Статистический анализ

   повторяющихся  значений либо мало, либо вообще  повторений нет. Все

   имеющиеся  значения вариант совокупности  встречаются только единожды.

   Частоты  равны единице. График теряет  смысл. Поэтому для небольших  по

   объему  совокупностей Рациональнее строить  полигонную ломаную по

   интервальному  вариационному ряду. 

   Но, как  уже говорили раньше, и для  больших по объему совокупностей,  проще

   построить  полигон по интервальному вариационному  ряду. 

   Для этого  по оси абсцисс откладываются  значения середин интервала, -

   среднеинтервальные  значения совокупности, а по оси  ординат, как всегда, -

   частоты.  Крайние ординаты соединяют с  серединой интервалов, где частоты

   равны нулю. 

   Гистограмма  распределения строится только  для совокупности, представленной

   в виде  интервального вариационного ряда. Гистограмма также строится в

   прямоугольных  системах координат. 

   В отличие  от полигона, для гистограммы  на оси абсцисс откладываются

   отрезки,  соответствующие интервалу значений. На каждом отрезке, как на

   основании  строится прямоугольник, высотой  которого служит значение

   частоты,  соответствующей данному интервалу. 

   Получим  как бы ступенчатую гистограмму.  При таком построении допускается,

   что распределение  вариант внутри интервала равномерно. 

   Можно представить  себе, что при последовательном  делении интервалов,

   ступенчатая  гистограмма превратится в плавную  кривую. Такая кривая носит

   название  кривой распределения. 

   Кумулята, кумулятивная кривая, выполняется  в прямоугольной системе

   координат.  По оси абсцисс откладываются  значения признака (варианты), а по

   оси ординат  - соответствующие накопленные частоты.  Полученные точки

   пересечения  соединяются отрезками прямой. 

   Кумулятивную  кривую можно построить как  для дискретного вариационного

   ряда, так  и для интервального. 

   Для интервального  вариационного ряда по оси  абсцисс откладываются

   среднеинтервальные  значения. Нижней границе первого  интервала

   соответствует  частота равная нулю, а верхней  границе последнего интервала

   - Сумма  всех частот или общее количество  наблюдений. 

   При выборе  соотношения между масштабом  и по осям абсцисс и ординат

   целесообразно  использовать правило “ золотого  сечения ”. График

   располагается  в прямоугольнике, размеры которого  пропорциональны 5 : 8 или

   3 :4, а линии  графика занимают всю площадь  графика. Сравнение этих

   графиков  показывает, что переход к интервальным  значениям значительно

   сглаживает  график и выделяет сущность  совокупности. 

   Построим  графики для совокупности, представленной  в виде интервального

   вариационного  ряда. Воспользуемся табл. 3 и 4. 

   Xi 1470 2006 2030 2073 2305 2444 2535 2625 2710 N 

   mi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 

   Табл. 3 

   №№ X min X max Xi m1 ni Mi 

   1 2 3 4 5 6 

   1 1300 1700 1500 1 0,111 1 

   2 1700 2100 1900 3 0,333 4 

   3 2100 2500 2300 2 0,222 6 

   4 2500 2900 2700 3 0,333 9 

   Табл. 4 

   Построим  полигонную ломаную - “ полигон  “, по оси абсцисс отложим  значение

   вариант  Xi , а по оси ординат - значение  частот этих вариант mi . 

   Из таблицы  4 следует, что наименьшее Xi=Xmin=1470, а наибольшее

   Xi=Xmin=2710, поэтому  на оси абсцисс отложим 1300 и  2900, т. е. значения

   включающие min и max. И на полученном отрезке  оси отметим точки,

   соответствующие  значениям всех вариант таблицы  4. 

   Как видим  по таблице 3 наибольшее значение  частоты mi=3. Поэтому ось

   ординат  достаточно разделить на 3 равные  части (рис.1). А масштаб графика

   выберем  так, чтобы выдержалось золотое  соотношение : 5 : 8 или 3 :4. 

   Аналогично  построим и полигон для совокупности, представленной в виде

   интервального  вариационного ряда. 

   Используем  таблицу 4 . По оси абсцисс графика  откладываются значения

   столбца  3 из таблицы 4 . Среднеинтервальные  значения Xi варьируют в

   пределах 1500 : 2700 . Эти значения и должны  служить границами графика

   (рис. 1). Наибольшая  частота mmax=3. Поэтому достаточно  ось координат

   разделить  на 3 равных отрезка. 

   Нанесем  точки на ось абсцисс: 1500, 1900, 2300, 2700. На оси ординат

   отложим  1, 3, 2, 3. 

   На пересечении  этих значений отметим точки  полигона и соединим точки

   отрезками  прямой. Можно добавить в таблице  4 две строчки - в начале и  в

   конце таблицы: 

   1 2 3 4 5 6 

   0 < 1300 1100 0 

   5 > 2900 3100 0 

   Табл. 5 

   №№ X min X max Xi m1 ni Mi 

   1 2 3 4 5 6 

   0 < 1300 1100 0 

   1 1300 1700 1500 1 0,111 1 

   2 1700 2100 1900 3 0,333 4 

   3 2100 2500 2300 2 0,222 6 

   4 2500 2900 2700 3 0,333 9 

   5 > 2900 3100 0 

   Табл. 4А 

   Эти дополнения  дают нам возможность дополнить  полигонную ломаную отрезками

   прямой  до пересечения с осью абсцисс.  Нанесем эти отрезки пунктиром. 

   Построим  гистограмму. 

   Для этого  используем интервальный вариационный  ряд. 

   На оси  абсцисс отложим отрезки, соответствующие  интервалам вариационного

   ряда. На  них, как на основании, построим  прямоугольники (столбики) ,

   высотой,  пропорциональной частоте. 

   mi3 

   2 

   1 

   0 1300 1700 2100 2500 2900 Xmin : Xmax 

   Если представить,  что интервалы последовательно  и многократно делят на

   два, тогда  столбики гистограммы становятся  всё тоньше и тоньше. И в

   пределе  верхние отрезки столбиков превращаются  в точки и получается плавно

   огибающая  линия. Эта линия и носит  название кривой распределения.  Но этот

   процесс  требует большого количества  наблюдений. 

   В последующих  результатах анализа используются  результаты этого

   рассмотрения. 

   Построим  кумуляту. Кумулятивная ломаная  строится как для дискретного  так и

   для интервального  ряда. 

   Не усложняя  процесс анализа статистической  совокупности, построим кумуляту

   только  для интервального вариационного  ряда. 

   Отложим  по оси абсцисс значение середин  интервала (среднеинтервальные), а

   по оси  ординат - накопленные частоты,  И соединим точки пересечения

   отрезками  прямой. 

   Можно сказать,  что основное количество наблюдений  находится в крайних

   интервалах, т.к. угол между осью абсцисс  и отрезком кумуляты в этих

   интервалах  больше, чем в серединном интервале.  Ведь очевидно, что если бы

   интервал  имел частоту, равную нулю, то  соответствующий отрезок

   кумулятивной  ломаной был бы параллелен  оси абсцисс. 

   Так, если  к нашей совокупности, соответственно  интервальному ряду,

   добавить  еще один интервал, то частота  его будет равна 0. 

   На кумуляте  можно определить значение Ме. 

   Как известно, медиана - это значение признака, находящегося посредине

   совокупности. В данном случае всего девять  значений, N=9, значит, N/2=4,5.

   Откладываем  это значение на оси ординат,  проводим горизонтальную линию

   (параллельную  оси абсцисс) до пересечения  с графиком кумуляты, из точки

   пересечения  опускаем перпендикуляр на ось  абсцисс. Это значение и есть

   значение  медианы - Меграф. 

   Выводы. 

   На полигонной  ломаной нельзя сделать серьезного  вывода, т.к. наблюдений

   немного  и они имеют большой разброс,  что и сказалось на графике.  Несколько

   сглаженные  интервальные значения позволили  построить гистограмму

   достаточно  симметричного вида. 

   Кумулята  свидетельствует о том, что  в построении вариационного ряда  нет

   пустых  интервалов, т.е. интервалов с  частотой равной нулю. 

   Таким образом,  можно считать, что данная совокупность  может быть включена

   в дальнейшее  исследование. 

   1.4. Определение  средних значений вариационного  ряда. 

   Общее положения. 

   Средняя  - обобщающая количественная характеристика  совокупности. Это

   позволяет  одной величиной охарактеризовать  признак. 

   В статистике  различают много видов средних.  Выбор той или другой средней

   определяется  видом признака и целями исследования. 

   В данной  работе будут рассмотрены средние  оценки: средняя арифметическая,

   медиана  и мода. Среднюю арифметическую  называют параметрической средней.

   Средняя  арифметическая может быть дискретной (или простой) и взвешенной. 

   Дискретная (или простая) средняя рассчитывается  по формуле, где 

   Xa - обозначение  средней арифметической, дискретной ; 

   xi - отдельные  значения совокупности, ( i = 1,2, ... N ); 

   N - количество  значений в совокупности. 

   Если наблюдений  в совокупности достаточно много,  то некоторые значения

   повторяются.  Тогда, представленная совокупность  в виде дискретного

   вариационного  ряда, можно вычислить среднюю  арифметическую с помощью

   частот. 

   Частота  выступает в виде веса данного  значения совокупности, а общая

   формула  примет вид, где 

   - средняя  арифметическая взвешенная; 

   xi - отдельное  значение совокупности; 

   N - вес (частота  ) этого значения;