

Рассмотрим дискретную случайную  величину Х с возможными значениями х₁, x₂,…, х_n. Величина Х может принять каждое из этих значений с некоторой вероятностью. Обозначим через P_i вероятность того, что случайная величина Х примет значение х_i: P_i=Pr{X=x_i}, i= 1,n. Очевидно, что сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице.

Для непрерывной случайной величины, поскольку такая СВ имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток, каждое отдельное значение обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. В этом случае удобно воспользоваться не вероятностью события X=x, а вероятностью события X x, где х - некоторая текущая переменная.

Случайная величина считается полностью описанной  с вероятностной точки зрения, если задан ее закон распределения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. При этом про случайную величину говорят, что она подчинена данному закону распределения.

Одним из способов задания закона распределения  является функция распределения. Функцией распределения F(x) случайной величины X (дискретной или непрерывной) называется вероятность события X£ x:

F(x)=Pr{ X£ x}.

Функция F(x) обладает следующими свойствами:

1. функция распределения - неотрицательная функция, т.е. F(x) 0;
2. функция распределения F(x) - неубывающая функция, т.е. если x₂ x₁, то F(x₂) F(x₁);
3. на минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, т.е. F(- )=0, а F(+ )=1;
4. вероятность попадания случайной величины X в отрезок [x₁, x₂] равна приращению функции распределения на этом отрезке: Pr{x₁ x x₂}=F(x₂)-F(x₁);
5. функция распределения F(x) сама является случайной величиной, распределенной равномерно на отрезке [0,1].

Если  случайная величина определена в  области положительных значений, то ее функция распределения равна  нулю на всем промежутке от минус бесконечности до нуля: F(x)=0 при x 0.

Функция распределения для дискретной случайной  величины X, которая принимает значения x₁, x₂, ..., x_n, ... с вероятностями P₁, P₂, …, P_n, … соответственно при  условии, что x₁ x₂ ... х_n ..., может быть определена в виде:

F(x)=Pr{X x}=                       (1.2)

   

 

 

Для вероятностного описания непрерывной  случайной величины наряду с функцией распределения широко используется другая форма задания закона распределения  в виде плотности распределения, которая обозначается через f(х) и определяется как производная от функции распределения, т.е. f(x)=F ^/(x). В свою очередь, функция распределения определяется через плотность распреде-ления равенством:

F(x)=

.

Для плотности распределения можно  отметить следующие свойства:

1. плотность распределения есть неотрицательная функция: f(х) 0;
2. интеграл от плотности распределения в области определения случайной  величины равен единице:

3) вероятность попадания случайной величины X в отрезок [x₁, x₂] равна интегралу от плотности распределения на этом отрезке:

Pr{x₁

x x₂}= .

Экспоненциальное  распределение. Распределение непрерывной случайной величины с функцией распределения

F(x)=1-e^-lx,  x

0

называется  экспоненциальным распределением. Здесь l>0 и называется параметром экспоненциального распределения.

Плотность экспоненциального распределения

f(x)=F^/(x)= le^-lx, x

0.

 

Распределение Эрланга. Распределением Эрланга k-го порядка называется распределение, описывающее непрерывную случайную величину, представляющую собой сумму k независимых случайных величин, распределенных одинаково по экспоненциальному закону с параметром l. Функция распределения и плотность распределения Эрланга порядка k имеют вид:

F_k(x)=1-e^-lx

, x 0;

f_k(x)=

e^-lx, x 0,

где l и k - положительные параметры распределения, причем параметр k принимает только целочисленные значения: k=1, 2, 3, ... . Экспоненциальное распределение можно рассматривать как частный случай распределения Эрланга при k=1. При k® распределение Эрланга приближается к нормальному распределению. На рис. 1.1 приведено схематическое представление распределения Эрланга порядка k.

 

 

Моделирование случайных величин.

 Для моделирования случайной величины с заданным законом распределения  используется метод обратной функции. Суть этого метода состоит в следующем. Пусть F(y) – функция распределения случайной величины Y, которую необходимо моделировать. Как отмечалось в разделе 1, функция распределения сама является случайной величиной, распределенной равномерно на отрезке [0,1]. На основании этого свойства рассмотрим равенство (уравнение):

x=F(y),

где x – значение случайной величины X, которая также распределена равномерно на отрезке [0,1].

Решение уравнения (2.3) относительно y, которое пишется в виде

y=F^-1(x)

называется  обратной, по отношению к исходной F(y), функцией.

 

В качестве примера использования  метода обратной функции для моделирования  непрерывной СВ рассмотрим экспоненциально  распределенную случайную величину Y с функцией распределения F(y)=1-e^-ly Тогда уравнение (2.3) примет вид:

x=1- e^-ly,

а его решение

.

Учитывая, что 1-x также является случайной величиной, распределенной равномерно на отрезке [0,1], решение (2.5) можно записать в виде

 

и использовать для преобразования базовой последовательности {x_i} в последовательность случайных чисел {y_i}, имеющих экспоненциальное распределение.

В отличие от экспоненциального распределения  в случае распределения Эрланга  или гиперэкспоненциального распределения решить уравнение (2.3) в явном виде не удается. В этом случае для моделирования таких случайных величин исходят из определения соответствующих распределений. Так, например, если необходимо моделировать случайную величину Y, распределенную по закону Эрланга k-го порядка, то в начале, согласно (2.5), независимо (используя разные значения x_i) моделируется каждый из k экспонентов, составляющих распределение Эрланга, а затем в качестве значения y_i случайной величины Y принимается сумма случайных чисел, соответствующих отдельным экспонентам.

 

Оценки числовых характеристик.

 

Для оценки математического ожидания случайной  величины Y в ходе ее моделирования накапливается сумма возможных значений y_i, которые случайная величина  принимает при различных реализациях процедуры моделирования. Тогда среднее значение

Y .

где N – общее число реализаций процедуры моделирования.

Для оценки дисперсии случайной  величины используется следующая формула:

.

Таким образом, для вычисления дисперсии  необходимо накапливать две суммы: значений y_i и их квадратов , i=1,N.

Очевидно, оценки среднего значения и дисперсии  будут тем точнее, чем больше число  реализаций N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет математического  ожидания и дисперсии для заданных законов:

 

Экспоненциальный закон при  λ=0.8

M =  ; D =

Закон Эрланга  при k=2 λ=2.0

M =  ; D =

 

 

Диаграммы.

 

Для экспоненциального закона.

F(x)	f(x)
5443	5443
7946	2503
9100	1154
9596	496
9823	227
9922	99
9972	50
9993	21
10000	7
10000	0
10000	0
10000	0