Контрольная работа по "Теории вероятностей и математическая статистика"

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский Томский политехнический  Университет»

 

 

Институт

дистанционного образования

 

080103 Национальная экономика

 

 

 

Контрольная работа № 1

 

по дисциплине:

Теория вероятностей и математическая статистика

 

 

 

Исполнитель:

студент группы       Д-3490         Кулакова Татьяна Александровна                03.12.2011

 

Руководитель:

Преподаватель                             Шевелев Геннадий Ефимович

 

 

 

 

 

 

Томск ¾ 2011

 

Вариант № 3

Задания по теории вероятностей.

Задание № 1. Подбрасываются 2 игральные кости, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее: получить в сумме 7 или 8?

Решение:

Все возможные комбинации:

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66

Число всех исходов n=36

Событие А-это комбинации, в которых сумма очков равна 7:{16,25,34,43,52,61}. Число исходов =6

Событие В-это комбинации, в которых сумма очков равна 8:{26,35,44,53,62}. Число исходов =5

P (A) == ; P (B) = = , т.к. > ,следовательно вероятнее получить в сумме 7.

Задание № 2. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных. Наудачу извлекают 3 изделия для контроля. Определить вероятность того, что в полученной выборке нет ни одного бракованного.

Решение:

Событие А-среди 3 извлеченных  изделий нет бракованного.

Найдем общее число  выбора из 10 изделий 3 изделия:

n===== 4*3*10= 120

Благоприятное число выбора из 7 (10-3) не бракованных изделий 3 изделия:

m== = = = 35

P (A)== = = 0,292

Задание № 3. Из колоды карт (52 карты) вынимается одна. Событие А – появление туза, событие С – появление бубнового туза. Зависимы ли эти события?

Решение:

Вероятность события А  – Р (А) = (после испытания карту возвращаем).

Вероятность события С  – Р (С) = ,т.к. карту возвращают, то события независимы. Если карта не возвращается после первого испытания:

Р (С) = ; (А) = (первое испытание: появление бубнового туза; второе испытание: появление туза)

Р (А) = ; (С) = (первое испытание: появление туза; второе испытание: появление бубнового туза)

События А и С зависимы, если карту не возвращают.

Задание № 4. Вероятность попадания в мишень одного стрелка при одном выстреле для первого стрелка равна 0.8, для второго стрелка – 0.85. Стрелки произвели по одному выстрелу в мишень. Считая попадание в цель для отдельных стрелков событиями независимыми, определить вероятность события С – попал первый стрелок.

Решение:

Событие С – попал первый стрелок, т.е. первый стрелок попал () и второй стрелок попал () или первый стрелок попал, а второй не попал.

С = *+ *

Р (С) = Р ()*Р () + Р ()*Р () = Р ()*Р () + Р ()*(1 – Р ()) =

=0,8*0,85+0,8*(1 – 0.85) = 0,68+0,8*0,15 = 0,68+0,12 = 0,8

Задание № 5. В группе 40 стрелков, из них 10 человек стреляют отлично, 20 – хорошо, 6 – удовлетворительно, 4 – плохо. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0.9, для хорошего – 0.8, для удовлетворительного – 0.6, для плохого – 0.4. Вызывают наугад одного из стрелков. Он производит 1 выстрел. Найти вероятность того, что он попал в цель.

Решение:

Событие А – стрелок  попал в цель.

Событие - стрелок стреляет отлично, Р () =

Событие - стрелок стреляет хорошо, Р () =

Событие - стрелок стреляет удовлетворительно, Р () =

Событие - стрелок стреляет плохо, Р () =

Проверка: Р ()+Р ()+Р ()+Р () = + + + = 1

Условная вероятность  того, что стрелок попадет в  цель при одном выстреле для отличного  стрелка: (А) = 0,9; для хорошего: (А) = 0,8; для удовлетворительного: (А) = 0,6; для плохого: (А) = 0,4.

Искомая вероятность находится  по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р()*(А)+ Р()*(А)+ Р()*(А)+ Р()*(А) =

= * 0,9+ * 0,8+ * 0,6+ * 0,4 = 0,25*0,9+0,5*0,8+0,15*0,6+0,1*0,4 =

= 0,225 + 0,4 + 0,09 + 0,04 = 0,755

Задание № 6. Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при броске, причем вероятность попадания равна 0,3. Построить ряд распределения, функцию распределения и определить математическое ожидание Х.

Решение:

Случайная величина Х принимает  значения Х=0,1

Х=0 – мяч не попал в  корзину, вероятность равна: Р (Х=0) = 1-0,3=0,7

Х=1 – мяч попал в  корзину, вероятность равна: Р (Х=1) =0,3

Х	0	1
Р	0,7	0,3

Ряд распределения:

 

Функция распределения: F(x) =

Математическое ожидание:  М (х) =

М (х) = 0*0,7 + 1*0,3 = 0,3

Задание № 7. Для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с заданными математическим ожиданием =12 и средним квадратическим отклонением 3,1. Определить вероятность попадания в интервал .

Решение:

По формуле вероятность  попадания в заданный интервал нормальной случайной величины:

Р() = Ф - Ф

P(9) = Ф - Ф = Ф(0,64) – Ф( - 0,97) =

= Ф(0,64) + Ф(0,97) = 0,2389+0,3340 = 0,5729 (см.таблицу  приложение 2 учебника Теории вероятности, автор В.Е. Гмурман)

 

Задания по математической статистике.

1. Представить исходную выборку в виде статистического ряда и изобразить его графически. Привести график эмпирической функции распределения.

2. Определить моду и медиану.

3. Определить точные оценки для среднего арифметического, дисперсии, среднеквадратического отклонения.

4. Определить квартили , , .

5. Установить, является ли распределение симметричным, используя коэффициент асимметрии.

6. Определить интервальные оценки для математического ожидания с уровнями значимости =0,05 и =0,01.

7,34	6,19	5,12	9,09	8,09	7,21	6,17	5,00
8,13	9,13	6,37	9,25	8,24	7,45	6,28	5,27
6,58	6,52	7,98	6,61	6,85	6,68	6,74	7,01
7,67	8,29	6,40	7,77	8,37	6,61	6,41	7,81

 

Решение:

Представим данный простой  статистический ряд в виде вариационного  ряда. Имеем:

Объем выборки n=32

Ширина интервала: h= = = = =

= 0,71

Граница интервалов	Частота	Средние точки интервалов	Частости	Накопленные частоты	Накопленные частости
[5; 5,71)	3	5,355	0,09	3	0,09
[5,71; 6,42)	7	6,065	0,22	10	0.31
[6,42; 7,13)	7	6,775	0,22	17	0,53
[7,13; 7,84)	6	7,485	0,19	23	0,72
[7,84; 8,55)	6	8.195	0,19	29	0,91
[8,55; 9.26)	3	8,905	0,09	32	1
	=32		=1

 

Графическое представление  интервального ряда представлено на графике № 1.

 

 

 

 

 

 

 

График № 1

Изобразим графическое изображение  эмпирической функции распределения (кумулята). При построении кумуляты по оси Х откладываются начальная  точка и верхние точки классов, а по оси У значения накопленных  частостей. Точки соединяются кривой (график № 2).

График № 2

 

 

 

Вычислим характеристики:

	Средние точки	Частоты
1	5,355	3	16,065	86,028
2	6,065	7	42,455	257,490
3	6,775	7	47,425	321,304
4	7,485	6	44,91	336,151
5	8,195	6	49.17	402,948
6	8,905	3	26,715	237,897
Σ			226,74	1641,819

 

Выборочная средняя: x = = * 226,74 ; x = 7,086 7,09

Выборочная дисперсия: D = - =

= * 1641,819 – = 51,31 – 50,21= 1,1

Среднее квадратическое отношение: = = 1,049

Мода: = k+ = 6,42+ = 6,42+ = 6,42

Медиана: = + = 6,42+ *0,71=

= 6,42+ = 6,42+ = 6,42+ 0,61= 7,03

Определим квартили: = , i= = 1,5 =6,065; =6,065

 = , i= =3 – целое = = 7,13

 = , i= = 4,5 =8,195; =8,195

Коэффициент ассиметрии: = = = 0,1716

 =0,1716 0 распределение имеет правостороннюю ассиметрию.

P (= 1 –

P= 1 – = 1-0,05 = 0,95

P = 1 –

P = 0,95

7,09 – 1,96

7,07 – 0,36

6,71 7,43

P= 1 –  = 1 – 0,01= 0,99