Дисперсия: свойства и методы расчета

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Российский государственный гуманитарный университет»

Филиал РГГУ в г. Саратове

                                        Шпак Алена Евгеньевна

                                                Контрольная работа

                           Дисперсия: свойства и методы расчета

студентки 2-го курса заочного отделения

специальности «Экономика и управление на предприятии

(по отраслям)»

                                                       по курсу «Статистика»

                                                                                      Научный    руководитель:

К.техн.н. Болдырева Н.А.

                                                Саратов 2011г         

Содержание.

1.Введение.                                                                                                    2-4

2.Понятие дисперсии.                                                                                      5

3. Свойства дисперсии и методы ее расчета.                                          6-11

4. Заключение.                                                                                                   12

5. Список литературы.                                                                                     13

1.  Введение

При изучении социально-экономических явлений и процессов статистика встречается с разнообразной вариацией признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности. Величины признаков колеблются, варьируют под действием различных причин и условий, которые в статистике называются  факторами. Нередко эти факторы действуют в противоположном направлении и сами, в свою очередь, варьируют. Среди них есть существенные факторы, определяющие величину вариантов данного признака у всех единиц совокупности. Но есть и несущественные (чисто случайные), которые могут на одни единицы совокупности могут оказывать влияние, на другие нет. Вариация, порождаемая существенными факторами, носит систематический характер, т.е. наблюдается последовательное изменение вариантов признака в определенном направлении. Такая вариация называется систематической. В систематической вариации проявляются взаимосвязи между явлениями, их признаками, в такой связи – один как причина (фактор), другой как следствие (результат) его действия. Точнее говоря, проявляется зависимость вариации одного признака от вариации другого или от нескольких других.

Вариация, обусловленная случайными факторами, называется случайной вариацией. Здесь не наблюдается систематического изменения вариантов зависимого признака от случайных факторов; все изменения носят хаотический характер, поскольку нет устойчивой связи этих факторов с единицами изучаемой совокупности.

Вариация зависимого признака, образовавшаяся под действием всех без исключения влияющих на него факторов, называется общей вариацией. Следовательно, общая вариация слагается из систематической и случайной вариации. Но систематическая вариация, если между признаками имеется довольно существенная связь, в конце концов, пробивает себе дорогу через хаос случайных колебаний вариантов зависимого признака и проявляет себя.

Наличие вариации признаков, изучаемых статистикой явлений, ставит задачу определить меру вариации, ее измерение, найти соответствующие измерители – показатели, характеризующие размеры этой вариации, а также выявить сущность и методы вычисления определяющих ее факторов.

По степени вариации изучаемые явления можно рассматривать с различных аспектов, в частности судить об однородности совокупности, устойчивости индивидуальных значений признака, типичности  средней, о взаимосвязи между признаками одного и того же явления и признаками разных явлений. Статистические показатели, характеризующие вариацию, широко применяются в практической деятельности, например для оценки ритмичности работы промышленных предприятий, используются как контроль над производственными процессами, а также для определения устойчивости урожайности сельскохозяйственных культур тех или иных сортов или одного и того же сорта в определенных климатических условиях. На основе вариации в статистике разрабатываются показатели, характеризующие социально-экономические явления и процессы, например показатели тесноты связи между явлениями и их признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения.

Для характеристики закономерностей распределения изучаемого признака недостаточно пользоваться только вариационными рядами распределения и их графическим изображением. В процессе анализа требуется вычислить различные числовые характеристики (показатели), которые в обобщенном виде отразят особенности распределения изучаемых признаков. Наличие таких характеристик (показателей) существенно облегчает сравнение различных распределений между собой.

Все показатели вариации в зависимости от характеризуемых ими особенностей можно разделить на три группы:

1.      показатели центра распределения – средняя арифметическая, мода и медиана;

2.      показатели типа (формы) распределения – структурные характеристики, показатели асимметрии и эксцесса, кривые распределения;

3.      показатели степени вариации – вариационный размах, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и дисперсия.

Именно исследование такого показателя вариации, как дисперсия является целью этой контрольной работы.

  2.  Понятие  Дисперсии.

Дисперсия – представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и в зависимости от исходных данных вычисляется по формулам простой дисперсии и взвешенной дисперсии.

                                         (xi – x)^2

                                = ----------------      формула простой дисперсии;

                                                n

                                          (xi – x)^2 f i

                                = ------------------    формула взвешенной дисперсии.

                                                f i

Расчет дисперсии может быть упрощен. В случае равных интервалов в вариационном ряду распределения используется способ отсчета от условного нуля (способ моментов). Для его понимания необходимо знать математические свойства дисперсии.

  3. Свойства дисперсии и методы ее расчета.

1.      Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2.      Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не  меняет величины дисперсии:

                                                        ^2(х-A) = ^2x .

Значит, средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по их отклонениям от какого-то постоянно числа.

3.      Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k  раз, а среднее квадратическое отклонение – в k раз:

                                                 ^2(х/A) = ^2x : k .

Значит, все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число (скажем, на величину интервала ряда), исчислить среднее квадратичное отклонение, а затем умножить на постоянное число:

                                                        ^2х > ^2х/k k .

4.      Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины A, в той или иной степени отличающейся от средней арифметической (х), то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической:

                                                 ^2A > ^2х .

Средний квадрат отклонений при этом будет больше на вполне определенную величину – на квадрат разности средней и этой условно взятой величины, т.е. на (x - A)^2 :

                                                       ^2A = ^2x + (х - A)^2 ,

или

                                                                  (xiA)^2 i 

                                                        = -------------  -  (x - A)^2 .

                                                   i

Значит, дисперсия от средней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин, т.е. она имеет свойство минимальности.

В случае, когда А приравнивается нулю и, следовательно, отклонения не вычисляются, формула принимает такой вид:

                                           ^2х = х  (х) ,

или

                                                    х i                хi i

                                        = ----------  -  ----------  .

                                                             i                     i

Значит, средний квадрат отклонений равен среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

Методы расчета дисперсии.

На приведенных математических свойствах дисперсии основан метод расчета дисперсии по способу моментов, или способу отсчета от условного нуля, который применяется при исчислении средней величины. Расчет производится по формуле:

                                                         --------  i                        

                                = -------------------  k - (х - A) ,

                                                                  i   

где      k    --  ширина  интервала;

                 A  -- условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину                     интервала, обладающего наибольшей частотой;

      --------

    -----------------  -  момент второго порядка.

          i

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений, а варианты признака выражены в первой степени.

                              Среднее квадратическое отклонение ()

Среднее квадратическое отклонение, равно корню квадратному из дисперсии. Оно может быть простым или взвешенным.

                                                      (хi - х)

                                            = ------------------

                                                            n

или

                                                       (хi - x) i

                                             =  --------------------  .

                                                             i

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения. Они выражаются в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях и т.д.).

Среднее квадратическое отклонение часто используется в качестве единицы измерения отклонений от средней арифметической. В зарубежной литературе этот показатель называется нормированным, или стандартизированным, отклонением.

По свойству мажорантности средних величин среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Если распределение признака близко к нормальному или симметричному распределению, то между  и d существует взаимосвязь: d = 0,8 или  = 1,25 d .

Среднее квадратическое отклонение играет важную роль в анализе вариационных рядов распределения. В условиях нормального распределения существует следующая взаимосвязь между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений:

      В пределах x + 1 располагается 0,683, или 68,3% количества наблюдений;

      В пределах   х  +  2  -  0,954, или 95,4%;

      В пределах   х  +  3  -  0,997, или 99,7% количества наблюдений.

В действительности на практике почти не встречаются отклонения, которые превышают  +3. Отклонение 3 может считаться максимально возможным. Это положение называют правилом трех сигм.

Пример. Рассмотрим расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по данным нижеприведенной таблицы о выпуске промышленной продукции фирмами отрасли.

Таблица

                               Вычисление   и   по несгруппированным данным