Комбинированый метод для вычисления корня уравнения

      2.1 Цель работы:

      Изучить комбинированный метод для вычисления действительного корня уравнения, уметь использовать данный метод для решения уравнений с использованием ЭВМ. 

      2.2 Расчётные формулы 

      Расчётная формула вычисления -го приближения по методу касательных:

.

      Расчётная формула вычисления -го приближения по методу хорд:

.

      Начальное приближение  для метода касательных выбирают в соответствии с условием:

, если  ,

или

, если .

     Начальное приближение  для метода хорд тогда принимается , или соответственно.

     Процесс вычисления корня останавливается, когда выполняется условие:

,

      где – заданная точность.

      За  приближенное значение корня уравнения принимается:

.

      2.3 Подготовительная  работа 

      Вычислить корень уравнения  с точность комбинированным методом.

      Графически  отделим корни. Для этого данное уравнение запишем в виде . Строим графики функций и (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 

     Точный  корень уравнения  , отрезок [0;1] – интервал изоляции корня.

     Проверяем условия, гарантирующие единственность корня на [0;1] и сходимость метода: 

     

     

       непрерывна на [0;1] и не меняет знак:.

       непрерывна на [0;1] и не меняет знак:.  

     За  начальное приближение для метода касательных берём  , для метода хорд .

     Процесс вычисления корня:

     

       

     .

     Условие не выполняется, процесс вычисления корня продолжается до достижения заданной точности .

Требуемая точность вычисления результата была достигнута за 2 итерации. Результат 0,607199.

      2.4 Текст программной  реализации 

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

double f(double x)

{

      return 3*x-cos(x)-1;

}

double fw(double x)

{

      return 3+sin(x);

}

void main()

{

      double xk, xh, tochnost, otvet;

      cout<<"Vvedite nachalnoe priblizhenie po metodu kasatelnih xk=";

      cin>>xk;

      cout<<"\nVvedite nachalnoe priblizhenie po metodu hord xh=";

      cin>>xh;

      cout<<"\nX-hord\t\tX-kasatelnih\tTochnost\n-----------------------------------";

      int n;

      for(n=0; n<20; n++)

      {

            xh -= f(xh)*(xk-xh)/(f(xk)-f(xh));

            xk -= f(xk)/fw(xk);

            tochnost=fabs(xh-xk);

            cout<<'\n'<<xh<<'\t'<<xk<<'\t'<<tochnost;

            if(tochnost<0.001) break;

      };

      n++;

      otvet=(xh+xk)/2;

      cout<<"\n\nKolichestvo iteraciy="<<n;

      cout<<'\n'<<'\n'<<"Koren uravneniya="<<otvet;

      cin>>xk;

}