Применение экономико-математических методов в управленческом учете

       При изучении стохастических взаимосвязей анализируются не только наличие и количественная оценка соотношений, но форма связи результатив-ного и факторного признаков, ее аналитическое выражение. Решить эти проблемы помогает корреляционный и регрессионный анализ.

        Корреляционный анализ ставит задачу измерить тесноту связи между варьирующими переменными и оценить факторы, оказывающие наибольшее влияние на результативный признак. Регрессионный анализ предназначен для выбора формы связи, типа модели, для определения расчетных значений зависимой переменной (результативного признака). Методы корреляцион-ного и регрессионного анализа используются в комплексе.

        Корреляционно-регрессионный анализ — классический метод стохастического моделирования хозяйственной деятельности, при проведении которого строятся различные корреляционные и регрессионные модели хозяйственной деятельности. В моделях выделяют факторные и результативные показатели. Хотя модель упрощенно отражает действи-тельность, она обеспечивает строго математический подход к исследованию экономических взаимосвязей. Вследствие математической завершенности, количественной определенности своих характеристик корреляционно-регрессионная модель служит не только средством анализа предшествую-щего экономического развития, но и становится важным инструментом прогнозных и плановых расчетов [14].

        Необходимыми условиями применения  корреляционного анализа являются: наличие достаточно большого  количества наблюдений о величине  исследуемых факторных и результативных  показателей; исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение.

        Основными моделями корреляционного анализа являются: коэффициент парной корреляции, коэффициент частной корреляции, коэффициент множественной корреляции, коэффициент детерминации.

       Линейный коэффициент парной корреляции (р) определяется по формуле:

                                  (3.1)                                                                                             

  где х, у — значения факторного и результативного показателей; х, у — средние значения соответствующих показателей; σ_X, σ_Y -  средние квадратические отклонения (стандартные отклонения показателей х и у);

             (3.2)

    n — количество наблюдений в совокупности.

         Значение коэффициента парной корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Положительное значение означает наличие прямой связи между показателями. Отрицательное — наличие обратной связи.

         Часто в анализе хозяйственной деятельности при изучении связи между показателями х и у требуется исключить воздействие третьего показателя z, выступающего как общий фактор изменения анализируемых показателей. Для этого используется коэффициент частной корреляции (r_x,y,z), свойства которого совпадают со свойствами коэффициента парной корреляции:

                                      (3.3)

где r_xy, r_xz, r_yz — коэффициенты парной корреляции между соответствующими показателями.

Коэффициент множественной  корреляции (R) характеризует тесноту  связи между результативным показателем и набором факторных показателей:

                (3.4)

  где σ² — общая дисперсия эмпирического ряда, характеризующая общую вариацию результативного показателя (у) за счет факторов;

  σ_ост² — остаточная дисперсия в ряду у, отражающая влияния всех факторов, кроме х;

  у —   среднее значение результативного показателя, вычисленное по исходным наблюдениям;

  s — среднее значение результативного показателя, вычисленное по уравнению регрессии.

  Коэффициент множественной корреляции принимает  только положительные значения от 0 до 1.

  Многофакторный  корреляционный анализ имеет важную научную и практическую значимость. Это проявляется в том, что  значительно углубляется факторный  анализ, устанавливаются место и  роль каждого фактора в формировании уровня исследуемых показателей  [15]. В результате точнее обосновываются планы и управленческие решения, объективнее оцениваются итоги деятельности предприятий и полнее определяются внутрихозяйственные резервы.

         Альтернативным показателем степени зависимости между двумя переменными является коэффициент детерминации, представляющий собой возведенный в квадрат коэффициент корреляции (D): D = R². Коэффициент детерминации выражается в процентах и отражает величину изменения результативного показателя (у) за счет изменения другой переменной — факторного показателя (х).

  Для качественной оценки коэффициента корреляции применяются  различные шкалы, наиболее часто - шкала  Чеддока. [16] В зависимости от значения коэффициента корреляции связь имеет одну из оценок:

  0,1-0,3 –  слабая; 0,3-0,5 – заметная; 0,5-0,7- умеренная; 0,7-0,9-высокая; 0,9-1,0-весьма высокая.

          Математические модели корреляционного анализа в форме коэф-фициентов имеют ограниченные аналитические возможности. Чтобы опреде-лить закономерности формирования уровня результативного показателя под влиянием исследуемых факторов, оценить интенсивность их влияния, классифицировать факторы на основные и второстепенные, используются модели регрессионного анализа. Уравнение регрессионного анализа может быть представлена в виде:

                   у = bo + b₁x₁ + b₂x₂ +... + b_nx_n,                   (3.5)       

  где у — результативный показатель;

  x₁, x₂, ..., x_n — факторные модели;

  b₀, b₁, b₂, ..., b_n — коэффициенты регрессии.

  Коэффициенты  регрессии показывают интенсивность влияния факторов на результативный показатель. Они характеризуют степень значимости отдельных факторов для повышения уровня результативного показателя. Аналитические достоинства регрессионных моделей заключаются в том, что, во-первых, точно определяется фактор, по которому выявляются резервы повышения результативности хозяйственной деятельности; во-вторых, выявляются объекты с более высоким уровнем эффективности; в-третьих, возникает возможность количественно измерить экономический эффект от внедрения передового опыта, проведения организационно-технических мероприятий.

        Методы факторного анализа в  связи с трудоемкостью расчетов  рекомендуется применять с помощью  компьютерной техники. К тому же в настоящее время для ЭВМ имеются стандартные программы по этим методам.

        Регрессионный анализ называют основным методом современной математической статистики для выявления неявных и завуалированных связей между данными наблюдений. Это ценный, универсальный исследовательский инструмент, используя который можно получить информацию о скрытых связях, улучшить аналитическую поддержку принятия решений, повысить их обоснованность.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  
 
 
 
 
 
 
 

4.          Модели линейного программирования в управленческом учете

        Одним из наиболее простых и часто используемых классов математичес-ких моделей, используемых в экономике, являются линейные модели. Они изучаются в рамках линейного программирования - одного из наиболее ранних и проработанных разделов исследования операций.

        Линейное программирование  - это набор математических методов и приемов решения задачи оптимального распределения имеющихся ограниченных ресурсов (денег, материалов, времени и т.п.) для достижения определенной цели (максимума прибыли или минимума издержек). [17]

        Линейное программирование как отдельный раздел сформировалось в 40-50-х годах XX в., когда стало ясно, что множество задач из сферы планирования и управления можно сформулировать в идее задач линейного программирования.

        Задача линейного программирования может быть сформулирована как задача нахождения наибольшего значения линейной функции

                                                    (4.1) 

на некотором  множестве D Ì Rⁿ ,где x Î D удовлетворяют системе ограничений 

     

       

     

       

                                  (4.2) 

    и, возможно, ограничениям 

                                                                               (4.3)                                                                    

        

В системе (4.2) первые m ограничений являются неравенствами, а последующие — l -уравнениями. Этого всегда можно добиться за счет простого переупорядочения ограничений. Ограничения (4.3) могут быть рассмотрены как частный случай ограничений в форме неравенств, но в силу особой структуры их обычно выделяют отдельно и называют условиями неотрицательности. Любая оптимизация всегда проводится при наличии некоторых ограничений – условий, ограничивающих изменения переменных решения при поиске максимальной или минимальной целевой функции [18]. Эти ограничения могут диктоваться:

- вторичными целями (например, минимизируя риск инвестиционного

портфеля, мы одновременно хотим добиться ожидаемой прибыли не хуже

заданной);

- ограниченностью ресурсов, находящихся в нашем распоряжении

(денежных, временных,  материальных);

- установленными «правилами игры» (рыночные ограничения, нормативные

акты, лимитирующие ту или иную характеристику или любые требования

субъекта, принимающего решения).

    Следует заметить, что выбор типа искомого экстремума (максимума или минимума) также носит относительный характер. Так, задача поиска максимума функции 

                          (4.4) 

    эквивалентна  задаче поиска минимума функции

                                                                        (4.5)

       Задачу линейного программирования, записанную в форме (4.1) - (4.3), называют общей задачей линейного программирования (ОЗЛП).  [19]

        С помощью этих задач можно решать достаточно большой класс задач распределения ресурсов не только в планировании и управлении

производством и экономическими объектами, но и  в проектировании

изделий и технологических процессов. [20]

        Этапы решения задачи линейного программирования:

1. Определение  цели. Целевая функция выражает  определенную цель, которая должна  быть максимизирована (например, операционная прибыль) или минимизирована (например, операционные затраты).

2. Определение  основных взаимосвязей. Эти взаимосвязи включают ограничения, выраженные как линейные функции. Ограничение — это математическое неравенство (или равенство), которому должны удовлетворять все переменные в математической модели.

3. Нахождение оптимального решения.

        В случае, когда в целевой функции только две переменные и количество ограничений небольшое, для нахождения оптимального решения можно использовать графический метод, как самый простой и наглядный, а также- метод проб и ошибок (или перебора). В более сложных случаях, которые возникают на практике, необходимы специальные пакеты программного обеспечения, например симплекс-метод. Этот один из первых специализиро-ванных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования. Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно оптимальный (так называемое начальное опорное решение) [21]; Оптимальность варианта достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число этапов.