Кривошипно-ползунный механизм

1. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА

Исходные данные: АВ = 2,7 м, ВС = 8 м. Угловая скорость начального звена АВ , угловое ускорение начального звена .

Требуется найти: Линейные скорости точек V_B и V_С, угловую скорость звена ВС, обозначенную на схеме как , и угловое ускорение этого же звена .

 

1.2. ПОРЯДОК КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

 

1. Анализ движения звеньев

 

Первое звено АВ совершает круговое движение.

Второе звено ВС совершает плоскопараллельное движение.

Ползун С совершает поступательное движение.

 

2. Определение линейных скоростей методом планов

 

Линейная скорость точки В

Вектор линейной скорости точки В откладывается из полюса (точки Р) перпендикулярно звену АВ в масштабе.

Затем проводится линия вектора линейной скорости точки С. Длина вектора пока неизвестна, поэтому проводится лишь линия, которая параллельна вектору линейной скорости точки С.

Относительная линейная скорость точки С ненулевая, потому что точка С вращается вокруг точки В. Длина вектора относительной линейной скорости точки С относительно центра вращения точки В неизвестна, однако известно направление этого вектора. Этот вектор перпендикулярен звену ВС и проходит через точку В на плане скоростей. Поскольку этот вектор не является выражением абсолютного движения, его началом и концом являются подвижные точки В и С. Отложим его на плане скоростей.

Линии, проходящие через полюс Р и точку В на плане скоростей пересекаются в точке С. вектор V_C показывает величину линейной скорости точки С, а вектор V_CB показывает величину относительной линейной скорости точки С вокруг В. Измерение длин векторов в масштабе чертежа дает численные значения

V_C = 5,5 м/с, V_СВ = 3 м/с.

 

3. Расчет угловых скоростей

 

Угловая скорость звена ВС

 

4. Определение ускорений

 

Точка В совершает вращательное движение с угловым ускорением, поэтому ее полное ускорение будет складываться из векторной суммы нормального ускорения и тангенциального ускорения. Нормальное ускорение является центростремительным и направлено к центру вращения (точка А), тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории вращения (окружности) и всегда перпендикулярно нормальному ускорению.

Нормальное ускорение точки В

Тангенциальное ускорение точки В

Полное ускорение точки В находится по теореме Пифагора (векторы нормального и тангенциального ускорений перпендикулярны друг другу)

Точка С совершает плоское движение, поэтому ее ускорение линейно. Оно направлено вдоль траектории движения точки С.

Звено ВС совершает плоскопараллельное движение, то есть поступательная составляющая ускорений точек В и С одинакова, а вращательная составляющая разная, поэтому находим нормальное ускорение точки С при вращении ее вокруг точки В

Полное ускорение точки С есть сумма векторов полного ускорения точки В, тангенциального ускорения точки С относительно В и нормального ускорения точки С относительно В.

Теперь очевидно, что тангенциальное ускорение точки С относительно точки В есть величина неизвестная, потому что для ее определения нужно знать угловое ускорение звена ВС.

Для графического определения ускорения точки С строится вектор нормального ускорения точки В в масштабе. Этот вектор параллелен звену АВ. Потом строится вектор тангенциального ускорения точки В в том же масштабе. Этот вектор перпендикулярен вектору нормального ускорения. Затем строится их векторная сумма - вектор полного ускорения точки В.

Вектор нормального ускорения точки С при вращении ее вокруг точки В откладывается из точки В на плане ускорений. Этот вектор параллелен звену ВС и направлен к точке В (на схеме механизма, а на плане ускорений он направлен от точки В). Через его конец проводится линия, перпендикулярная этому вектору. Эта линия показывает направление вектора тангенциального ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В.

Однако точка С движется линейно и имеет лишь одно ускорение, которое направлено горизонтально, поэтому горизонтальная линия, проведенная через полюс π дает направление этого вектора.

Пересечение перпендикуляра, который является вектором тангенциального ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В с линией ускорения точки С (горизонталь) дает точку С на плане ускорений. Таким образом отсекается вектор ускорения точки С, который есть сумма тангенциального ускорения точки В, нормального ускорения точки В, тангенциального ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В и нормального ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В.

Остается только достроить все параллелограммы сумм векторов.

Соединение точек В и С вектором ВС дает вектор полного ускорения точки С при ее вращении вокруг точки В.

Измерение построенных векторов в масштабе позволяет определить численные значения.

или же аналитически по теореме Пифагора

Отсюда угловое ускорение звена ВС

Кинематический анализ закончен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА

 

Исходные данные для динамического анализа.

Массы звеньев: звено АВ m₁ = 2 кг, звено ВС m₂ = 4 кг, звено С (ползун) m₃ = 1 кг

Центры тяжести звеньев - посередине, обозначены как S₁, S₂, S₃.

Исходными данными являются результаты кинематического анализа: угловые и линейные скорости, угловые ускорения.

 

Требуется найти: кинетическую энергию механизма и его отдельных звеньев, приведенный к первому звену момент от сил тяжести всех звеньев механизма, приведенный к первому звену момент инерции механизма, силы инерции и моменты сил инерции для всех звеньев механизма.

 

 

2.2. ПОРЯДОК ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

 

Момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр тяжести этого звена, определяется по формуле

где m и l соответственно масса и длина звена.

 

1. Определение инерционных характеристик звеньев

 

Момент инерции первого звена АВ

Момент инерции второго звена ВС

Ползун не совершает вращательного движения, поэтому не имеет момента инерции.

 

2. Определение кинетической энергии механизма

 

Первое звено совершает вращательное движение, поэтому его кинетическая энергия рассчитывается по формуле

Для дальнейшего расчета необходимо провести дополнительные построения на планах скоростей и ускорений: необходимо построить векторы скоростей центров тяжестей звеньев и векторы их полных ускорений. Ввиду того, что центры тяжести лежат посередине звеньев, это несложно.

В результате построений получили

V_S1 = 2,7 м/с (половина линейной скорости точки В),

V_S2 = 5,2 м/с (из плана скоростей),

V_S3 = 5,5 м/с (линейная скорость точки С),

Второе звено совершает плоскопараллельное движение, то есть это звено вращается вокруг некоторой оси и одновременно движется поступательно, поэтому кинетическая энергия для этого звена есть сумма двух энергий

Кинетическая энергия третьего звена (поступательное движение)

Полная кинетическая энергия механизма

 

3. Определение приведенного момента от сил тяжести звеньев

 

Для этого необходимо построить векторы полных ускорений центров тяжестей звеньев на плане ускорений и измерить их величину и угол от вертикали.

Получили: длина вектора полного ускорения точки S₂ равна 6 м/с² исходя из построения, а длина вектора полного ускорения точки S₁ равна 5,55 м/с² (половина полного ускорения точки В), длина вектора полного ускорения точки S₃ равна 1,9 м/с² (ускорение точки С).

Соответствующие углы равны φ₁ = 17^о, φ₂ = 26^о, φ₃ = 90^о из плана ускорений.

Приведенный момент от сил тяжести первого звена

где g = 9,81 м/с² - ускорение свободного падения,

Приведенный момент от сил тяжести второго звена

Приведенный момент от сил тяжести третьего звена

Приведенный момент от сил тяжести всех звеньев механизма

Момент получился положительный, то есть он движущий, его величина совпадает с угловой скоростью первого звена.

 

4. Определение приведенного момента инерции

 

Приведенный момент инерции первого звена

Приведенный момент инерции второго звена

Приведенный момент инерции третьего звена

Приведенный момент инерции всего механизма

 

5. Определение сил инерции

 

Момент сил инерции первого звена

Момент сил инерции второго звена

Момент сил инерции третьего звена нулевой, потому что звено движется поступательно.

Сила инерции первого звена

Сила инерции второго звена

Сила инерции третьего звена

Плечи приведения сил и моментов инерции к одной силе

Силы инерции наносятся на плане механизма в виде векторов, параллельных полным ускорениям центров тяжести звеньев. Векторы направлены в противоположные стороны действия ускорений и строятся в масштабе.

Векторы сил инерции переносятся согласно плечам приведения, которые также откладываются в масштабе (см. рисунок).

Плечо силы h₁ ввиду его малости на чертеже не обозначено.

Сила Ф₃ на чертеже показана не в масштабе.

 

Динамический анализ закончен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

 

Представлен кривошипно-ползунный механизм.

Число степеней исследуемого механизма определим по формуле Чебышева:

 

(1)

 

где n - число подвижных звеньев в составе исследуемой кинематической цепи; p₄ и p₅ - соответственно число пар четвертого и пятого класса.

Для определения величины коэффициента n проанализируем структурную схему механизма (рисунок 1):

 

Рисунок 1 - Структурная схема механизма

 

Структурная схема механизма состоит из четырех звеньев:

1 - кривошип,

2 - шатун АВ,

3 - ползун В,

0 - стойка,

при этом звенья 1 - 3 являются подвижными звеньями, а стойка 0 - неподвижным звеном. Она представлена в составе структурной схемы двумя шарнирно-неподвижными опорами и направляющей ползуна 3.

Следовательно, n=3.

Для определения значений коэффициентов p₄ и p₅ найдем все кинематические пары, входящие в состав рассматриваемой кинематической цепи. Результаты исследования заносим в таблицу 1.

 

Таблица 1 - Кинематические пары

№		Кинематическая пара (КП)		Схема кинема- тической пары		Класс кинема- тической пары		Степень подвиж- ности
1		0 - 1				5 вращательная		1
2		1 - 2				5 вращательная		1
3		2 - 3				5 вращательная		1
4	3 - 0				5 вращательная		1