Шпаргалка по "Теория вероятностей и математическая статистика"

1.Введение.Предмет  ТВ.Предмет мат-кой  статистики.История.Предметом теории вер-ти является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Предметом математической статистики обычно называют разработку методов получения научно обоснованных выводов о случайных явлениях по результатам наблюдений и экспериментов.

2.Испытания  и события.Событие-это исход испытания.события обозначают:А,В,С,А₁,А₂и т.д.События:невозможные-заранее известно,что никогда не произойдёт.Случайные-которые в данном опыте может произойти,а может и не произойти.Достоверные-заранее известно,сто событие произойдёт.испытание-осуществление определённой сов-ти условий.

3.Элементы  комбинаторики.Формулы комбинаторий изучает различные комбинации,которые можно составлять из элементов конечного множества.1.Перестановка:P_n=n!2.Сочетание:C_n^k=3.Размещения:A_n^k=.

4.Классическое  определение вероятности.Вероятность события  -  отношение числа элементарных исходов,благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие.Вероятность события А обозначается через Р(А) и рассчитывается по формуле:Р(А)=,где m- число элементарных исходов,благоприятствующих событию А;n- число всех равновозможных элементарных исходов опыта,образующих полную группу событий.Вероятность событияР(А)- численная мера,характеризующая степень возможности появления события Ав данном испытании.Вероятность достоверного события = 1.Вероятность невозможного события = 0.Вероятность случайного события больше нуля и меньше единицы.Вероятность любого события В удовлетворяет неравенствам:0≤Р(В)≤1.

5.Теорема  сложения.теорема сложения вероятностей несовместных событий:вер-ть появления одного из двух событий,безразлично какого,равна сумме вер-тей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B). Теорема сложения вер-тей совместных событий:Вер-ть появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вер-тей этих событий без вероятности их совместного появления:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

6.Теоремы  умножения.если события А₁ ,А₂ , …Аn независимы,то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:Р(А₁ ∙А_2∙∙…А_n)= Р(А₁)∙ Р(А₂)∙…∙ Р(А_n).Два события называются зависимыми,если вероятность появления одного из них зависит от наступления либо ненаступления другого события. Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В,вычесленную в предположении,что событие A уже наступило.Вероятность произведения зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,найденную в предположении,что первое событие уже наступило,т.е.:Р(А∙В)=Р(А)∙Р(В)

7.Формула  полной вероятности.Пусть некоторое событие А может произойти при условии,что появится одно из совместных событий В₁,В₂ …В_n ,образующих полную группу событий.Вероятность события А,которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий В₁,В₂ …В_n,образующих полную группу событий,равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А :P(A)=P(B₁)∙P_B1(A)+P(B₂)∙P_B2(A)+… +P(B_n)∙P_Bn(A)=∙P_Bi(A) .Это равенство называют формулой полной вероятности,где P_Bi(A)- вероятность наступления события а при наступлении события Вi.

8. Формула Байеса.Пусть событие А произошло.Это изменит вероятности гипотез В_1,В_{2, …} В_n и условная вероятность события P_A(B_k)в предположении,что событие А произошло,определяется по формуле Бейеса: P_A(B_k)==_.

9. Повторные независимые  испытания. Формула  Бернули.Испытания называются независимыми относительно события А,если вероятность события А в каждом испытании постоянна и не зависит от исходов других испытаний.Обозначения:P_n(K)-вероятность,что при n испытаниях событие А появится ровно к раз;Pn(k₁; k₂)-вероятность появления события А не менее к₁ и не более к₂ раз;Формула Бернули.Вероятность того,что в n испытаниях,в каждом из которых верочтность появления события равна р(0<р<1),событие наступит ровно к раз,рассчитывается по формуле Бернулли:  P_n(K)=C_n^kp^kg^n-k=∙p^k∙g^n-k,где  g = 1-р.

10. Локальная теорема  Лапласа.Вычесление P_n(K) по формуле Бернули при больших n и k связаны с арифметическими трудностями,поэтому при n>50 пользуются приближённой формулой Лапласа:P_n(K)≈∙ф(x)где х=.

11. Интегральная теорема  Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и0<р<1,то вероятность того,что в nиспытаниях событие произойдёт от k₁ до k2равна: Pn(k₁; k₂)=Ф(х₂)- Ф(х₁).

12.Формула  Пуассона.P_n(k)=

13.Вероятность  отклонения относит-й  частоты от постоянной  вер-ти в n-независимых  испытаниях. P(Іm/n - pІ≤ε)~2Ф(ε.

14.Наивероятнейшее  число появления  события в независимых  испытаниях.Число наступлений события в независимых испытаниях называется наивероятнейшим ,если вероятность наступления события данное число раз в этой серии испытаний наибольшая по сравнению с вероятностями других исходов.Наивероятнейшее число события удовлетворяет неравенствам np-g≤k₀≤np+p ,где   n- число испытаний,p- вероятность наступления события А в отдельном испытании,g=1-р – вероятность того,что событие А не произойдёт.

15.Случайные  величины.Случайной величиной называется величина ,которая в результате испытания из множества возможных значений принимает одно значение,заранее неизвестное и зависящее от случая.Случайная величина характеризуется значениями,которыми она может принимать,и вероятностями,с которыми эти значения принимаются.Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.случайные величины обозначаютя заглавными буквами,а их значения строчными. 

16. ДСВ.Закон распределения.  Многоугольник распределения. Дискретной  называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным либо бесконечным. Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих вероятностей.Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит все возможные значения x_i, а вторая – вероятности p_i: 

 

.

  Закон распределения ДСВ изображают графически, для этого  в системе координат  строят точки (x_i, p_i) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

17. Математич. операции  над ДСВ.

  Математическим  ожиданием М(Х) дискретной случайной  величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие  им вероятности, т.е.: M(X)= x₁p₁+ x₂p₂+ …+ x_np_n.  Дисперсия ДСВ – это математич. ожидание квадрата отклонения ДСВ от ее математич. ожидания. D(X)=M(X)²-(M(X))².

18. Ф-ция распределения  и ее св-ва.

  Функцей распределения (интегральной функцией) случайной величины X называется функция действительной переменной х, определяемая равенством : F(x) = P(X < x),  где P(X < x) – вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x. Свойства:

  1. Функция распределения является неубывающей, т. е. если x₁ < x₂, то .

  2. .

  3. Если возможные значения случайной  величины  , то при , , .

  4. Вероятность того, что значение  случайной величины X окажется на заданном интервале (a;b) определяется формулой: .  

  19. Непрерывные СВ. Ф-ция  распределения.

  Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Функцей распределения (интегральной функцией) случайной величины X называется функция действительной переменной х, определяемая равенством : F(x) = P(X < x),  где P(X < x) – вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x.

20. Плотность распределения  и её св-ва.

  Плотностью  распределения  вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: .Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения: . Св-ва:1. . 2. .3. . 4.  , если . 

21. Числовые хар-ристики  СВ.

  Математическим  ожиданием M(x) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

       . 

  Дисперсией D(x) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

         .

  Среднее квадратическое отклонение ( ) вычисляется по формуле

         .

  Начальным моментом порядка k случайной  величины X называют математическое ожидание величины X^k:

       . (45)

  Начальный момент первого порядка равен  математическому ожиданию v₁ = M(X).

  Центральным моментом порядка k случайной  величины X называют математическое ожидание величины [X – M(X)]^k:

         .

22. Осн.законы распределения  ДСВ.

  Биноминальное распределение:Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p. Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину Х. Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности.Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли: P_n (k) = c_n^k p^k q^n-k .Этот закон распределения называется биноминальным. Распределение Пуассона: P_n (k)=α^k e^-α/k!. Явл-ся предельным для биноминального, если число опытов устремляется к бесконечности, а вероятность события к 0.

23.Осн.  законы распределения  НСВ.

  Распределение вероятностей случайной величины X называется равномерным на отрезке [a; b], если плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равно нулю вне этого отрезка. Нормальным распределением называется распределение с плотностью вероятностей , где a – математическое ожидание;