Анализ рядов динамики

1.4 Структура  ряда динамики. Задачи, решаемые  с помощью рядов динамики. Взаимосвязанные  ряды динамики.

Всякий ряд  динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1. тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению или снижению его уровней) ;
2. циклические (периодические колебания, в том числе сезонные) ;
3. случайные колебания.

С помощью рядов  динамики изучение закономерностей развития социально – экономических явлений осуществляется в следующих основных направлениях:

1. Характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени ;
2. Измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических показателей ;
3. Выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда) ;
4. Изучение периодических колебаний ;
5. Экстраполяция и прогнозирование.

Под взаимосвязанными рядами динамики понимают такие, в которых  уровни одного ряда в какой –  то степени определяют уровни другого. Например, ряд, отражающий внесение удобрений на 1 га, связан с временным рядом урожайности, ряд уровней средней выработки связан с рядом динамики средней заработной платы, ряд среднегодового поголовья молочного стада определяет годовые уровни надоев молока и т. д.  

 

2. ПОКАЗАТЕЛИ, РАССЧИТЫВАЕМЫЕ  НА ОСНОВЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ 

2.1Статистические  показатели динамики социально  – экономических явлений. 

Для количественной оценки динамики социально – экономических  явлений применяются статистические показатели: абсолютные темпы роста и прироста, темпы наращивания и т. д.

В основе расчета показателей  рядов динамики лежит сравнение  его уровней. В зависимости от применяемого способа сопоставления  показатели динамики могут вычисляться  на постоянной и переменной базах сравнения.

Для расчета показателей  динамики на постоянной базе каждый уровень  ряда сравнивается с одним и тем  же базисным уровнем. Исчисляемые при  этом показатели называются базисными. Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Такие показатели называются цепными.

Способы расчета показателей  динамики рассмотрим на данных товарооборота  магазина в 1987 – 1991 гг. (см. таб. 2) .

Абсолютный прирост –  важнейший статистический показатель динамики, определяется в разностном соотношении, сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации. Бывает цепной и базисный:

1. Базисный абсолютный прирост определяется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения

(формула 1) : (1) Цепной абсолютный прирост – разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует,

(формула 2) : (2) Абсолютный прирост может иметь и отрицательный знак, показывающий, насколько уровень изучаемого периода ниже базисного.

Между базисными  и абсолютными приростами существует связь: сумма цепных абсолютных приростов  равна базисному абсолютному приросту последнего ряда динамики (формула 3) : (3) Ускорение – разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период равной длительности (формула 4) : (4) Показатель абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте, но не в базисном. Отрицательная величина ускорения говорит о замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда.

Темп роста  – распространенный статистический показатель динамики. Он характеризует  отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

1. Базисные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за постоянную базу сравнения

, по формуле  5: (5) Цепные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень

(формула 6) : (6) Если темп роста больше единицы (или 100%) , то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным. Темп роста, равный единице (или 100%) , показывает, что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным не изменился. Темп роста меньше единицы (или 100%) показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным. Темп роста всегда имеет положительный знак.

Между базисными и цепными  темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста, а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.

Темпы прироста характеризуют  абсолютный прирост в относительных  величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

1. Базисный темп прироста вычисляется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за постоянную базу сравнения

(формула 7) : (7) Цепной темп прироста -- это отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню

(формула 8) : = : (8) Между показателями темпа роста и темпа прироста существует взаимосвязь, выраженная формулами 9 и 10: (%) = (%) -- 100 (9) (при выражении темпа роста в процентах) .

= -- 1 (10) (при выражении темпа роста в коэффициентах) .

Формулы (7) и (8) используют для  нахождения темпов прироста по темпам роста.

Важным статистическим показателем  динамики социально – экономических  процессов является темп наращивания, который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание  во времени экономического потенциала.

Вычисляются темпы наращивания  Тн делением цепных абсолютных приростов на уровень, принятый за постоянную базу сравнения, по формуле 11: (11)  

2.2 Средние показатели  в рядах динамики 

Для получения обобщающих показателей динамики социально -- экономических  явлений определяются средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и пр.

Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

В интервальных рядах динамики средний уровень  у определяется делением суммы уровней на их число n (формула 12) : (12) В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний уровень определяется по формуле 13: (13) В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется по формуле 14: , (14) где – уровни ряда динамики, сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени .

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного прироста сумма цепных абсолютных приростов делится на их число n (формула 15) : (15) Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики. Для этого определяется разность между конечным и базисным уровнями изучаемого периода, которая делится на m – 1 субпериодов (формула 16) : (16) Основываясь на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными приростами, показатель среднего абсолютного прироста можно определить по формуле 17: (17) Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. Для определения среднего темпа роста применяется формула 18: (18) где Тр1, Тр2,..., Трn -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах) , n -- число индивидуальных темпов роста.

Средний темп роста  можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики по формуле 19: (19) На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний темп роста можно определить по формуле 20: (20) Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста. При наличии данных о средних темпах роста для получения средних темпов прироста используется зависимость, выраженная формулой 21: (21) (при выражении среднего темпа роста в коэффициентах)

Проверка  ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда

Изучение тренда включает в себя два основных этапа:

1. Ряд динамики проверяется на наличие тренда
2. Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов.

Проверка  на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два) , для каждого из которых определяется средняя величина ( ) . Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.
2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура) . Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста) .
3. Критерий Кокса и Стюарта. Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае, когда число уровней ряда не делится на три, недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп.
4. Метод серий. По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа, с обоих сторон граничащая с элементами другого типа) .

Если в ряду динамики общая тенденция к росту  или снижению отсутствует, то количество серий является случайной величиной, распределенной приближенно по нормальному закону (для n > 10) . Следовательно, если закономерности в изменениях уровней нет, то случайная величина R оказывается в доверительном интервале .

Параметр t назначается  в соответствии с принятым уровнем  доверительной вероятности Р.

Среднее число  серий вычисляется по формуле 22: . (22) Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле 23: . (23) здесь n -- число уровней ряда.

Выражение для  доверительного интервала приобретает вид Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю.

Непосредственное  выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .
2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т. д. точек) или четным (2,4,6 и т. д. точек) .

При нечетном сглаживании  полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном это делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50%.

Недостаток  методики сглаживания скользящими  средними состоит в условности определения  сглаженных уровней для точек  в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной. Так, при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24: . (24) Для последней точки расчет симметричен.

При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25) :   (25) Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках.

Формулы расчета  по скользящей средней выглядят, в  частности, следующим образом (формула 26) : для 3--членной  . (26) Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели, выраженной формулой 27:

, (27) где f (t) – уровень, определяемый  тенденцией развития ; -- случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или  графической зависимости f (t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f (t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f (t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.