Статистическое изучение оборотных фондов

Задание 1

1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по признаку среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, образовав четыре группы с равными интервалами.

2. Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значение моды и медианы.

3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Вычислите  среднюю арифметическую по исходным данным таблицы 1, сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения . Объясните причину их расхождения.

Сделайте выводы по результатам  выполнения задания.

Выполнение задания 1

1.1. Построение  статистического ряда распределения предприятий по признаку среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов

Для построения интервального вариационного  ряда, характеризующего распределение  предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами  величина интервала h определяется по формуле:                                 (1)

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k =4, x_max = 30 млн. руб., ., x_min = 10 млн. руб.:

При h = 5 млн. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл.2):

Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	10	15
2	15	20
3	20	25
4	25	30

 

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп). Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала [ ). Также нужно подсчитать частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле (табл. 3)

Таблица 3

Вывод: Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов не является равномерным: преобладают предприятия со среднегодовой стоимостью материальных оборотных фондов от 20 млн. руб. до 25 млн. руб. (это 10 предприятий, доля которых составляет 33,3%); 43,3% предприятий имеют среднегодовую стоимость материальных оборотных фондов менее 20 млн. руб., а 76,7% – менее 25 млн. руб.

1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и  путем расчетов

Найдём моду графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

 

 

 

Рис. 1. Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

                        (2)

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала, h –величина модального интервала, f_Mo – частота модального интервала, f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному, f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 20 – 25 млн. руб., так как его частота максимальна (f₂ =10).

Расчет моды по формуле (2):

 

Вывод. Для рассматриваемой совокупности организаций наиболее распространенная среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов  продукции характеризуется средней величиной 22 млн. руб.

Медиану можно определить графическим  методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам.

Рис. 2. Определение медианы графическим  методом

Конкретное значение медианы для  интервального ряда рассчитывается по формуле:

                        ,                                       (3)

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала, h – величина медианного интервала, – сумма всех частот, f_Ме – частота медианного интервала, S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

По нашим данным медианным интервалом является интервал    20 – 25 млн. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 23 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

Расчет значения медианы по формуле (3):

 

Вывод. В рассматриваемой совокупности организаций половина организаций имеют в среднегодовую стоимость материальных оборотных фондов не более 21 млн. руб., а другая половина – не менее 21 млн. руб.

1.3. Расчет характеристик интервального ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения  , σ, V_σ на основе табл. 3 строится вспомогательная таблица 4 (– середина i-го интервала).

Таблица 4

Расчет средней  арифметической взвешенной:

                                                 (4)

Расчет  среднего квадратического отклонения:

                                 (5)

Расчет коэффициента вариации:

                                                     (6)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов составляет 20,667 млн руб., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 5,08 млн руб. (или 24,6%), наиболее характерные значения среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов находятся в пределах от 15,587 млн руб. до 25,747 млн руб. (диапазон ).

Значение V_σ = 24,6%  не превышает 33%, следовательно, вариация среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов в исследуемой совокупности организаций незначительна и совокупность по данному признаку качественно  однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =20,667млн руб., Мо=22 млн руб., Ме=21 млн руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности организаций. Таким образом, найденное среднее значение среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов (20,667 млн руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций.

1.4. Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула  средней арифметической простой:

                  ,                             (7)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (7) и (4), заключается в том, что по формуле (7) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого  признака  для всех  30-ти организаций, а по формуле (4) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2

По исходным данным табл. 1:

1. Установить наличие и характер связи между признаками (среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов и выпуск продукции), образовав четыре группы с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

Выполнение Задания 2

По условию, факторным является признак среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов (X), результативным – признак выпуск продукции (Y).

1.а. Установление наличия и характера связи между признаками среднегодовой стоимостью материальных оборотных фондов и выпуском продукции методом аналитической группировки

Построим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – Среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов и результативным признаком Y – Выпуск продукции (табл. 5):

Таблица 5

Вывод. Анализ данных табл. 5 показывает, что с увеличением среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов от группы к группе систематически возрастает и средний выпуск продукции по каждой группе организаций, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1.б. Установление наличия и характера связи между признаками среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов и выпуском продукции методом корреляционной таблицы

Найдём величину и границы интервалов ряда распределения выпуска продукции.

При построении ряда с равными интервалами  величина интервала h определяется по формуле:                                

Определение величины интервала по формуле при заданных k =4, y_max = 61 млн. руб., y_min = 19млн. руб.:

При h = 10,5 млн. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл.6):

Таблица 6

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	19	29,5
2	29,5	40
3	40	50,5
4	50,5	61

Используя данные таблицы 3, построим корреляционную таблицу (табл.7).

 

 

 

 

 

Таблица 7

Из  корреляционной таблицы видно, что  с увеличением среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов систематически возрастает и выпуск продукции организаций, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1. Ошибку выборки средней стоимости материальных оборотных фондов и границы, в которых будет находиться средняя стоимость материальных оборотных фондов в генеральной совокупности.

2. Ошибку выборки доли предприятий со среднегодовой стоимостью материальных оборотных фондов от 15 млн. руб. до 25 млн. руб.  и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

1. Определение ошибки выборки среднего размера среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов и границ, в которых она будет находиться в генеральной совокупности

 Средняя квадратическая ошибка выборки для бесповторной выборки определяется по следующей формуле:

                            

=                                               (8)

 где  σ ² - дисперсия выборочной совокупности; n – объем выборочной совокупности; N – объем генеральной совокупности.

          (9)

Ф(t) – интегральная функция Муавра-Лапласа. Значение аргумента (t) определяется по таблице значений этой функции.

По условию нашего примера выборочная совокупность насчитывает 30 организаций, выборка 5% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 600 организаций.

= = 0,904 млн. руб.

  , откуда , следовательно,

 Тогда можно утверждать, что при заданной вероятности генеральная средняя будет находится в следующих пределах:

 – Δ_x ≤ ≤ + Δ_x

18,859 млн руб. ≤

≤ 22,475 млн руб. .

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования предприятий с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий средняя стоимость материальных оборотных фондов  находится в пределах от 18,859 млн руб. до 22,475 млн руб.

2. Определение ошибки выборки доли предприятий с размером среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов от 15 млн. руб. до 25 млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля