Математикфвыаа в дщревнем павпы

«Метод кучи»

Египетские  математики умели брать корень и  возводить в степень, были знакомы  с арифметической и геометрической прогрессией.

В древнем Египте про то, что неизвестные числа можно обозначать буквами, а потом работать с ними как с неизвестными величинами, и не подозревали.

Однако египтяне придумали  метод решения таких задач, который  назвали «методом кучи» (по-египетски  – «аха»).

Задача.

Летела стая гусей, а навстречу им еще гусь. Гусь говорит: «Здравствуйте, сто гусей». А ему отвечают: «Нас не сто гусей, а меньше. Если бы нас было столько, да ещё столько, да ещё полстолько, да ещё четверть столько, да ты, гусь, вот тогда нас было бы сто гусей». Сколько гусей было в стае?

Решение.

Египетский  писец Ахмес сказал бы: «Считай  с четырех». Это значило: «Считай, что в стае было четыре гуся». Тогда  простой подсчет показывает, что  столько, да ещё столько, да ещё полстолько, да ещё четверть столько дают 4+4+2+1=11 гусей, а нужно получить не 11, а 99 гусей (100-1). Так как 99:11=9, то надо взятое вначале число 4 умножить на 9.

Тогда получится  правильный ответ 36.

Поскольку вначале делается неправильное предположение, что число гусей равнялось  четырем, этот способ называется теперь «Правилом ложного положения».

 

УСПЕХИ  ЕГИПЕТСКИХ  ГЕОМЕТРОВ

 

Геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э.

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади  прямоугольника, треугольника и трапеции.

Площадь произвольного  четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как

Эта грубая формула  даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Площадь круга  вычислялась, исходя из предположения, что p = 3,1605 (погрешность менее 1%).

Первыми в истории  определяли площадь кривой поверхности (полушария или боковой поверхности  полуцилиндра).

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Ещё одна ошибка содержится в Акмимском папирусе: автор считает, что если радиус круга A есть среднее  арифметическое радиусов двух других кругов B и C, то и площадь круга A есть среднее арифметическое площадей кругов B и C.

Египтяне знали  точные формулы для объёма параллелепипеда  и других цилиндрических тел, пирамиды и усечённой пирамиды.

Пусть мы имеем  правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания t, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле:

О более раннем ходе развития математики в Египте нет никаких сведений. О более  позднем, вплоть до эпохи эллинизма, тоже. К сожалению, египтяне писали на папирусе, который сохранялся плохо, потому наши знания о математике Египта малы. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов – не зря ведь греческие математики учились у египтян. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

 

ОШИБКА В ФОРМУЛЕ ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА

 

В папирусе Ринда приводится такое правило для вычисления площади четырёхугольника: полусумму  длин двух противоположных сторон четырёхугольника умножить на полусумму длин двух других сторон.   

• Но это правило неверно!

Даже для  параллелограмма оно не даёт истинного  значения площади. Ведь если изготовить шарнирный прямоугольник, а потом  сжать его так, чтобы он превратился  в параллелограмм общего вида, то длины сторон не изменятся, а площадь уменьшится. Вообще для любого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d имеет место неравенство:

В равенство оно превращается только для прямоугольника. Иначе говоря, египетское правило справедливо (и то неточно, а лишь приближенно), когда четырёхугольник мало отличается от прямоугольника. По-видимому, именно такую форму имело большинство земельных участков египтян, и для них ошибка, заключённая в этом правиле, была незначительна.

 

 

ВЕРСИЯ ПОЯВЛЕНИЯ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЁННОГО ЧИСЛА p

 

Гипотеза математика А.Е. Раика

 

В первом приближении  площадь круга S равна разности между площадью квадрата со стороной d и суммарной площадью четырёх малых квадратов A со стороной :

 

 

Далее из полученной площади  нужно вычесть площадь восьми квадратов B со стороной , и тогда площадь круга будет приближённо равна следующему выражению:

 

 

 

 

В пользу изложенной здесь гипотенузы свидетельствуют аналогичные вычисления одной из задач Московского папируса, где предполагается сосчитать

В Древнем Египте для вычисления площади круга  использовалось правило S = (8d/9)², что соответствует значению π = 4‧(8/9)² ≈ 3,1605. Ошибка при этом составляет менее 1 %.

АРИФМЕТИКА

 

Арифметика того времени  была наукой экспериментальной. Вначале  был накоплен опыт на ста задачах, потом метод проверен ещё на двухстах, только убедившись, что он работает, делали вывод: он верен. Разумеется, египтянам счёт был нужен не сам по себе. С его помощью они решали различные задачи, возникавшие у них в хозяйственных и военных делах. Мы расскажем про арифметические задачи, которые тогда решали.

«Папирус Ахмеса» 
Задачи

1. Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

- Сколько  приводишь ты из своего многочисленного  стада? 

Пастух  отвечает:

- Я  привожу две трети от трети  скота. Сочти, сколько быков  в стаде.

Умножение и деление обыкновенных дробей

315

2. Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

Умножение и деление обыкновенных дробей

221

3. В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос дает 7 растений, на каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Геометрическая прогрессия

19607

 

КОМПЬЮТЕРНОЕ  И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

Компьютерное  моделирование – создание компьютерной модели.

Компьютерная  модель – это модель, реализованная  средствами программной среды. Каждая программная среда имеет свой инструментарий и позволяет работать с определенными видами информационных моделей. С развитием программного и аппаратного обеспечения теперь можно не только провести традиционный расчет параметров объекта, но и построить образную модель (рисунок, схему, анимационный сюжет), используя графические средства языка.

Моделирование фигур с заданными свойствами является проблемно-поисковой деятельностью, так как построения при помощи инструментов графического редактора  имеют следующие особенности:

• нет измерительной линейки для построения отрезков заданной длины;
• нет инструмента, подобного транспортиру, для измерения и деления углов;
• нет инструмента, подобного циркулю, с помощью которого можно построить окружность заданного радиуса с заданным центром;
• нельзя делать построения с точными размерами, за исключением углов в 450 и 900.

Таким образом, главный акцент при проведении моделирования  в графическом редакторе делается на разработку алгоритма построения. Знание законов геометрии и технологии работы в среде графического редактора  позволяет решать любые поставленные задачи.

Большое внимание при моделировании уделяется  проведению компьютерного эксперимента и анализу результатов.

Компьютерный эксперимент  лишен недостатков, так как не занимает много времени и не требует материального оснащения.

Нами использовался векторный графический редактор, который  можно сравнить с конструктором, где изображение строится из готовых элементов – графических примитивов, а размер, положение и другие характеристики контролировать и изменять с помощью меню окна «формат объекта».

 

Гипотеза математика А.Е. Раика

 

Пусть d = 6 см. Тогда

 

 

Тогда  

 

Что и требовалось  доказать.

 

«Папирус Ахмеса» 
Задачи

1. Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

- Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?

Пастух  отвечает:

- Я  привожу две трети от трети  скота. Сочти, сколько быков  в стаде.

Решение.

2 способ.

Пусть х – количество быков в стаде. Тогда имеем уравнение 

 

 

 

 

Ответ: 315.

 

2. Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

 

Решение.

 – оставшаяся доля

– доля сокровищ соответствующая 192.

Выражение:

Ответ: 221

 

 

3. В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос дает 7 растений, на каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

 

Решение.

Члены последовательности: 7, 49, 343,… - увеличиваются в 7 раз, значит, это геометрическая прогрессия, где , , а . Найдем .

 

Ответ: 19607.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Многие исследователи  отмечают достаточно низкий уровень  теоретической математики в древнем  Египте. Нет попытки доказательства. Задачи и решения, приведенные в  папирусах, сформированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений, арифметической и геометрической прогрессиями. Египетская математика не располагала общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.

«По мере возникновения новых задач  познания природы само содержание математики не может оставаться неизменным. Оно  подобно живому организму развилось  и развивается: на математическом древе  появляются новые ветви, вырастают  новые корни».                                                          Б.В. Гнедени

 

О ПРОЕКТЕ

Я изучаю Древний  Египет уже два года.

Благодаря вашему проекту, я поняла, что история  Древнего Египта без рассмотрения развития математики «однобока».

Рассвет египетского искусства, строительства и архитектуры, земледелия и производства подкреплялся не только большим трудолюбием и целеустремлённостью египтян, но и кропотливым изучением математики, сбором общих правил и формул, проверенных на практике и передаваемых из поколения в поколение.

Меня давно  привлекает математика, так как в  будущем я планирую связать свою жизнь с точными науками. Надеюсь, что мне это удастся. И данный проект является первым шагом для  осуществления заветной мечты.

ЛИТЕРАТУРА

Египетский  иератический папирус № 1116 Государственного Эрмитажа (Пророчество Нефертити) // Краткие сообщения Института народов Азии (АН СССР) (далее КСИНА), XLIV. М., 1961. С. 45–58.

Иератический  папирус 127 из собрания ГМИИ им. А.С. Пушкина. М., 1961.

Размышления Хахаперрэсэнба//КСИНА, LVII. М., 1961. С. 41–45.

Хрестоматия по истории Древнего Востока. М., 1997:

Религия древнего Египта. M., 1976. Переиздание: СПб, 2000.

http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm 
издательство=Просвещение |место=М. |год=1964 |страницы=279]

Бобынин В.В. Математика древних египтян (по папирусу Ринда). М., 1882.

Виленкин Н.Я. О вычислении объёма усечённой пирамиды в Древнем Египте. Историко-математические исследования, вып. 28, 1985.

Веселовский И. Н., Египетская наука и Греция, в  кн.: Труды института истории естествознания АН СССР, т. 2, М., 1948;

Египетский  иератический папирус № 167 ГМИИ им. А. С. Пушкина в Москве // Древний  Египет. М., 1960. С. 119–133.