Контрольная работа по экономике

 

Определим индекс корреляции по формуле:

Найденный нами показатель индекса корреляции свидетельствует о том, что связь между фактором х и показателем у прямая, сильная.

Определим коэффициент детерминации: Найденный нами показатель коэффициента детерминации свидетельствует о том, что вариация показателя y на 64% объясняется вариацией фактора x.

Рассчитаем F-критерия Фишера, на основе которого проведем оценку значимости модели. Данный показатель определяется по формуле:

По данным специальной таблицы табличное значение F-критерия Фишера для степеней свободы 1 и 8 и вероятности 0,95 составит Fтабл = 11,26. Fрасч > Fтабл, это свидетельствует о том, что уравнение модели является статистически значимым с вероятностью р=0,95.

Определим коэффициент эластичности и бета-коэффициент:

где b – коэффициент уравнения регрессии при факторе; - среднее значение фактора и результирующего признака соответственно; Sx, SY – среднеквадратическое отклонение фактора и результирующего признака соответственно, рассчитываемые в свою очередь по формулам:

Тогда:

На основе коэффициента эластичности определяем, что зависимая переменная изменяется на 0,62% при изменении переменной-фактора на один процент.

На основе бета-коэффициента определяем, что среднее значение зависимой переменной меняется на 0,80 величины среднего квадратического отклонения с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение.

Составим таблицу 9, с помощью которой проанализируем случайную компоненту ε.

Определим остаточную дисперсию:

Определим t-статистику Стьюдента: tрасч = b / σb,

где σb - стандартная ошибка коэффициента b, которая определяется по формуле:

 

Таблица 9 – Оценка случайной компоненты показательной модели

t	Y	Ŷ	εi = Yi- Ŷ i	│εi /Yi│×100%	ε2	(εi-εi-1)2
1	1,14	1,19	-0,054	4,71	0,003
2	1,23	1,19	0,033	2,68	0,001	0,007
3	1,24	1,25	-0,009	0,76	0,000	0,002
4	1,28	1,24	0,033	2,58	0,001	0,002
5	1,25	1,24	0,011	0,87	0,000	0,000
6	1,27	1,30	-0,025	1,93	0,001	0,001
7	1,28	1,28	-0,001	0,06	0,000	0,001
8	1,26	1,26	-0,001	0,06	0,000	0,000
9	1,26	1,27	-0,005	0,40	0,000	0,000
10	1,28	1,27	0,017	1,36	0,000	0,001
∑	12,49	12,49	0,000	15,42	0,006	0,014
ср.зн	1,25			1,54

 

Тогда t-статистика равна: t = 0,04/0,01 = 3,78. По данным специальной таблицы для степеней свободы 8 и вероятности 0,95 табличное значение t-критерия Стьюдента равно tтабл = 2,306. tрасч>tтабл, это свидетельствует о том, что х влияет на у существенно с вероятностью р=0,95.

Проанализируем условия «хороших оценок» относительно случайной компоненты ε.

1) Изучим нарушение условия о том, что M(εi)≠0. Вероятность для всех значений εi равно 1, поэтому должно выполняться следующее условие:

Таким образом, гипотеза о том, что M(εi)≠0 отвергается, и условие соблюдается.

2) Изучим нарушение условия о том, что D(εi) ≠ const. Для проверки нарушения условия определим F-статистику по формуле:

.

F-статистика равна: 5,57.

Если проверяется гипотеза о росте дисперсии, то Fрасч должно быть меньше Fтабл. Если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, то Fрасч должно быть больше Fтабл.

Табличное значение составит Fтабл = F4,40,95 составит 6,39 для степеней свободы 4 и 4. Так как Fтабл > Fрасч, то есть гипотеза о росте дисперсии подтверждается и таким образом второе условие не соблюдается с вероятностью p = 0,95.

3) Изучим нарушение условия о наличии автокорреляции случайных компонент для наблюдений. Для этого рассчитаем значение статистики Дарбина-Уотсона по формуле:

Найденное значение критерия Дарбина-Уотсона 2,25 принадлежит интервалу (dU = 1,32; 4-dU = 1,68). Таким образом, с вероятностью р=0,95 отсутствует автокорреляции остатков.

Определим среднюю относительную ошибку Еотн, значение которой представлено в таблице 9:

Найденный нами показатель свидетельствует о том, что в среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических на 1,54%.

График показательной модели отображен на рисунке 4.

Рисунок 4 - Показательная модель

 

4. Для построения гиперболической модели произведем линеаризацию параметров следующего уравнения .

Пусть Тогда получим линейное уравнение регрессии:

.

Составим таблицу 10, на основе данных которой найдем параметры полученного линейного уравнения регрессии:

Уравнение гиперболической модели будет иметь вид:

.

Для нахождения характеристик гиперболической модели составим таблицу 11.

Определим индекс корреляции по формуле:

Найденный нами показатель индекса корреляции свидетельствует о том, что связь между фактором х и показателем у прямая, сильная.

 

Таблица 10 – Расчеты параметров гиперболической модели

t	x	y	X=1/х	Xy	X²
1	18,94	13,68	0,05	0,72	0,003
2	19,02	16,81	0,05	0,88	0,003
3	20,59	17,50	0,05	0,85	0,002
4	20,36	18,91	0,05	0,93	0,002
5	20,28	17,85	0,05	0,88	0,002
6	21,80	18,78	0,05	0,86	0,002
7	21,33	19,04	0,05	0,89	0,002
8	20,75	18,11	0,05	0,87	0,002
9	21,00	18,33	0,05	0,87	0,002
10	20,97	19,25	0,05	0,92	0,002
∑	205,02	178,27	0,49	8,68	0,024
ср.зн	20,50	17,83	0,05	0,87	0,002

 

Таблица 11 – Расчеты характеристик гиперболической модели

t					2
1	0,004	-4,15	-0,016	0,00002	17,188
2	0,004	-1,02	-0,004	0,00001	1,044
3	0,000	-0,32	0,000	0,00000	0,105
4	0,000	1,08	0,000	0,00000	1,175
5	0,000	0,02	0,000	0,00000	0,000
6	-0,003	0,96	-0,003	0,00001	0,916
7	-0,002	1,22	-0,002	0,00000	1,477
8	-0,001	0,29	0,000	0,00000	0,082
9	-0,001	0,50	-0,001	0,00000	0,249
10	-0,001	1,43	-0,002	0,00000	2,034
∑	0,000	0,00	-0,027	0,00005	24,271

 

Определим коэффициент детерминации: Найденный нами показатель коэффициента детерминации свидетельствует о том, что вариация показателя y на 80% объясняется вариацией фактора x.

Рассчитаем F-критерия Фишера, на основе которого проведем оценку значимости модели. Данный показатель определяется по формуле:

По данным специальной таблицы табличное значение F-критерия Фишера для степеней свободы 1 и 8 и вероятности 0,95 составит Fтабл = 11,26. Fрасч > Fтабл, это свидетельствует о том, что уравнение модели является статистически значимым с вероятностью р=0,95.

Определим коэффициент эластичности и бета-коэффициент:

где b – коэффициент уравнения регрессии при факторе; - среднее значение фактора и результирующего признака соответственно; SX, Sy – среднеквадратическое отклонение фактора и результирующего признака соответственно, рассчитываемые в свою очередь по формулам:

Тогда:

На основе коэффициента эластичности определяем, что зависимая переменная изменяется на 1,64% при изменении переменной-фактора на один процент.

На основе бета-коэффициента определяем, что среднее значение зависимой переменной меняется на 0,82 величины среднего квадратического отклонения с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение.

Составим таблицу 12, с помощью которой проанализируем случайную компоненту ε:

Определим остаточную дисперсию:

 

Таблица 12 – Оценка случайной компоненты гиперболической модели

t	y	ŷ	εi = yi- ŷ i	│εi /yi│×100%	ε2	(εi-εi-1)2
1	13,68	15,47	-1,79	13,06	3,19
2	16,81	15,60	1,21	7,18	1,46	8,96
3	17,50	18,00	-0,50	2,86	0,25	2,92
4	18,91	17,67	1,24	6,54	1,53	3,02
5	17,85	17,56	0,29	1,62	0,08	0,90
6	18,78	19,61	-0,83	4,42	0,69	1,26
7	19,04	19,01	0,03	0,17	0,00	0,75
8	18,11	18,23	-0,12	0,66	0,01	0,02
9	18,33	18,57	-0,25	1,35	0,06	0,02
10	19,25	18,53	0,72	3,74	0,52	0,93
∑	178,27	178,27	0,00	41,61	7,80	18,77
ср.зн	17,83			4,16