Контрольная работа по "Статистике"

Изучается линейная зависимость  результативного признака Y – ожидаемой продолжительности жизни мужчины (в годах) от пяти факторных признаков – регрессоров x₁ - численности населения (в тыс. чел.), x₂ - рождаемости (на 1000 чел.), x₃ - смертности (на 1000 чел.), x₄ - среднего числа детей в семье, x₅ - процента городского населения.

1. Модель множественного линейного регрессионного анализа признака Y:

;

где случайные величины (случайные эффекты влияния на результативный признак неконтролируемых факторов) независимы и имеют одинаковое нормальное распределение , или, иначе, наблюдения независимы и имеют нормальное распределение

.

. Данная функция называется линейной множественной регрессии.

2. Введем исходные данные в рабочий лист MS Excel. Для расчета матрицы оценок коэффициентов парной корреляции воспользуемся программой «Корреляция».

В результате работы программы  «Корреляция» рассчитана матрица оценок коэффициентов парной корреляции (табл.1). Жирным шрифтом выделены коэффициенты корреляции, оценки которых по модулю превосходят 0,7.

Таблица 1

	Y	x(1)	x(2)	x(3)	x(4)	x(5)
Y	1
x(1)	-0,12513	1
x(2)	-0,81727	0,042289	1
x(3)	-0,59694	-0,03566	0,236172	1
x(4)	-0,80838	-0,00289	0,966282	0,334691	1
x(5)	0,687435	-0,30208	-0,6335	-0,29824	-0,5719	1

Выводы: cудя по наблюдениям, наиболее сильна линейная связь результативного признака Y (ожидаемой продолжительности жизни мужчины) с факторным признаком x⁽²⁾ (рождаемостью на 1000 чел.), x⁽⁴⁾ (средним числом детей в семье), так как модули оценок соответствующих коэффициентов парной корреляции достаточно велики: .

Достаточно сильна линейная связь между парой регрессоров  x⁽²⁾(рождаемостью) и x⁽⁴⁾(средним числом детей в семье): – это свидетельствует о коллинеарности регрессоров x₂ и x₄.

3. Рассчитаем оценки параметров модели линейной регрессии с помощью программы «Регрессия» группы «Анализ данных».

 

 

 

 

 

 

Оценка линейной функции  регрессии:

.

Стандартная ошибка .

Средняя относительная ошибка аппроксимации (в процентах) равна 3,4%.

.

4. a) В таблице «Дисперсионный анализ» в столбце «df» приводятся количество степеней свободы m=5, n-m=46, n-1=51 соответственно случайных величин

, значения которых, равные соответственно 2958,092, 444,889, 3402,981, приводятся в столбце «SS»; а в столбце «MS» приведены значения величин , равные соответственно 591,618, 9,671 (табл.2).

Таблица 2. Дисперсионный  анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	5	2958,092	591,618	61,171	0,000
Остаток	46	444,889	9,671
Итого	51	3402,981

 

Проверка гипотезы Н₀: . Так как значимость F меньше , то гипотеза Н₀ не принимается (уравнение значимо).

б) Проверим гипотезы : при альтернативных гипотезах : .

Таблица 3

	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	3,535	24,435	0,000	79,265	93,497	79,265	93,497
x(1)	0,000	-1,104	0,275	0,000	0,000	0,000	0,000
x(2)	0,202	-3,758	0,000	-1,165	-0,352	-1,165	-0,352
x(3)	0,159	-6,976	0,000	-1,432	-0,791	-1,432	-0,791
x(4)	1,259	1,333	0,189	-0,857	4,213	-0,857	4,213
x(5)	0,028	1,534	0,132	-0,013	0,098	-0,013	0,098

 

В табл.3 в столбце «t-статистика» приводятся значения статистики , которая при выполнении гипотезы Н₀ имеет распределение Стьюдента с степенью свободы.

Так как критическая точка , то только гипотезы отвергаются (оценки параметров значимы), а гипотезы принимаются (оценки незначимы).

В табл.3 в столбце «P-значение» приводятся рассчитанные уровни значимости гипотез – вероятности . Отсюда видно, что гипотезы   отвергаются, а гипотезы принимаются.

5. а) Исключим из уравнения регрессор , при котором коэффициент незначим, а соответствующая этому коэффициенту абсолютная величина значения t-статистики является наименьшей, уровень значимости является наибольшим. Оценка линейной функции регрессии:

.

Стандартная ошибка .

Средняя относительная ошибка аппроксимации (в процентах) равна 3,4%.

Оценка коэффициента множественной линейной корреляции равна 0,93, оценка коэффициента множественной линейной детерминации равна 0,87, оценка нормированного коэффициента множественной линейной детерминации равна 0,85.

Гипотеза H₀ о том, что все параметры при регрессорах одновременно равны нулю, отвергается на 5%-ном уровне значимости, поскольку значимость F меньше принятого уровня значимости α = 0,05.

Так как , только гипотеза принимается, а гипотезы не принимаются.

б) Исключим из уравнения  регрессор , при котором коэффициент незначим. Оценка линейной функции регрессии:

.

Стандартная ошибка .

Средняя относительная ошибка аппроксимации (в процентах) равна 3,5%. Оценка коэффициента множественной линейной корреляции равна 0,93, оценка коэффициента множественной линейной детерминации равна 0,86, оценка нормированного коэффициента множественной линейной детерминации равна 0,85.

 

Таблица 4

	Уравнение, интервальные оценки коэффициентов, наблюдаемые значения статистики Т, Р-значения					F
1	(79.27;93.5)         (0;0)                            (-1.17;-0.35)             (-1.43;-0.79)              (-0.86;4.21)             (-0.01;0.098)              (-1.104)                           (-3.76)                         (-6.98)                        (1.33)                        (1.53) (0.28)                               (0)                                 (0)                             (0.19)                        (0.13)	0.87	0.86	3.11	3.4%	61.17	2.417
2	(78.39;91.94)     (-1.17;-0.35)            (-1.42;-0.78)            (-0.79;4.29)              (0;0.11)                   (-3.75)                     (-6.89)                      (1.39)                        (2.03) (0)                               (0)                         (0.17)                        (0.05)	0.87	0.86	3.12	3.4%	75.8	2.57
3	(76.89;88.49)      (-0.6;-0.37)              (-1.27;-0.71)            (0.01; 0.11)                        (-8.68)                      (-7.04)                       (2.59) (0)                             (0)                             (0.013)	0.86	0.85	3.15	3.5%	98.53	2.798

 

Гипотеза H₀ о том, что все параметры при регрессорах одновременно равны нулю, отвергается на 5%-ном уровне значимости, поскольку значимость F меньше принятого уровня значимости α = 0,05.

Так как , то гипотезы не принимаются.

Результаты отображены в  табл.4.

 

 

6. Наилучшим уравнением является полученное на третьем шаге, так как и уравнение, и все коэффициенты значимы.

 

а) более 80% дисперсии продолжительности  жизни мужчины связано с линейным влиянием рождаемости, смертности и  процента городского населения.

б) точечная оценка генерального среднего значения продолжительности жизни мужчины при значениях регрессоров на первом объекте равна

, а реальная  продолжительность жизни мужчины  в Австралии  равна 74, остаток  равен 1,1 – продолжительность  жизни мужчины выше среднего  уровня.

в) увеличение смертности на единицу (при неизменных остальных  регрессорах) сопровождается наибольшим изменением средней продолжительности  жизни мужчины (уменьшением на 0,989).

г) коэффициент эластичности:

 

 

 

Отсюда, увеличение рождаемости  на 1% при неизменных остальных регрессорах  сопровождается наибольшим процентным изменением средней продолжительности  жизни мужчины – ее уменьшением  на 0,15%.