Расчет статически определимых балок на прочность и жесткость

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Иркутский государственный  технический университет

Кафедра строительства и городского хозяйства

 

 

 

 

 

 

 

Курсовой  проект

на тему:

Расчет статически определимых балок на прочность  и жесткость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск, 2010 г.

 

 

Требуется:

 

1. Для деревянной балки Б-1 подобрать сечение круглого и прямоугольного профиля из брусьев ходовых размеров. Сравнив расход материала, выбрать рациональное сечение.

2. Проверить прочность по нормальным напряжениям балки Б-2 из сталефибробетона, сечение принимаем из таблицы 9 учебника «Курсовые и расчетно-проектировочные работы» под редакцией В.В. Семенова.

3. Для балки Б-3 подобрать по величине необходимого момента сопротивления соответствующий номер стальной двутавровой балки из таблиц сортамента прокатных или сварных балок.

4. Проверить прочность, подобранной в пункте 3 двутавровой балки в опасных точках:

• в точке, где действует ;
• в точке, где действует ;

5. Исследовать напряженное состояние стальной балки в пяти точках по высоте в сечении, где одновременно сочетание величины M и Q наиболее неблагоприятное (в верхней и нижних точках сечения, на границе между полкой и стенкой вверху и внизу, также на нейтральной оси):

• вычислить в каждой из указанных точек нормальные и касательные напряжения и построить их эпюры s и t по высоте сечения балки.
• определить величину и направление главных нормальных и максимальных касательных напряжений и построить их эпюры по высоте сечения балки.
• произвести проверку прочности по 3 и 4 теориям прочности.

Если условие прочности в какой-либо точке не будет удовлетворено, следует изменить размеры сечения.

Для схемы №1 подобрать сечение деревянной балки круглого и прямоугольного профиля из брусьев ходовых размеров. Сравнив расход

 

материала, выбрать рациональное сечение.

Проверить прочность по нормальным напряжениям балки из сталефибробетона для схемы №2, сечение принять по рис. 1 по указанию преподавателя.

Для схемы №3 подобрать по величине необходимого момента сопротивления соответствующий номер стальной двутавровой балки из таблиц сортамента прокатных или сварных балок.

Проверить прочность, подобранной в пункте 4 двутавровой балки; в опасных точках; в точке, где действует ; в точке, где действует ;

Исследовать напряженное состояние в пяти точках по высоте в сечении, где одновременно сочетание величины M и Q наиболее неблагоприятное (в верхней и нижних точках сечения, на границе между полкой и стенкой вверху и внизу, также на нейтральной оси).

Вычислить в каждой из указанных точек нормальные и касательные напряжения и построить их эпюры s и t по высоте сечения балки.

Определить главные и максимальные касательные напряжения и построить их эпюры по высоте сечения балки.

Произвести проверку прочности по 3 и 4 теориям прочности.

Если условие прочности в какой-либо точке не будет удовлетворено, следует изменить размеры сечения.

Все эпюры напряжений строить в одном масштабе.

6. Для стальной балки определить прогибы по середине пролёта и на концах пролёта, углы поворота на опорах: методом начальных параметров, методом Мора, способом Верещагина.

7. Изобразить изогнутую ось балки.

8. Проверить жесткость балки, приняв предельный прогиб .

 

 

 

 

 

Балка Б-1

 

1. Расчетные  значения нагрузки при :

 

M_n = 4кНм М = M_n * γ_f = 4*1,2 = 4,8кНм

F_n = 12кН F = F_n* γ_f = 12*1,2 = 14,4кН

q_n = 6кН/м q = q_n* γ_f = 6*1,2 = 7,2кН/м

l = 2м

 

2. Построение  эпюр М и Q

 

Рис. 1. Эпюры внутренних усилий в деревянной балке от расчетных нагрузок

 

 

Использую 2 форму аналитических условий  равновесия:

 

∑F_xy = 0

∑m_A= 0

∑m_B = 0

1.

∑m_B = - q*2*3 – F*4 + M + V_B * 6 = 0

v_B = 7,2*2*3+14,4*4 – 4,8 = 16 кН

2. ∑m_B = 0

∑m_A = - V_A * 6 + q*2*3+F*2+M = 0

V_A = 7,2*2*3+14,4*2+4,8 = 12,8 кН

 

Проверка  найденных реакций:

 

∑Y= 0; V_A – q*2 – F+ V_B = 0

∑Y=12,8 – 7,2*2 – 14,4 + 16 = 0; 0 = 0, => реакции найдены, верно.

 

1 участок

 

0≤ Z₁ ≤ Z

M(z₁) = V_A Z₁

M(z₁=0) = 0;

M(z₁=z) = 12,8*2= 25,6 кНм

Q(z₁) = V_A = 12,8кН

 

2 участок

 

0≤ Z₂ ≤ 2

M(z₂) = V_A*(2+ z₂) – q* z₂²

M(z₂=0) =12,8*2= 25,6кНм

M(z₂=2) =12,8*4 – 7,2*2² = 36,8кНм

Q(z₂)= V_A - q*z₂

Q(z₂=0)= 12,8кН

Q(z₂=2)= 12,8 – 7,2*2 = - 1,6кН

Z₂₀ = V_A = 12,8 = 1,78 м

q 7,2

 

Экстремум М (Z₂₀)= 12,8*3,78 – 7,2*1,78² = 36,98 кНм

3 участок

 

0≤ Z₃ ≤ Z

M(z₃) = M+ V_A*Z₃

M(z₃=0) = M= 4,8кНм

M(z₃=2) = 4,8+16*2= 36,8 кНм

Q(z₃)= V_В = - 16 кН

 

По полученным данным строю эпюры М и Q.

Определяю требуемый момент сопротивления  как:

 

W_x^тр > M_max = 36,98*10³ = 2845см³

R13

 

а) подбираю круглое сечение

круг 

 

W_x= πd³

 

диаметр

 

 

 

d > ³√ 32w_x^тр = √32*2845 = 31см

π 3,14

 

площадь

 

А = πd² = π*31² = 755см²

 

По сортаменту пиломатериалов берём см

б) подбираю прямоугольное сечение

прямоугольник

 

W_x = bh²

W_x = 25*25² = 2604см³ < W_x^тр = 2845см³

 

на b= 25см, h= 25см – наибольшее сечение.

По сортаменту пиломатериалов принимаю брус

 

h = 22см, b= 10см.

W_x = 10 * 44² = 3227см³

W_x = 3227см³ > W_x^тр = 2845см³

А^▫ = b*h = 10*44= 440см²

А^▫ < А

 

Балка Б-2

 

Проверить прочность и жесткость по нормальным напряжениям балки из сталефибробетона, сечение принять по учебнику «Курсовые и расчетно-проектировочные работы» под редакцией В.В. Семенова таблица 9.

 

 

 

1. Расчетные значения нагрузки при :

 

M_n = 50кНм М = M_n * γ_f = 50*1,2 = 60кНм

F_n = 7кН F = F_n* γ_f = 7*1,2 = 8,4кН

q_n = 18кН/м q = q_n* γ_f = 18*1,2 = 21,6кН/м

l = 2,8м

n = 5

 

Рис.3. Эпюры внутренних усилий в сталефибробетонной балке от расчетных нагрузок

 

1 участок

 

0≤ Z₁ ≤ 2,8

M(z₁) = F Z₁

M(z₁=0) = 0;

M(z₁=2,8) = 8,4*2,8= 23,52кНм

Q(z₁) = - F = - 8,4кН

 

2 участок

 

0≤ Z₂ ≤ 2,8

M(z₂) = q z₂² – М + F*( Z₂ + 2,8)

M(z₂=0) = -60+8,4*2,8= - 36,48кНм

M(z₂=2,8) =21,6*2,8² - 60+8,4*5,6= 71,71кНм

Q(z₂)= -F - qz₂

Q(z₂=0)= - 8,4кН

Q(z₂=2,8)= -8,4 – 21,6*2,8= - 68,88кН

 

По полученным данным строю эпюры М и Q.

 

2. Проверка прочности по нормальным напряжениям. Проверку выполняю по неравенствам

 

Ϭ_{t max} = M_max * y_t ≤ R_t ;

Ϭ_{c max} = M_max * y_c ≤ R_c ; J_xJ_x

 

Площади

 

А₁ = 40*60= 2400 см²

А₂ = Ѕ *7,5*60 = 225см²

 

 

 

 

 

 

Рис.4. Нормальные напряжения в поперечном сечении сталефибробетонной балки

 

Ординату  центра тяжести определяю относительно оси х₁, то есть

 

y_c = ∑SX₁ = A₁Y₁+2A₂q₂ = 2400*0+2*225*(-20) = - 3,16см

∑AA₁+2 A₂2400+2*225

 

Момент инерции

 

J_x1= 40*60³ = 720000см⁴

J_x2= 7,5*60³ = 45000см⁴

 

Момент  инерции относительно нейтральной  оси

 

J_x= ∑( J_xi + А_iа_i²)= (720000+3,16²*2400) + 2(45000+16,84²*225) =

961611см⁴

 

 

Наибольшие напряжения:

- в растянутой зоне балки

 

Ϭ_{t max} = M_max * y_t = 71,71*10^-3 * 0,2684= 2,00МПа < R_t = 4,5МПа

J_x 961611*10^-8

 

- в сжатой  зоне

 

Ϭ_{c max} = M_max * y_c = 71,71*10^-3 * 0,3316= 2,47МПа< R_с= 22,5МПа

J_x 961611*10^-8

 

Строю эпюру Ϭ по значениям Ϭ_{t max} и Ϭ_{c max} (рис. 4).

 

Вывод: условие прочности по нормальным напряжениям обеспечена.

 

Балка Б-3

1. Расчетные  значения нагрузки при :

 

M_n = 40кНм М = M_n * γ_f = 40*1,2 = 48кНм

F_n = 42кН F = F_n* γ_f = 42*1,2 = 50,4кН

q_n = 28кН/м q = q_n* γ_f = 28*1,2 = 33,6кН/м

l = 1,8м

 

2. Составляю  уравнения равновесия для заданной  балки от расчетных нагрузок. Отбрасываю связи, заменяю реакциями  v_А, v_B

Использую 2 форму аналитических условий  равновесия:

балка деревянный сталефибробетон стальной

∑F_xy = 0

∑m_A= 0

∑m_B = 0

∑m_B = q*3,6*1,8 + M + V_B *5,4 - F*7,2= 0

v_B = -33,6*3,6*1,8-48+50,4*7,2= 17,99кН

5,4

2. ∑m_B = 0

∑m_А = V_A*5,4 – q*3,6*3,6+ M – F*1,8= 0

V_A= 33,6*3,6*3,6 – 48+ 50,4*1,8= 88,55кН

5,4

 

Проверка  найденных реакций:

 

∑Y= 0; ∑Y= - V_A + q*3,6 – F+ V_B = 0

∑Y= -88,55+33,6*3,6+17,99 – 50,4 = 0; 0 = 0, => реакции найдены, верно.

 

3. Построение эпюр М и Q

1 участок

 

0≤ Z₁ ≤ 3,6

M(z₁) = qZ₁²– V_A Z₁

M(z₁=0) = 0;

M(z₁=3,6) = 33,6*3,6²/2 – 88,55*3,6= -101,1 кНм

Q(z₁) = qZ₁ - V_A

Q(z₁=0)= - 88,55кН

Q(z₁=3,6) = 33,6*3,6 – 88,55= 32,41кН

Z₁⁰ = V_A = 88,55 = 2,64 м

 

 

 

 

 

Рис. 5. Эпюры внутренних усилий в стальной балке от расчетных нагрузок

 

В сечении, где поперечная сила меняет знак, изгибающий момент имеет экстремальное значение. Нахожу его на втором участке:

Экстремум

 

М (Z₁⁰)= 33,6*2,64² - 88,55*2,64= - 117,1кНм

 

2 участок

 

0≤ Z₂ ≤ 1,8

M(z₂) = -FZ₂

M(z₂=0) =0

M(z₂=1,8) = - 50,4*1,8= - 90,72кНм

Q(z₂)= F= 50,4кН

 

3 участок

 

0≤ Z₃ ≤ 1,8

M(z₃) = V_ВZ₃ – F(Z₃+1,8)

M(z₃=0) = - 90,72кНм

M(z₃=1,8) = 17,99*1,8 – 50,4*3,6= - 149,1кНм

Q(z₃)= F – V_B= 50,4 – 17,99= 32,41кН

 

Определяю требуемый момент сопротивления  как:

 

W_x = M_max = 149,1*10³ = 621см³

R240

 

По ГОСТу 8239 – 72 выбираю двутавр №36, для которого:

 

W_x = 743см³; J_x= 13380см⁴; S_x= 423см³; b= 14,5см; d= 0,75см; t= 1,23см

 

Определяю фактическое нормальное напряжение:

 

Ϭ_max^факт = M_max = 149,1*10³ = 200,7МПа

W_x 743

 

Проверяю  прочность балки по касательным  напряжениям. Проверку провожу в  сечении, где 

 

 

 

 

 

Q_max = 88,55кН,