Расчет статически определимых балок на прочность и жесткость

 

по выражению

 

τ_max = Q_maxS_x

J_x*d

τ_max = Q_maxS_x = 88,55*10^-3*423*10^-6 = 37,3МПа < R_s = 130МПа

J_x*d 13380* 10^-8*0,75

 

Строю эпюры  τ и Ϭ для этого сечения

 

Рис. 6. Эпюры напряжений в «опасном» сечении

 

y₁ = h/2 = 18см

y₂ = h/2 – t = 18 – 1,23 = 16,77см;

y₃ = 0;

Ϭ₍₁₎ = 149,1*10^-3 * 0,18 = 200,58МПа

13380*10^-8

Ϭ₍₁₎ = 149,1*10^-3 * 0,1677 = 200,58МПа

13380*10^-8

Ϭ₍₃₎ = 0

В этих же точках определяю касательные напряжения по формуле Журавского:

 

τ₍₁₎ = 0, так как S_x= 0;

 

для полки  двутавра

 

τ₍₂₎¹ = Q*S_xп = 32,41*10^-3*310,06*10^-6 = 0,52МПа

J_x*b 13380*10^-8*14,5*10^-2

 

где статический  момент полки

 

S_xп = A_n*y_c = b*t ( h – t) = 14,5*1,23*(18 – 1,23/2) = 310,06см³

2 2

 

для стенки двутавра

 

τ₍₂₎ = Q*S_xп = 32,41*10^-3*310,06*10^-6 = 10,01МПа

J_x*d 13380*10^-8*7,5*10^-3

 

на нейтральной  оси

 

τ₍₂₎ = Q*S_xп = 32,41*10^-3*423*10^-6 = 13,66МПа

J_x*d 13380*10^-8*7,5*10^-3

Ϭ_red³ = √ Ϭ²+ 4τ² ≤ R,

Ϭ_red⁴ = √ Ϭ²+ 3τ² ≤ R,

Ϭ_red³ = √ 186,87² + 4*10,01² = 187,9МПа < R= 240МПа

Ϭ_red⁴ = √ 186,87² + 3*10,01² = 187,7МПа < R= 240МПа

Ϭ_1,3 = Ϭ + 1 √ Ϭ² + 4τ²

2 2

τ_max^min = + 1 * √ Ϭ² + 4τ²

 

точка	1	2	2	3	4	4	5
τmaxmin,МПа	+100,29	+93,44	+93,97	+13,66	+93,97	+93,44	+101,29
Ϭ1, МПа	200,58	186,88	187,41	13,66	0,54	0,005	0
Ϭ3, МПа	0	-0,005	-0,54	-13,66	-187,41	-186,88	-200,58

 

Перемещения осуществляю методом начальных  параметров.

 

Рис. 7. Определение перемещения балки в сечении D

 

Жесткость сечения

 

EJ_x =2,06*10⁸*13380*10^-8 = 27562,8кНм²

 

Уравнения прогибов и углов поворота

 

EJ_xy = EJ_xy₀ + EJ_xϴ₀Z – V_Az³ + q* z⁴ – М*(Z – 3,6)² – q*( Z – 3,6)⁴ + V_B*

6 24224* (Z – 5,4)³

(2) EJ_xϴ = EJ_xϴ₀ - V_Az² + q* z³ – М*(Z – 3,6) – q*( Z – 3,6)³ + V_B*

2 66* (Z – 5,4)²

 

 

 

 

Начальные параметры

 

(3) опора А (Z=0) y_A=0

(4) опора  B (Z=5,4) y_В=0

 

Из (1) при  условии (3) следует

 

EJ_xy_A = EJ_x*y₀ = 0

 

Из (1) при  условии (4) следует

 

EJ_xy_A = EJ_x ϴ₀*5,4 – 88,55*5,4³+ 33,6*5,4⁴ – 48*1,8² – 33,6*1,8⁴ = 0

6 24 2 24

EJ_x ϴ₀ = 227,0кНм²

 

После подстановки  в предыдущие уравнения координаты сечения «D» (Z=2,7м) получаю:

Прогибы из (1)

Сечения «D» (Z=2,7м) – середина пролета

 

EJ_xy_D = 227,0*2,7 – 88,55* 2,7³+ 33,6*2,7⁴ = 396,88кНм³

y_D = 396,88 = 0,0144м = 1,44см (вверх)

27562,8

сечение Е (конец консоли) Z = 7,2м

EJ_xy_Е = 227,0*7,2 – 88,55* 7,2³+ 33,6*7,2⁴ – 48*3,6² – 33,6*3,6⁴ +

624224

+17,99*1,83² = -640,3кНм³

y_E = -640,3 = -0,0232см = -2,32см

27562,8

 

 

Углы  поворота из (2)

Сечение А (Z=0)

 

EJ_x ϴ_A = 227,0кНм²

ϴ_A = 227,0 = 0,00824 рад (против часовой стрелки)

27562,8

 

Сечение В (Z=5,4)

 

EJ_x ϴ_B = 227,0 – 88,55* 5,4² +33,6*5,4³ – 48* 1,8 - 33,6*1,8³ = -301,3кНм²

26 6

ϴ_B = -301,3 = -0,0109 рад (по часовой стрелке)

27562,8

 

Рис. 8. Изогнутая ось стальной балки

 

Согласно  условию задачи предельный прогиб равен:

 

f_u = 1 * l ;

200

 

Допускаемые прогибы

Середина  пролета 

 

f_u = 5,4 = 0,027м = 2,7см

 

200

 

Конец консоли

 

f_u = 3,6 = 0,018м = 1,8см

200

y_Е = 2,32см > f_u = 1,8см

 

Вывод: жесткость на конце консоли не обеспечена.

Размещено