ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

БИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ (филиал)

Государственного  образовательного учреждения высшего профессионального

  образования

«Алтайский  государственный  технический университет  им. И.И. Ползунова»

(БТИ  АлтГТУ) 

Кафедра информационных и управляющих систем 
 
 

Расчетное задание

по  дисциплине «Модели прогнозирования объемов продаж» 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:                                                         
 

Проверил:                                                                   
 
 
 
 

2007 
 

Постановочная часть

Задание №1

Рассчитать среднее  значение ряда.

Алгоритм  решения:

Данный временной  ряд является интервальным с равноотстоящими  во времени уровнями, поэтому расчет ср. значения производится с помощью простой ср. арифметической. 

  Yср. = (∑yі)/n= 1022,9247/108=9,471525 

 Задание №2

Рассчитать аддитивную или мультипликативную сезонную составляющую, выбрать после анализа врем. ряда.

Алгоритм  решения:

По значениям  исходного врем. ряда строим график (Приложение: рис1).

Полученный график показывает, что тенденция несет плавный характер, отсутствуют слишком большие перепады, а значит модель данного врем. ряда является аддитивной.

Рассмотрим алгоритм расчета аддитив. сез. составляющей:

1. для описания тенденций или тренда воспользуемся процессом скользящей средней при четной длине интервала сглаживания, равной 12,тогда скольз. ср. определяется выражением:

             Yt^= (1/2*Yt-6+Yt-5+…..+Yt+5+1/2*Yt+6)

2. рассчитаем отклонение фактич. ур-ней ряда от скольз.ср.:

              Xt=Yt-^Yt

3. определим значение сез. сост. как ср. знач. из ур-ей одноименных:

              X_iср.

4. проводим корректировку нач. знач. сез. сост-ей:

              X_ср.=∑X_i/12

5. окончательно скорректир-ые сез. сост. опр-ся по формуле:

              Si=xiср.-xср.

Все расчеты  представлены в таблице№1. 

Задание №3

Рассчитать прогноз  на след. месяц с использованием ср. темпа роста и абс-ого прироста, обосновать целесообразность их применения.

Алгоритм  решения:

После расчета  сез. сост. получаем новый десезонализированный временной ряд. После этого:

1.по значениям  десез-ого в.р. находим:

• цепной абс. прирост:

                  ∆Y=Y_t-Y_t-1

• цепной темп роста:

                  T=Y_t/Y_t-1 

       2.рассчитываем ср. абс. прирост  по формуле:

                 ∆Yср=(Yn-Y1)/n-1=(8,1780209-11,625058)/107= -0,03222

      3. рассчитываем ср. темп роста по формуле:

                Tср.=(Yn/Y1)^1/107= (8,1780209/11,625058)^1/107=0,99672

       4. рассчитываем  прогноз на следующий  месяц с использованием ср. абс.  прироста по формуле

                Y_n+L^=Yn+L*ΔYср_. = 8,1780209+1*(-0,0322153)=8,14581

          5.рассчитываем  прогноз на следующий  месяц с использованием ср. темпа  роста по формуле:

              Y_n+L^=Yn* Tср. ^L=8,1780209*0,9967184=8,15118

Задание №4

Рассчитать прогноз  ряда на след-ий месяц, используя для прогнозирования тренда линейную модель, экспоненциальную сглаженную и 2-х параметрическую модель Хольта. При определении коэф-ов лин. тренда не использовать перенос начала координат в середину ряда динамики.

Алгоритм  решения:

Линейная  модель:

1.находим коэф-ты  линейного тренда по формулам

     а0=(∑yt-a1*∑t)/n= (1022,9242+0,0380657*5886)/108=11,546104

       a1=(n*∑yt*t-∑yt*∑t)/(n*∑t2-(∑t)2)=(108*51753,75672-1022,9242*5886)/(108*425754-5886*5886)= -0,03806567

         ∑t=(108*(108+1))/2=5886

          ∑t2=(108*(108+1)*(2*108+1))/6=425754

      2.рассчитываем значения линейного тренда по формуле:

            Yt=a0+a1*t

        Все расчеты представлены в  таблице№1.

       3.строим прогноз тренда на следующий месяц по формуле:

             Y109=a0+a1*t=11,546104-0,03806567*109=7,3969459

       4.строим прогноз ряда на следующий месяц:

              Y109=7,3969459-0,2097579=7,187188

 Экспоненциальная сглаженная:

1. находим начальное значение S0 как ср. значение из первых 5 ур-ей:

               S0= (11,625058+12,392775+10,711939+10,935119+11,792843)/5=11,491547

2. рассчитываем значения  экспоненциальной средней в момент времени t по формуле:

              St=A*Yt+B*St-1

A=0.5

B=1-A=0.5

        Все расчеты представлены в  таблице№1.

3. строим прогноз тренда на следующий месяц по формуле:

              F109=A*Y108+B*F108=0.5*8,1780209+0.5*7,8126568=7,9953388

       4. строим прогноз ряда на следующий месяц:

              F109=7,9953388-0,2097579=7,785581 

 2-х параметрическая модель Хольта:

        1. находим коэф-ты a1,t и a2,t по формулам:

              a_{1, t}=Α₁*yt+ (1-A1)*(a_{1, t-1}+a_{2, t-1})

           a_{2, t}=Α₂*(a_{1, t-}a_{1, t-1}) + (1- A₂)*a_{2, t-1}

                   _А1=0,6

                   _А2=0,5

              a_{1, 1}=0, 6*11,625058+ (1-0, 6)*( 11,546104-0,03806567) =10,268365

              a_{2, 1}=0, 5*(10,268365-11,546104) + (1-0, 5)*( -0,03806567)= -0,2938042

              a_{1, 2}=0, 6* 12,392775+ (1-0, 6)*( 10,268365-0,2938042) =-0,2938042

              a_{2, 2}=0, 5*(-0,2938042-10,268365) + (1-0, 5)* (-0,2938042)= -0,2767974

Остальные коэффициенты рассчитываются аналогично.

2.строим прогноз тренда на следующий месяц по формуле:

              Y₁^(108)=a_1,108+a_2,108*1= 7,8647017+ 0,2021848*1= 8,0668866

       3.строим прогноз ряда на следующий месяц:

            Y₁^(108)= 8,0668866-0,2097579=11,467701

Проверяем каждую из 3-х моделей на адекватность. Модель адекватна описываемому процессу, если ряд представляет собой случайную компоненту, независимость случайной компоненты означает отсутствие автокорреляции. Критерием позволяющим установить наличие автокорреляции явл-ся критерий Дарвина-Уотсона в соответствии, с которым вычисляется величина d= ∑(L_t-L_t-1)^2/∑L_t^2.Вычисленное по формуле значение d сравнивается dверх. И dниж., которые задаются таблично, при этом руководствуются следующими правилами:

• если dверх.<=d<=4-dверх., то автокорреляция отсутствует;
• если 0<=d<=dниж., то сущ-ет положительная автокорреляция;
• если dниж.<=d<=dверх. или 4-dверх.<=d<=4-dниж. - зона неопределенности;
• если 4-dниж.<=d<=4, то существует отрицательная автокорреляция.

Линейная  модель:

            Lt=Yt-Yt^

            ∑ (L_t-L_t-1) ^2=55,00443

            ∑L_t^2=26,92396

            d=55, 00443/26, 92396=2, 04

              1,69<=2,04<=2,31,автокорреляция отсутствует

Экспоненциальная  сглаженная:

            Lt=Yt-Yt^

           ∑ (L_t-L_t-1) ^2= 22,91594

           ∑L_t^2= 9,155356

            d=22, 91594/9, 155356=2,503

             2,35<=2,503<=4, отрицательная автокорреляция

2-х  параметрическая  модель Хольта:

            Lt=Yt-Yt^

            ∑ (L_t-L_t-1) ^2= 22, 85253

           ∑L_t^2= 8,647445

            d=22, 85253/8,647445=2, 527

              2,35<=2, 527<=4, отрицательная автокорреляция

Оценка точности выбранной модели.

Считается, что  если

•              │δ│< 10%, то модель имеет высокую точность;
• 10%<= │δ│<=20%, то модель обладает хорошей точностью;
• 20%<= │δ│<=50%, то точность удовлетворительная.

Линейная  модель:

       1.вычисляем абсолютную ошибку:

           ∆t=Y^t-Yt

       2. вычисляем относительную ошибку:

             δt=∆t/Yt*100%

       3.вычисляем  среднюю относительную ошибку:

             │δ│=1/n*∑│δt│= 1/108*459,4761=4,254408

               4,254408<10%-модель имеет высокую точность

Экспоненциальная  сглаженная:

       1.вычисляем абсолютную ошибку:

             ∆t=Y^t-Yt

       2. вычисляем относительную ошибку:

             δt=∆t/Yt*100%

       3.вычисляем среднюю относительную ошибку:

             │δ│=1/n*∑│δt│= 1/108*257,6081=2,38526

               2,38526<10%-модель имеет высокую точность

2-х  параметрическая  модель Хольта:

      1.вычисляем абсолютную ошибку: