Контрольная работа по "Метрологии"

Контрольная работа № 1.

Задача № 1:

Результаты измерений  температуры t(^oС) являются случайными величинами, подчиняющимися нормальному закону распределения с математическим ожиданием m_t=27,1°С и средним квадратичным отклонением (с.к.о.) = 0,9 (^o С). 

Вычислить вероятность  выполнения неравенства

       t_o1 t t_o2, , где t_o1=26,1 , ^oC,  t_o2=27,85 ^oC.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся  интегралом вероятностей (функцией Лапласа). Для этого сформируем независимую  переменную следующего вида:

                         

                              и    

находим соответствующие значения Ф(z₁) и Ф(z₂).

          ;   

Далее воспользуемся  следующим свойством интеграла  вероятностей:

 

Ф(z) = - Ф(z); т.е.

P(t₁ t t₂) = Ф(z₂)-(-Ф(z₁));Ф(-z₁)=1-Ф(z₁) = Ф(z₁) + Ф(z₂)-1=0,729 +0,813-1 = 0,542

Ответ: P(t₁ t t₂) = 0,542

 

 

Задача № 2:

Результаты измерений температуры  t (°С) являются случайными величинами и подчинены нормальному закону распределения с m_t= 20,1 ^oС,      _t=0,8 °С. Определить интервал _t, для которого с вероятностью p = 0,79 удовлетворяется неравенство /t-m_t/ _t.

Решение:

Используя интеграл вероятностей, находим:

, отсюда  = = =0,895

обращаясь к  таблицам интеграла вероятностей, находим  числовое значение аргумента в круглых  скобках, т.е.

        = 1,79, т.о. = 1,432

Ответ: интервал _t, для которого с вероятностью p = 0,79 удовлетворяется неравенство  /t-m_t/ _t равен 1,432

 

Задача № 3:

 Измерениям величины у подчинены нормальному закону распределения с математическим ожиданием m_y и дисперсией _y².  Вычислить вероятность выполнения неравенства | y-m_y| 0,9 _y

Решение:

Сформируем  случайную величину для функции  интеграла вероятностей

. По таблицам для интеграла  вероятностей по значению 

z = 0,1 находим соответствующее значение интеграла вероятностей     Ф(z=0,1) = 0,54. Искомая вероятность P = 2Ф(0,1) – 1 = 0,08

Ответ:

Вероятность выполнения неравенства | y-m_y| 0,1 _y равна 0,08.

Задача № 4:

  Результаты измерений давления  р (МПа) являются случайными величинами, подчинёнными закону равномерного распределения и находятся в пределах , где р_o1= 1,35 МПа, р_o2= 2,6 МПа. Найти математическое ожидание m_p и дисперсию для измеренного давления.

Решение:

Формулы для вычисления математического  ожидания и дисперсии имеют вид:

                                       .

Подставив численные значения p₁ и p₂ получим:

 

                               

Ответ: Для измеренного давления, математическое ожидание m_p = 1,975 и дисперсию = 0,13

Задача № 5:

 Результаты измерений давления  р(Па) являются случайными величинами и подчинены закону равномерного распределения с известными параметрами: = 0,25 МПа. Вычислить вероятность выполнения неравенства p_o1 p p_o2,  где р_o1= 1,56 МПа, ро2= 1,69 МПа.

Решение:

 Искомая вероятность определяется  как отношение площади на графике  плотности вероятностей, ограниченной  прямыми 1/ (x₂ – x₁) и р₁= 1,56, р2= 1,69 к площади, ограниченной предельными значениями / р_o1 и р_o2, которые находятся по известным отношениям и , см. рис.

                 f(p)

с =

                               p_o1  p₁    p₂     p_o2                         p, Мпа

 

P = = = =0,08

Ответ: вероятность выполнения неравенства p_o1 p p_o2 равна 0,08.

 

Задача № 6:

  Термометр, измеряющий температуру  t(°С) в рабочем диапазоне от t_min=0°С до t_max= 650 °С, имеет класс точности С = 0,6. Определить _max- граничную погрешность термометра.

Решение:

Значение приведенной  погрешности в соответствии с  определением класса точности определяется зависимостью:

/ 100 = 0,6 / 100 = 0,006

Искомое значение граничной абсолютной погрешности  определяется по формуле  _max = *(t_max - t_min) = 0,006*(650 - 0) = 3,9 ^оС.

Ответ: граничная погрешность термометра равна 3,9 ^оС.

 

Задача № 7:

  Манометр, измеряющий давление в  рабочем диапазоне от p_min=0,05 Мпа до p_max= 2,2 МПа, имеет граничную погрешность p _max = 0,055 Мпа. Определить класс точности манометра.

Решение:

Приведенная погрешность манометра выражается следующим образом 

 

.

 

ближайшим подходящим из стандартного ряда для  величины *100 =2,56 является число 2,56, что дает основание считать данный манометр прибором классности 2,56.

Ответ: манометр является прибором класса точности 2,56.

 

Задача № 8:

 Найти минимальную разность  давлений р_min , которую можно измерить с погрешностью ± 3% по формуле p₁₂=p₁-p₂ c помощью двух манометров класса точности 0,5. Манометры имеют диапазоны измерений равные =1,9 Мпа.

Решение:

Измерение разности давления при помощи двух манометров осуществляется по формуле  ₁₂ = p₁ – p₂, дает погрешность , где и - абсолютные погрешности измерения давления манометрами соответственно первым и вторым. Согласно определению класса манометров

 

= МПа.

 

Заданная относительная погрешность  измерения при таком способе  измерения разности давления будет  %. Откуда искомая минимальная измеримая с заданной точностью разность давления

 = Мпа.

 

Ответ: минимальную разность давлений р_min = 0,63 Мпа.

 

Задача № 9:

 

  Вычислить граничную приведенную  погрешность  измерения давления со значением р=0,52 Мпа, осуществлённого с помощью манометра класса 0,6 имеющего диапазон измерений =2,7Мпа.

Решение:

В соответствии с определением класса манометра абсолютная погрешность  Мпа=0,6*2,7/100=0,016 Мпа.

Тогда искомая относительная погрешность  /p=0,016/0,52=0,031 (3,1 %).

Ответ: граничная приведенная погрешность измерения давления равна 0,031  (3,1 %).

 

Задача № 10:

 

  По результатам 7 измерений были получены статистические характеристики температуры: математическое ожидание и с.к.о =1°С. Вычислить: 1) при условии нормального распределения результатов измерений доверительную вероятность выполнения неравенства °С; 2) для заданной доверительной вероятности =0,8 определить доверительный интервал для дисперсии.

Решение:

1. первую часть задачи решаем, используя распределение Стьюдента, для чего сформируем случайную величину

.

По  таблице распределения Стьюдента  для N-1=7-1=6 по значению =2,04 находим искомую вероятность b=0,92, для чего необходимо выполнить операцию линейной интерполяции между двумя значениями b=0,90 ( =1,943) и b =0,95( =2,447).

2) вторая часть задачи решается  с использованием распределения  x² (хи-квадрат), называемое еще и распределением Пирсона, т.к. это распределение является наиболее употребляемым из ряда распределения Пирсона. Случайная величина, подчиняющаяся этому закону распределения формируется следующим образом V = . Определение двустороннего интервала требует задания доверительной вероятности как нижней, так и верхней границ интервала. В простейшем случае p₁= . Откуда для заданной =0,8 имеем p₁=0,1; p₂=0,9. По таблице распределения Пирсона по значению N-1=6 и p₁=0,1; p₂=0,9 находим V_1b=2,204 и V_2b=10,645. Искомый доверительный интервал для дисперсии имеет вид

, после подстановки числовых  значений:

 

 или p(0,56 2,7)=0,8

Ответ: доверительная вероятность выполнения неравенства °С равна 0,92; доверительный интервал для дисперсии p(0,56 2,7)=0,8

 

Задача № 11:

Тепловой  поток Q(Вт), отводимый от теплообменного аппарата, может быть определён на основе косвенного измерения по формуле

Q=Gс(t_o-t₁) (*),

где G- расход рабочего тела (кг/с),

 t_o,t₁—температура рабочего тела на входе и выходе теплообменного     аппарата,

c-удельная теплоёмкость рабочего  тела (Дж/кг)-является табличной характеристикой.

 Величины G,t_o,t₁ -определяются с помощью прямых измерений расхода и температур при с.к.о. погрешностей измерения =0,001 кг/с, =0,1 °С. Вычислить - с.к.о. погрешности измерения Q при с== 4,19.10³ Дж/кг°С, G = 47 кг/с, t₁=12°С, t₂ = 8 °С.

Решение:

Исходим из того обстоятельства, что измеряемые параметры, входящие в формулу (*) статистически независимы. В этом случае дисперсия ² равна сумме дисперсий параметров, измеряемых прямыми методами, умноженных на весовые коэффициенты, равные квадратам частных производных от Q по этим параметрам, т.е.:

                   

найдем частные производные:

                 

Подставим численные  значения измеренных велечин:

             =4,19*10³*(8-6)=8,38*10³

             =58*4,19*10³=243,02*10³

             = -50*4,19*10³= - 243,02*10³

Просуммировав квадраты полученных числовых значений частных производных, умноженных на дисперсии, получим:

 =(8,38*10³)²*0,001²+2*(243,02*10³)²*0,1²=590587274

или

               » 24302 (Дж)

Ответ: - с.к.о. погрешности измерения Q равно 24302 Дж.

 

Задача № 12:

  Температура t( °С) может быть оценена с помощью косвенного измерения на основе формулы зависимости величины термосопротивления (ТС) меди R, от температуры в виде

R_t=R_o( ) (**),

где -температурный коэффициент сопротивления меди,

R_o—величина ТС при 0°С и формулы, связывающей напряжение Uизм, ток Iизм,

R_t и R_л- сопротивление подводящих проводников схемы для ТС:  (***).

Величины  Uизм, Iизм, измеряемые вольтметром и амперметром, являются результатом прямых измерений с граничными погрешностями , . Вычислить -граничную погрешность измерения температуры t при Uизм= 7 В, I_изм= 0,67 А, R_л=0,5 Ом, =4,26 10^-3 (°С)^-1.

Решение:

Объединяя формулы (**) и (***), после преобразований получим:

Используем  аналог полного дифференциала от функции:

(****)

Определим частные производные от t  по U и I:

Находим численные значения частных производных  и подставляем их в формулу (****):

 

= 350,36

= -3660,4

=  350,36 * 0,01 + 3660,4 * 0,01= 40 ⁰С

Ответ: -граничная погрешность измерения температуры t равна 40 ⁰С.