Планирование и организация эксперимента

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Цель выполнения курсовой работы "Планирование и организация эксперимента" – закрепление и углубление знаний студентов по дисциплинам фундаментального, общетехнического и профессионального циклов, а также подробное изучение современных методов планирования экспериментов, математического моделирования объектов и систем контроля и управления.

Задачей курсовой работы является приобретение студентами навыков выбора необходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построения матрицы планирования, обработки и анализа полученных результатов в зависимости от выбранного плана эксперимента.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  МОДЕЛИ

 

На бесцентрово-суперфинишном станке суперфинишируют ролики. При этом изменяются значения скорости вращения V (х1), силы прижатия абразивных брусков P (х2) и частота осцилляции n(х3).

Требуется построить регрессионную математическую модель зависимости параметра оптимизации – шероховатости обработанной поверхности Y (Ra) от указанных параметров.

Предполагается, что имеют место эффекты взаимодействия факторов.

Таблица 1. Исходные данные

 

Контролируемые переменные	V, м/мин	Р, Н	n, дв.х
Верхний уровень	150	500	2500
Нижний уровень	50	100	500

 

Таблица 2. Факторы процесса и параметры оптимизации

 

№ точки плана	Факторы процесса			Параметр оптимизации Y, мкм
	х1	х2	x3	Y1	Y2	Y3	Y4
1	-	-	-	0,24	0,2	0,28	0,24
2	+	-	-	0,1	0,14	0,08	0,16
3	-	+	-	0,38	0,26	0,3	0,34
4	+	+	-	0,18	0,26	0,2	0,24
5	-	-	+	0,1	0,12	0,15	0,07
6	+	-	+	0,05	0,11	0,07	0,09
7	-	+	+	0,12	0,2	0,14	0,18
8	+	+	+	0,08	0,1	0,07	0,11

 

Также необходимо:

а) проверить выборки на однородность;

б) для 7 точки плана определить минимальное количество параллельных опытов для достижения заданной точности Δ=0,02.

 

Эксперимент, в котором используются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). Когда число уровней каждого фактора равно 2, то число опытов ПФЭ составляет , где N—число опытов (или серий параллельных опытов); k—число факторов.

План проведения эксперимента и его результаты записываются в виде таблицы, которая называется матрицей планирования (МП). Если результаты эксперимента в таблицу не записываются, то такая таблица, содержащая только уровни факторов, называется факторным планом (ФП).

Предполагается, что в общем случае модель может иметь вид 

Таблица 3 - Расширенная матрица ПФЭ 23

 

№ точки плана	Факторы процесса				Взаимодействие факторов				Параметр оптимизации Y,мкм
	х0	х1	х2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	Y1	Y2	Y3	Y4
1	1	-1	-1	-1	1	1	1	-1	0,24	0,2	0,28	0,24
2	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	0,1	0,14	0,08	0,16
3	1	-1	1	-1	-1	1	-1	1	0,38	0,26	0,3	0,34
4	1	1	1	-1	1	-1	-1	-1	0,18	0,26	0,2	0,24
5	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	0,1	0,12	0,15	0,07
6	1	1	-1	1	-1	1	-1	-1	0,05	0,11	0,07	0,09
7	1	-1	1	1	-1	-1	1	-1	0,12	0,2	0,14	0,18
8	1	1	1	1	1	1	1	1	0,08	0,1	0,07	0,11

 

Определение параметров нормализованной линейной модели производится по формулам:

где ai — параметры нормализованной модели; i = l, 2, 3, ..., k — номер фактора; u=1, 2, 3, ..., N — номер опыта (или серии опытов); k — число факторов; N— число опытов; xiu значение xi в u-м опыте.

Результаты расчета:

 

=0,168;

   

 

Для проверки адекватности модели определяем дисперсию воспроизводимости и доверительный интервал оценки параметров

0,00013;

Все параметры линейной модели определяются с одинаковой дисперсией

После подсчета дисперсии воспроизводимости для каждого из восьми опытов, рассчитаем доверительный интервал. 

  

 

где t(P,mN)- Критерий Стьюдента, определяется по таблице П1 при Р=0,95, m=4, t(P,mN)=2,045.

    N - суммарное количество опытов, N=32

Sв2 – среднее значение дисперсии воспроизводимости

 

Параметр считается статистически значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала: Статистически незначимые параметры считаем равными нулю.

Если каждый опыт повторялся m раз, где m=4, дисперсия адекватности будет вычисляться по следующей формуле:

где  fu  значение отклика, вычисленное по модели при уровнях факторов, соответствующих опыту (или серии опытов) с номером u;

j — номер опыта в серии u.

Таблица 4 – Расчетные данные

Yf	(yui-yfu)				сумкв (yui-yfu)
0,24	0	0,04	-0,04	0	0,0032
0,12	0,02	-0,02	0,04	-0,04	0,004
0,32	-0,06	0,06	0,02	-0,02	0,008
0,22	0,04	-0,04	0,02	-0,02	0,004
0,11	0,01	-0,01	-0,04	0,04	0,0034
0,08	0,03	-0,03	0,01	-0,01	0,002
0,16	0,04	-0,04	0,02	-0,02	0,004
0,09	0,01	-0,01	0,02	-0,02	0,001

 

 

Адекватность модели с взаимодействиями определяется с помощью критерия Фишера.

Определим наблюдаемое значение критерия Фишера по следующей формуле:

где So2 - дисперсия адекватности, рассчитанная ранее;

Sb2 - среднее значение дисперсии воспроизводимости для восьми опытов.

Критическое значение критерия Фишера Fк определяется по табл. П.7 в зависимости от доверительней вероятности Р, числа параллельных экспериментов в серии m=(m2) и m1=N-k-1, где m1=4, m2=4, отсюда следует Fк= 9,303.

Fн<Fк, (8,000<9,303),следовательно, регрессионная математическая модель зависимости параметра оптимизации, выбранная нами, адекватна.

 

1.1 ПРОВЕРКА ВЫБОРОК НА ОДНОРОДНОСТЬ

 

При анализе выборочных данных могут выдвигаться гипотезы об однородности дисперсией в нескольких выборках. В этом случае можно использовать критерий Кохрена. Наблюдаемое значение критерия Gн определяется по формуле:

 

 

где S2imax – максимальная оценка дисперсии среди n сравниваемых дисперсий (все n выборок имеют одинаковый объем m).

Для определения наблюдаемого значения Кохрена найдём суммы дисперсий и максимальное значение дисперсий.

Выбираем максимальное значение дисперсии Simax2=0,0027

Критическое значение критерия определяется из табл. П.8 в зависимости от принятых доверительной вероятности P, объема выборок m и их числа n.

По табл. П.8 для P = 0,95, m =4 и n =8 находим Gk.

Gk = 0,438

 Поскольку  Gн < Gk (0,27< 0,438), то можно считать выборки однородными.

1.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМАЛЬНОГО КОЛИЧЕСТВА ОПЫТОВ

 

Определить количество параллельных опытов, необходимых для оценки с точностью до 2 мкм среднего квадратического отклонения размера шлифованных заготовок, если после первой серии опытов получены следующие результаты: 0,12; 0,2; 0,14; 0,18.

Рассчитаем размах данной выборки:

R=Хmax-Хmin

 R=0,2-0,12=0,08

Находим первую оценку:

,

Где R - размах, R=0,08;

dm - среднее значение относительного размаха, находящийся по таблице П5, для m=4, dm=2,059.

Процедуру  последовательного планирования выполним, пользуясь  формулой:

где  t(P,m) - значение критерия Стьюдента (табл. П.1) при Р=0,95 и m=4, t(P,m)=3,183

Подставляя  значение S в данную формулу, получим: m³3,1832×0,03882/(2×0,022))= 19,065

Выбирая новое значение t при m=19 и повторяя вычисления, имеем:

m³2,10152×0.03882/(2×0,022))= 8,31

При m=8 получим:

m³2,3652×0,3882/(2×0,022))= 10,4

 

Окончательно принимаем m=10. Для реализации эксперимента необходимо провести 6 дополнительных опытов.

Таблица 4 - Необходимое число опытов 

0,12
0,2
0,14
0,18
0,12
0,2
0,14
0,18
0,12
0,2

 После реализации 6 дополнительных  опытов получена новая оценка σ:  для m=10, dm=3,078

Согласно неравенству:

Rm / dm1 < s  < Rm / dm2,

где σ - стандартное отклонение;

dm1=4,79, dm2=1,67, получим:

0,017£s£ 0,048

 т. е. доверительный интервал  равен:

Δ=0,048-0,017=0,0309

 а его половина Δ(σ)= 0,015<0,02,

Таким образом для достижения заданной точности Δ=0,02 необходимо провести 10 параллельных опытов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ОЦЕНКА ЗНАЧИМОСТИ  ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ НА ОТКЛИК  ПРИ ПОМОЩИ ЛАТИНСКОГО КВАДРАТА

 

Необходимо оценить значимость влияния трёх факторов на отклик при помощи латинского квадрата. Результаты эксперимента латинского квадрата для r=4 приведены ниже:

оценить значимость.

Таблица 5 - План и результаты эксперимента

 

	X11	X12	X13	X14
X21	-208	-157	-86	5
X22	-152	-61	70	-23
X23	-96	55	2	153
X24	-40	7	158	389

 

Yå	16
Yå2	256
Yji2	321176