Контрольная работа по "Статистике"

      Вариант 1.

  Задание 1. Имеются данные численности  наличного населения города Х  за 1999-2007 гг. (на начало года), тыс. чел.

1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
119	120	119	118	118,6	118	117,9	117,7	117,4

1. Постройте  прогноз численности наличного  населения города Х на 2008-2009 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших  квадратов.

2. Постройте  график фактического и расчетных  показателей.

3. Рассчитайте ошибки полученных  прогнозов при использовании  каждого метода.

4. Сравните результаты.

 

Решение:

1. Метод скользящей средней. Для того, чтобы рассчитать прогнозное значение, необходимо:
1. Определить величину интервала сглаживания, например, равную 3 (n = 3).
2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов

 m 2000 = (У1999 + У2000 + У 2001)/ 3 = (119+120+119)/3 = 119,3

Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.

Далее рассчитываем  m   для следующих трех периодов: 2000, 2001, 2002 гг.

m 2001 = (У2000 + У2001 + У 2002)/ 3 = (120+119+118)/3 = 119

Далее по аналогии рассчитываем  m  для каждых трех рядом стоящих периодов.

m 2002 = (У2001 + У2002 + У 2003)/ 3 = (119+118+118,6)/3 =118,5

m 2003 = (У2002 + У2003 + У 2004)/ 3 = (118+118,6+118)/3 =118,2

m 2004 = (У2003 + У2004 + У 2005)/ 3 = (118,6+118+117,9)/3 =118,1

m 2005 = (У2004 + У2005 + У 2006)/ 3 = (118+117,9+117,7)/3 =117,8

m 2006 = (У2005 + У2006 + У 2007)/ 3 = (117,9+117,7+117,4)/3 =117,6

 

Годы	Численность наличного населения в городе X	Скользящая средняя	Расчет средней относительной ошибки
	Уt	m	(Уt - m)/Yt*100
1999	119	-	-
2000	120	119,3	0,6
2001	119	119,0	0,0
2002	118	118,5	0,5
2003	118,6	118,2	0,3
2004	118	118,2	0,1
2005	117,9	117,9	0,0
2006	117,7	117,7	0,0
2007	117,4	-
Итого:			1,5
2008	117,6
2009	117,6

 

 

Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на 2008 г.

  

= +

где  t + 1 – прогнозный период;

  t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.);

  yt+1 – прогнозируемый показатель;

    – скользящая средняя за два периода до прогнозного;

   n – число уровней, входящих в интервал сглаживания;

  yt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период;

     yt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.

У2008 = 117,7 + 1/3 (117,4 – 117,7) = 117,6

Определяем скользящую среднюю m для 2008 года:

m 2008 = (117,7+117,4+117,6)/3 =117,6

Строим прогноз на 2009 г.:

У2009 = 117,6 + 1/3 (117,6 – 117,4) = 117,6

Заносим полученный результат в таблицу.

Рассчитываем среднюю относительную ошибку

    ε=1,5 / 7=0,22      

 

 

Интерпретация значений средней относительной ошибки для оценки точности прогнозов:

 

ε, %	Интерпретация
< 10	Точность прогноза высокая
10-20	Точность хорошая
20-50	Точность удовлетворительная
> 50	Точность неудовлетворительная

 

 

Вывод: Точность прогноза высокая.

 

 

 

2. Метод экспоненциального сглаживания.

Определяем значение параметра сглаживания

2/ (n+1)= 2 / (8+1)=0,2

 

Определяем начальное значение Uo двумя способами:

1-й  способ (средняя арифметическая) Uo =1065,6/8 = 133,2 

2-й  способ (принимаем первое значение  базы прогноза) Uo = 119

Годы	Численность наличного населения в городе X	Экспоненциально взвешенная средняя    Ut		Расчет средней  относительной  ошибки
	Уt	I способ	II способ	I способ	II способ
1999	119	133,2	119,0	11,9	0,0
2000	120	130,4	119,0	8,6	0,8
2001	119	128,3	119,2	7,8	0,2
2002	118	126,4	119,2	7,1	1,0
2003	118,6	124,7	118,9	5,2	0,3
2004	118	123,5	118,9	4,7	0,7
2005	117,9	122,4	118,7	3,8	0,7
2006	117,7	121,5	118,5	3,2	0,7
2007	117,4	120,7	118,4	2,9	0,8
ИТОГО:	1065,6	1131,2	1069,7	55,3	5,2
Прогноз 2008		120,04	118,2

 

 

1 СПОСОБ U1999= 119*0,2+(1-0,2)*133,2=130,4 U2000= 120*0,2+(1-0,2)*130,4=128,3 U2001= 119*0,2+(1-0,2)*128,3=126,4 U2002= 118*0,2+(1-0,2)*126,4=124,7 U2003= 118,6*0,2+(1-0,2)*124,7=123,5 U2004= 118*0,2+(1-0,2)*123,5=122,4 U2005= 117,9*0,2+(1-0,2)*122,4=121,5 U2006= 117,7*0,2+(1-0,2)*121,5=120,7 U2007= 117,4*0,2+(1-0,2)*120,7=120,04

2 СПОСОБ U1999= 119*0,2+(1-0,2)*119=119 U2000= 120*0,2+(1-0,2)*119=119,2 U2001= 119*0,2+(1-0,2)*119,2=119,2 U2002= 118*0,2+(1-0,2)*119,2=118,9 U2003= 118,6*0,2+(1-0,2)*118,9=118,8 U2004= 118*0,2+(1-0,2)*118,7=118,7 U2005= 117,9*0,2+(1-0,2)*118,7=118,5 U2006= 117,7*0,2+(1-0,2)*118,5=118,4 U2007= 117,4*0,2+(1-0,2)*118,4=118,2

Рассчитываем среднюю относительную ошибку

  I способ   ε=55,3 / 9 =6,14

II способ   ε=5,2 / 9 =0,5

Вывод: используя 1 способ – точность прогноза выше, чем используя способ I

 

 

 

 

 

3. Метод  наименьших квадратов

Для решения используем следующую таблицу.

 

Годы	Численность наличного населения в городе X	Условное обозначение времени				Расчет средней относительной ошибки
	Уt	Х	Уt*Х	Х^2	Ур	|Уt - m|/Yt*100
1999	119	1	119	1	-75,9	-
2000	120	2	240	4	-70,5	158,7
2001	119	3	357	9	-65,1	154,7
2002	118	4	472	16	-59,7	150,6
2003	118,6	5	593	25	-54,3	145,8
2004	118	6	708	36	-48,9	141,5
2005	117,9	7	825,3	49	-43,5	136,9
2006	117,7	9	1059	81	-32,8	127,8
2007	117,4	10	1174	100	-27,4	123,3
Итого:	1065,6	47	5547,6	321	-477,9	1139,3
2008		11			-22,0
2009		12			-16,6

 

 

 

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза. Рассчитаем графы 4 и 5.

Ур определим по формуле   

у t+1 = а*Х + b

где  t + 1 – прогнозный период;  yt+1 – прогнозируемый показатель;  a и  b - коэффициенты; Х - условное обозначение времени.

коэффициенты a и b по формулам:

 

 

 

 

 

У1999 = 5,4*1 – 81,2 = -75,9

У2000 = 5,4*2 – 81,2 = - 70,5

У2001 = 5,4*3 – 81,2 = -65,1

У2002 = 5,4*4 – 81,2 = - 59,7

У2003= 5,4*5 – 81,2 = - 54,3

У2004 = 5,4*6 – 81,2 =  -48,9

У2005 = 5,4*7 – 81,2 = -43,5

У2006 = 5,4*8 – 81,2 = -32,8

У2007 = 5,4*9 – 81,2 = -27,4

 

Определяем прогнозное значение.

У2008 = 5,4*10 – 81,2 = -22,0

У2009 = 5,4*11 – 81,2 = - 16,6

Рассчитываем среднюю относительную ошибку    ε = 1139,3 /10=113,93.

Вывод: Точность неудовлетворительная.

 

Вывод:

Ни один из использованных методов не дает 100% точных результатов. При использовании метода скользящей средней величина средней относительной ошибки минимальна, по сравнению с другими методами (ε=0,22, ε=6,14, ε=0,5, ε=113,93). Поэтому, можем сделать вывод о том, что при заданных условиях, результаты, полученные при использовании метода скользящей средней наиболее правдоподобны.