Исследование фракталов: Кривая Леви

      Результат  применения  системы  итерируемых функций называется аттрактором. Системы итерируемых  функций  в  основном  применяются  для кодирования  изображений.  При  низких  степенях сжатия  качество  рисунков  уступает  качеству формата JPEG, но  при  высоких,  рисунки  получаются  куда  более  качественными.  Так  как  изображение  закодировано  с  помощью  формул,  то  его можно увеличить до любых размеров, и  при этом будут появляться новые детали,  а  не просто  увеличится  размер  пикселей. С  помощью  системы  итерируемых  функций  было получено изображение листа папоротника (рис 3).

      4)  Стохастические. Типичный представитель  данного класса фракталов – «Плазма» (рис 4).

      Для  ее  построения берется  прямоугольник и для  каждого  его угла  определяется  цвет.  Далее  находится центральная  точка прямоугольника  и раскрашивается  в  цвет,  равный  среднему арифметическому  цветов  по  углам  прямоугольника, плюс некоторое случайное число. Чем оно больше, тем более рваным будет рисунок.  С помощью  таких фракталов моделируются  горы  в большинстве  программ, созданных для этого.

             рис.1                      рис. 2.                      рис. 3.                рис. 4. 
 
 

1.3. Кривая Леви

      1.3.1Кривая Леви — фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если  на отрезке построить два отрезка, которые равны начальной , и в пределе получим кривую Леви (рис. 5).

      Рис. 5

      Кривая  Леви нигде не дифференцируема и не спрямляема. На любом интервале кривой Леви есть точки самопересечения. Хаусдорфова размерность кривой Леви приблизительно равна 1,9340. Хотя кривая Леви состоит из двух равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/ , из-за наличия самопересечений её размерность меньше чем . 
 
 
 
 
 

      1.3.2 Построение Кривой Леви

      Базовым элементом для кривой Леви является отрезок AB. Первый шаг включает в  себя построение равнобедренного прямоугольного треугольника на отрезке AB как на гипотенузе. При этом сама гипотенуза в дальнейшем построении не участвует и исключается  из кривой. Таким образом, первое поколение  кривой представляет собой ломаную ACB.

На втором шаге с каждым из отрезков AC и CB проделываем  ту же операцию, что и с отрезком AB на первом шаге. Последующие поколения  кривой строятся по тому же алгоритму. Следовательно, задача сводится к определению  координаты точки  С(х,у) по известным координатам точек A и B.

      Для решения данной задачи сперва решим  вспомогательную задачу:

Вектор , и ┴. Найти вектор , е через координаты ,если ||=|.

      Решение. Из условия следует, что ; . Получим систему уравнений с двумя неизвестными:  

После решения этой системы уравнения  вектор с координатами или  .

Вернемся  к построению кривой Леви.

По свойству прямоугольного равнобедренного треугольника точки A, B,C равноудалены от точки О - середины гипотенузы, OC┴AO, OC=AO. Пусть A(x0,y0);B(x1,y1), тогда точка О как середина отрезка AB будет иметь координаты O() . Применяя вспомогательную задачу, имеем ,. Т.к. , то или . Нам для построения кривой Леви необходим вектор, направленный <влево> от , т.е. . Если O() и C(x,y), то

 , .

На основании  проведенных вычислений мы строим программу  вычисления координат точек- вершин фрактальной кривой. 
 
 

1.4 Графика

      Так, как для того, чтобы разработать  программу, выполняющую построение фрактала, необходимо изучить средства, с помощью которых осуществляется данная задача. 

      Необходимо  рассмотреть:

1. Графические средства операционной системы Windows.
2. Графику в языке С++.

1.4.1 Графические средства операционной системы Windows

      В Microsoft Windows существует несколько средств для вывода графической информации, включая DirectDraw, OpenGL, GDI и т.д. В данной работе рассмотривается GDI (Graphics Device Interface) - подсистема Windows, ответственная за вывод графики и текста на дисплей и принтер. Именно она занимается выводом большинства "окошек", которые и составляют то, что видит пользователь Windows на экране. Она является базовым и, пожалуй, простейшим способом вывода графики в Windows. Далее рассмотрим систему GDI.

      Функции GDI

      Когда приложения обращаются к GDI для выполнения операций вывода графического изображения, они работают не с реальными (физическими) устройствами вывода, а с логическими. Приложения Windows не определяют тип видеомонитора, а работают с логическим   видеомонитором, который способен отображать любой  цвет и имеет огромное разрешение. Выполняя запрос приложения, GDI обращается к драйверу соответствующего устройства вывода. Драйвер работает непосредственно  с физическим устройством вывода. В процессе выполнения запроса GDI учитывает  ограниченные возможности физического  устройства вывода и его аппаратные особенности, делая необходимые приближения. В зависимости от типа физического устройства, используемого для вывода, GDI может выбрать для отображения цвет, наиболее соответствующий запрошенному и поддерживаемый устройством. Если устройства вывода монохромное, вместо различных цветов могут использоваться градации серого цвета. Поэтому приложение может запросить для вывода любой цвет, но для рисования будет использован только такой, который есть только на данном физическом устройстве. Такая ситуация возникает не только при работе с цветом. Приложение может запросить для вывода шрифт, описав его характеристики, GDI подберёт для вывода наиболее подходящий шрифт, соответствующий описанию, и представит его приложению. Такой механизм удобен для обеспечения аппаратной независимости. Чем лучше используемая аппаратура, чем большими возможностями она обладает, тем ближе будут параметры полученного шрифта и цвета соответствовать запрошенным. 

      1.4.2 Работа с графикой с использованием классов, свойств и функций компонент Borland C++ Builder

В среде  C++Builder существует три рода объектов, которые имеют отношение к графике:

      Канва - предоставляет битовую карту  поверхности окна приложения, компоненты, принтера и т.п., которая может  быть использована для вывода графики. Канва не самостоятельный объект, она всегда является свойством какого-то другого графического объекта.

      Графика - представляет растровое изображение  некоторого файла или ресурса (битового образа, пиктограммы или метафайла). C++Builder определяет производные от базового класса TGraphic объектные классы: TBitmap, Ticon, TMetafile.

      Рисунок (TPicture) представляет собой контейнер для графики, который может содержать любые классы графических объектов. Таким образом, контейнерный класс TPicture может содержать битовый образ, пиктограмму, метафайл или некоторый другой графический тип, определенный пользователем, а приложение может стандартно обращаться ко всем объектам контейнера посредством объекта TPicture.

      Графические объекты Windows взаимосвязаны. Так - объект TPicture всегда содержит некоторую графику, которой в свою очередь, может потребоваться для отображения канва, а единственный стандартный графический класс канвы - это TBitmap.

      Borland С++ Builder инкапсулирует функции Windows GDI на разных уровнях. Наиболее завершенным является интерфейс, предоставляемый свойством Canvas (канва), объектного класса канвы, его графических компонент. Использование канвы снимает с программиста заботу при выводе изображений об инициализации контекста устройства и его освобождении. Наличия вложенных свойств (характеристик пера, кисти, шрифтов, растровых изображений) также не требует слежения за состояниями ресурсов - основная задача - это определение характеристик для этих графических объектов и грамотное их использование.

      Объектный класс канвы

      Инкапсулированные и перегруженные функции GDI и WinApi объектного класса канвы многие авторы относят к трем различным уровням. В этой условной классификации функции высокого уровня обеспечивают возможность рисования линий, фигур и текста. Определение свойств и методов манипулирования графическими примитивами канвы отнесены к среднему уровню. Нижний уровень обеспечивается доступ к самим функциям Windows GDI. Классификация не бесспорна, но она позволяет ориентироваться в достаточно большом колличестве свойств и методов канвы и, поэтому, приведем эту классификацию.