Контрольная работа по "Статистике"

Контрольная работа №4.

Вариант №3.

Задание 1.

В партии готовой продукции из 10 изделий  имеется 7 изделий повышенного качества. Наудачу отбираются шесть изделий. Какова вероятность того, что четыре из них будут повышенного качества?

Решение:

N=10 n=7 m=6 k=4

Имеем неупорядоченную выборку без  повторений. По классической формуле  искомая вероятность равна отношению  числа благоприятных исходов  к общему числу исходов:

Ответ:

Задание 2.

Имеется 5 урн. В первой, второй и третьей находится по 2 белых и 6 черных  шаров, в четвертой и пятой урнах по 5 белых и 3 черных шара. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что была выбрана четвертая или пятая урна, если шар оказался белым?

Решение:

Пусть событие А – выбор белого мяча. Есть пять гипотез:

Н₁ – мяч выбран из первой урны;

Н₂ – мяч выбран из второй урны;

Н₃ – мяч выбран из третей урны;

Н₄ – мяч выбран из четвертой урны;

Н₅– мяч выбран из пятой урны.

По условию  вероятность этих гипотез равна:

Р(Н₁)= Р(Н₂)= Р(Н₃)= Р(Н₄)= Р(Н₅)=1/5.

Условные  вероятности события А:

Р(А/Н₁)= Р(А/Н₂)= Р(А/Н₃)=2/8=0,25;  Р(А/Н₄)= Р(А/Н₅)=5/8=0,625.

Р(Н₄/А+Н₅/А)= ,

где ,

Тогда, Р(Н₄/А+Н₅/А)=0,2*0,625*2/0,4=0,625

Ответ: 0,625. 

Задание 3.

Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность  обрыва нити на одном веретене в  течении одной минуты равна 0,004. Найдите  вероятность того, что в течение  одной минуты обрыв произойдет не более чем на двух веретенах.

Решение:

По формуле Пуассона т.к. λ=n*p=1000*0,004=4<10.

Ответ: 0,245. 

Задание 4.

На предприятии  имеется4 автобуса. Вероятность выхода на линию в любой день одинакова  для каждого автобуса и равна 0,8. Составьте закон распределения  случайной величины Х – числа автобусов, которые выйдут на линию в произвольно выбранный день. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

Решение:

р=0,8 –  вероятность выхода на линию, следовательно, q=0,2 – вероятность невыхода на линию.

Х –  количество вышедших автобусов на линию, Х:  0,1,2,3,4. 
 
 

Составим  закон распределения:

х	0	1	2	3	4
рi	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

Р(Х=0)=Р( ;

Р(Х=1)=4*0,8*0,2³=0,0256;

Р(Х=2)=6*0,8²*0,2²=0,1536;

Р(Х=3)=4*0,8³*0,2=0,4096;

Р(Х=4)=0,8⁴=0,4096.

Найдем математическое ожидание:

М(х)=∑х_iр_i=0*0,0016+1*0,0256+2*0,1536+3*0,4096+4*0,4096=3,2.

Ответ:

Закон распределения:

х	0	1	2	3	4
рi	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

М(х)=3,2. 

Задание 5.

Закон распределения дискретной случайной  величины Х задан таблицей:

хi	2	5	7	9	12
рi	Р1	0,2	0,15	Р4	0,25

3 Р₄= Р₁; α=2 β; =10.

а) Найдите неизвестные вероятности Р₁ и Р_4;

б) постройте  многоугольник распределения;

в) найдите  математическое ожидание, дисперсию  и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х;

г) найдите  функцию распределения F(x) случайной величины Х и постройте ее график;

д) найдите  вероятность попадания в интервал (α; β): Р(α≤x<β).

Решение:

а) Известно, что ∑ р_i=1, тогда р₁+0,2+0,15+р₄+0,25=1 т.к. 3 Р₄= Р₁, то

3 р₄+0,2+0,15+ р₄+0,25=1, 4 р₄=0,4, следует, р₄=0,1 и р₁=0,3.

Получили  следующие данные:

хi	2	5	7	9	12
рi	0,3	0,2	0,15	0,1	0,25

б) многоугольник  распределения (см. рис.1):

Рис.1. Многоугольник  распределения.

в) М(х)=∑  х_iр_i=2*0,3+5*0,2+7*0,15+9*0,1+12*0,25=6,55;

D(x)=M(x²)* р_i- (M(x))²=4*0.3+25*0.2+49*0.15+81*0.1+144*0.25-(6.55)²=14.75.

г)

     то есть    

Построим  функцию распределения (рис.2.):

Рис.2. График функции распределения дискретной величины. 

д)

Р(2≤х<10)=?

Воспользуемся формулой

Получим

Задание 6.

Решение:

а) По условиям нормировки имеем:

 

Таким образом,

 

б) Построим график функции плотности (см. рис.3):

Рис.3. График функции плотности f(x).

в) Найдем функцию распределения F(x):

   или

Построим  ее (см. рис.4):

Рис.4. График функции распределения F(x).

д) Найдем математическое ожидание и дисперсию  случайной величины:

 Задание 7.

Решение:

Из условия  задачи получаем,

M(z)=M(2x-2y)=2M(x)-2M(y)=2*4-2*3.2=8-6.4=1.6

Так как  М(х)=λ=4  (по закону Пуассона),

М(у)=n*p=8*0.4=3.2 (по биноминальному закону).

D(z)=2D(x)-2D(y)=2*4-2*1.92=4.16,

Так как  D(х)=λ=4  (по закону Пуассона),

D(у)=n*p*q=8*0.4*0.6=1.92 (по биноминальному закону). 

Задание 8.

Решение:

Случайная величина Х может принимать значения:

х=3 с  вероятностью р₁=0,11+0,13+0,26=0,5

х=4 с  вероятностью р₂=0,21+0,06+0,23=0,5

Отсюда  ее закон распределения имеет  вид:

Хi	3	4
Pi	0.5	0.5

 

Аналогично,

Случайная величина У может принимать значения:

у=1 с  вероятностью р₁=0,11+0,21=0,32

у=2 с  вероятностью р₂=0,13+0,06=0,19

у=4 с  вероятностью р₃=0,26+0,23=0,49 

Отсюда  ее закон распределения имеет  вид:

Уi	1	2	4
Pi	0.32	0,19	0.49

 

Ковариация  случайных величин Х и У  определяется по формуле:

 

коэффициент корреляции r_xy определяется по формуле:

, где 

Связь между случайными величинами незначительная.

Найдем  условные вероятности возможных  значений Х при условии, что составляющая У приняла значение у₁ =1:

Р_у1(х1)=

Р_у1(х2)=

Запишем условный закон распределения Х:

Хi	3	4
Ру1(х)	0.34	0.66