Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

Министерство  образования и науки Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Пермский национальный исследовательский  
политехнический университет»

 

Кафедра «Экономики и  управления на предприятии»

Контрольная  работа

по дисциплине

Теория вероятности  и математическая статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 7

4.4.7. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна p. Рассматриваются случайные величины:

Х - разность между числом попаданий  и числом промахов;

Y - сумма числа попаданий и  числа промахов.

Найти закон распределения для  каждой случайной величины X, Y, M(X), D(X), M(Y), D(Y).

 

1) Х1=2-0=2, т.е. 2 попадания; р1 = р*р

2) Х2=1-1=0, т.е. 1 попадание или в при 1-ом выстреле, или при 2-ом;

р2 = р*(1-р) + (1-р)*р

3) Х3=0-2=-2, т.е. 2 промаха; р3 = (1-р)*(1-р)

 

1) Y1=2+0=2, т.е. 2 попадания; р1 = р*р

2) Y 2=1+1=2, т.е. 1 попадание или в при 1-ом выстреле, или при 2-ом;

р 2 = р*(1-р) + (1-р)*р

3) Y 3=0+2=2, т.е. 2 промаха; р 3 = (1-р)*(1-р)

 

	1	2	3
Х	2	0	-2
Р	р*р	р*(1-р) + (1-р)*р	(1-р)*(1-р)

 

 

	1	2	3
Y	2	2	2
Р	р*р	р*(1-р) + (1-р)*р	(1-р)*(1-р)

 

4.5.7. Случайная величина Х в интервале (-3, 3) задана плотностью распределения . Вне этого интервала . Найти коэффициент a, функцию распределения . Что вероятнее: в результате испытания окажется X<1 или X>1?

 

Чтобы функция р(х) была плотностью вероятностей, нужно чтобы  и

Вычислим интеграл:

  ,  

Для нахождения функции распределения по формуле разобьем числовую прямую на те же три части

Если  , то .

Если  , то

Если  , то .

Функция распределения  имеет вид:

В результате испытания X>1 вероятнее всего.

 

4.6.7. Дано и . Используя неравенство Чебышева, найти .

 

Неравенство Чебышева:

 

4.7.7. Случайный вектор (X, Y) имеет равномерное распределение в области D, т.е. его плотность равна

где Т, площадь области D. Проверить независимость вектора (X, Y), если D – квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (-1,0), (0,-1).

 

Из условия  найдем константу Т:

  , а значит 

Для проверки независимости  вектора (X, Y) должно соблюдаться условие:

компоненты X и Y зависимы.

 

5.1.7. Построить гистограмму частот по данным выборки. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и исправленное выборочное  среднее квадратичное отклонение. В качестве вариант взять середины интегралов

Интервалы	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11
Частоты	12	22	62	72	51

	Гистограмма частот по данным выборки: 2		4	6	8	10
	12		22	62	72	51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выборочное среднее:

Выборочная дисперсия:

,

Исправленное выборочное  среднее квадратичное отклонение:

,

 

 

 

5.2.7. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(Х). По выборке (х1, х2… хn) объема n вычислены оценки и неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания М(Х), отвечающий доверительной вероятности .

; ; ;

 

Решаем уравнение  , используя таблицу функции распределения Стьюдента, получим . Затем найдем концы доверительного интервала:

Таким образом, (1,79; 2,41) –  искомый доверительный интервал с надежностью 0,98, т.е.

 

5.3.7. Применяя метод наименьших квадратов, определить параметры корреляционной зависимости по данным наблюдений, представленных в таблице:

 

Х	-1	-0,5	0,5	1	1,5
Y	-2	-2,25	-2	-0,25	2,75

 

Составляем функцию  для  зависимости 

Система нормальных уравнений  имеет вид:

После преобразований система  принимает вид

 

По заданной таблице  вычисляем:

Получим систему:

        

Имеем и . Корреляционная зависимость X и Y имеет вид