Современное состояние вопроса, исходные данные и требования

Имеется два варианта метода интегральных уравнений, различающиеся видом вторичных источников. Идея метода и его первый вариант предложены Г.А. Гринбергом. Дальнейшее развитие метода и доведение его до практических расчетов осуществлено О.В. Тозони, В.М. Алехиным, Э.В. Колесниковым и др. Разработка второго варианта метода выполнена О.В. Тозони, К.С. Демирчяном, В.Л. Чечуриным и др.[6]

Метод зеркальных изображений

Расчет поля заряженных проводников, расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду, сводится при помощи метода зеркальных изображений к расчету поля нескольких проводников при отсутствии проводящей среды.

Рассмотрим поле прямолинейного провода, расположенного на расстоянии h от плоской поверхности проводящей среды (рис. 1.3.2). Это соответствует, например, проводу, подвешенному на высоте h над поверхностью земли. Все линии напряженности поля, начинающиеся на положительно заряженном проводе, заканчиваются у поверхности проводящей среды, где появляется индуцированный отрицательный заряд. Поле определяется как зарядом провода, так и всем зарядом, распределенным по поверхности проводящей среды. Распределение индуцированного заряда из условий задачи не известно и также подлежит определению.

На первый взгляд задача расчета поля в такой системе кажется довольно сложной. Однако она решается весьма просто при помощи метода зеркальных изображений. Устраним мысленно проводящую среду и заменим ее проводом, являющимся зеркальным изображением реального провода в поверхности раздела и имеющим заряд той же величины, что и заряд реального провода, но противоположного знака (рис. 1.3.2). Действительный провод и его зеркальное изображение составляют двухпроводную линию, поле которой изображено на рис. 1.3.3.

Из рис. 1.3.3 видно, что плоскость, расположенная посередине между действительным проводом и его зеркальным изображением, является поверхностью равного потенциала. В действительных условиях поверхность проводящей среды как раз совпадает с этой плоскостью и также является поверхностью равного потенциала. Отсюда следует, что если заменить проводящую среду зеркальным изображением провода с изменением знака заряда, то в области над проводящей средой поле останется таким же, как и в действительных условиях. В этом и заключается метод зеркальных изображений.

Этот метод применим и при любом числе проводов, протянутых параллельно друг другу и параллельно плоской поверхности, ограничивающей проводящую среду (рис. 1.3.4). Каждый провод должен быть зеркально отражен в поверхности проводящей среды с изменением знака заряда, после чего проводящая среда может быть мысленно удалена и рассмотрено поле совокупности действительных проводов и их зеркальных изображений. В таком поле плоскость, расположенная на месте поверхности проводящей среды, является поверхностью равного потенциала, так как заряды противоположных знаков размещены симметрично относительно этой плоскости. Следовательно, найденное таким путем поле и будет действительным полем в области над поверхностью проводящей среды.

Метод зеркальных изображений также может быть использован, когда проводящая среда ограничена двумя плоскостями, сходящимися под углом α = π / n, где п — целое число, причем угол а отсчитывается в диэлектрике, где рассматривается поле. Разделив все пространство на одинаковые части плоскостями, пересекающимися под углом α (см. рис. 1.3.5), что возможно, только если п есть целое число, и последовательно отражая провод в этих плоскостях, получим систему из действительного провода и серии его зеркальных изображений. В поле такой системы плоскости А - А' и В - В' являются плоскостями равного потенциала, так как заряды противоположных знаков размещены симметрично по отношению к ним. Поэтому поле этой системы совпадает с действительным полем в той части пространства, где последнее существует.

Метод зеркальных изображений в полной мере применим и для заряженных тел любой формы, расположенных в диэлектрике около плоскостей, ограничивающих проводящую среду. Естественно, поле при этом уже не будет плоскопараллельным.

Метод зеркальных изображений можно применить также в условиях, когда плоская поверхность разделяет две среды с различными диэлектрическими проницаемостями.[5]

Расчет полей по методу сеток

Метод сеток представляет собой числовой метод интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных путем сведения их к уравнениям в конечных разностях.

На рис. 1.3.6, а изображен участок двухмерного поля. На нем показаны оси х и у декартовой системы и квадратная сетка со стороной b. Точки (узлы) сетки обозначены цифрами 0, 1, 2, 3, 4. Примем φ0 — потенциал точки 0, φ1 — потенциал точки 1 и т. д. Выведем приближенное соотношение между потенциалами φ0,..., φ4, вытекающее из уравнения Пуассона. Среднее значение первой производной дφ/дx на участке 1 - 0 приближенно равно

;

на участке 0—2 равно

Вторая производная д2φ/дx2 в точке 0 приближенно равна разности средних значений первых производных дφ/дx на участках 1-0 и 0-2, отнесенной к расстоянию b между серединами отрезков 1-0 и 0-2:

.

Аналогично 

.

Запишем уравнение Пуассона для двухмерного электростатического поля:

,

где ρсвоб - свободный заряд в точке 0.

Подставим в уравнение Пуассона приближенные выражения для д2φ/дx2 и д2φ/ду2. Получим

.               (1.3.1)

Если поле описывается уравнением Лапласа, то ρсвоб = 0 и

.     (1.3.2)

Уравнения (1.3.1) и (1.3.2) определяют связь между потенциалами квадратной сетки и являются основными в методе сеток. Чем меньше шаг сетки b, тем меньше погрешность от замены уравнений Пуассона или Лапласа соответственно уравнениями (1.3.1) или (1.3.2). При расчете по методу сеток применяют не только квадратные, но и иные сетки, например полярные. Для них имеются формулы в конечных разностях, в общем случае отличные от формул (1.3.1) и (1.3.2).

Допустим, что двухмерное поле, подчиняющееся уравнению Лапласа, ограничено некоторыми поверхностями и известны значения производной от потенциала по нормали к каждой граничной поверхности во всех точках (задача Неймана). Возможны и комбинированные типы задач, когда для одной части граничных поверхностей известны значения потенциалов, а для другой - значения нормальной производной от потенциала. Требуется найти значения потенциалов прямоугольной сетки этого поля. Последовательность расчета для задачи Дирихле проиллюстрируем на примере расчета поля, образованного двумя параллельными прямыми углами рис. 1.3.6, б. В месте поворота расстояние между параллельными сторонами угла изменяется. Потенциал верхней границы положим равным 75 единицам, нижней - нулю. Будем полагать, что объемные заряды отсутствуют.

1. Тонкими сплошными линиями нанесем квадратную сетку. Обозначим узлы буквами, а, б, в.

2.  Произвольно выберем значения потенциалов узлов а, б, в... Объем дальнейшей вычислительной работы в значительной мере зависит от того, насколько близко к действительному выбрано первоначальное распределение потенциала. Поэтому следует стремиться к возможно более правдоподобному первоначальному распределению потенциала.

Для этой цели нанесем на рис. 1.3.6, б приближенную картину силовых и эквипотенциальных линий и, руководствуясь ею, запишем начальные значения потенциалов узлов (цифры слева и вверху у каждого узла).

3.  Для каждого узла находим остаток в формуле (1.3.2). Так, для точки б остаток 53 + 50 + 75 + 25-4 • 50 = 3. Записываем значение остатка в правом верхнем углу у каждого узла.

4. Поскольку  в каждом узле остаток должен  быть равен нулю, то дальнейший и наиболее трудоемкий этап расчета состоит в таком изменении потенциалов узлов, чтобы остатки во всех узлах не превышали некоторого заданного значения (скажем, 1 или 2). Поэтому в одной из точек с наибольшим значением остатка изменяем потенциал приблизительно на 1/4 от остатка (в рассматриваемом случае в точке б уменьшаем потенциал на единицу и затем пересчитываем остатки во всех остальных узлах). Вновь полученные остатки записываем в левом нижнем углу у каждого узла (на рис. 1.3.6. б они выписаны не для всех узлов). Такая операция выполняется несколько раз до тех пор, пока все остатки не станут равны или меньше заданного значения. Процесс является сходящимся. При расчетах используют вычислительные машины.

Метод применим для магнитных и электрических полей, линейных и нелинейных сред, неизменных и изменяющихся во времени полей [6].

Метод конечных элементов (МКЭ)

Это метод расчета полей в некоторой области G, основанный на представлении данной области в виде совокупности подобластей - конечных элементов (например, для двухмерных полей подобласти это треугольники, для трехмерных - тетраэды). В аппроксимации искомой функции, например потенциала φ, в каждом из этих элементов в функции координат, в составлении выражения для энергии поля всей области через потенциалы φk фиксированных точек (узлов) этих элементов и в получении системы алгебраических уравнений относительно φ путем минимизации выражения для энергии поля.

В качестве примера на рис. 1.3.7, а изображена двухмерная область G и ее разбиение на треугольники. Подобласти пронумерованы римскими цифрами, всего областей М (для рис. 1.3.7, a M = 9). Текущий номер области в дальнейшем будет обозначаться е. Узлы элементов обозначены арабскими цифрами. Полное число узлов во всей области К (для рис. 1.3.7, а К = 9). На рис. 1.3.7, б изображен один из конечных элементов области G [6]. Метод конечных элементов применяют при численных расчетах полей в неоднородных, анизоторпных и нелинейных средах, когда получение аналитических решений затруднительно [5].

 

 

 

Исследования ЭМП в реальных условиях

          Наряду с расчетом электрических, магнитных и электромагнитных полей имеет большое практическое значение их непосредственное экспериментальное исследование в реальных устройствах.

Для экспериментального исследования электрического поля, например электрического поля в воздухе около изолятора высокого напряжения, можно воспользоваться тем обстоятельством, что удлиненное тело из металла или из диэлектрика с ε > ε0, внесенное во внешнее электрическое поле, стремится расположиться вдоль линий напряженности этого поля. Прикрепим маленькую стрелку из тонкой и узкой алюминиевой ленты или из соломинки в ее середине к волосу, натянутому между концами небольшой стеклянной вилки. Вилку прикрепим к концу длинного стержня из изолирующего материала, служащего для ввода стрелки в исследуемое поле. Стрелка должна свободно вращаться на волосе. При внесении стрелки в исследуемое поле она располагается вдоль линий напряженности поля.

Поместим изолятор и стрелку между источником света и белым листом бумаги и устроим освещение так, чтобы на листе бумаги получалась резкая тень от изолятора и от стрелки. При этом получаем возможность обрисовать на листе бумаги тень изолятора и тень стрелки. Перемещая стрелку в различные положения в поле изолятора, каждый раз будем проводить черточку на бумаге вдоль ее тени. При большом числе черточек на бумаге отчетливо намечается направление линий напряженности исследуемого поля. Эти линии надлежит проводить так, чтобы черточки были к ним касательными. Имея картину линий напряженности поля, легко провести перпендикулярные им линии равного потенциала. Если подобрать расстояния между линиями напряженности поля и между линиями равного потенциала так, чтобы удовлетворились требования к форме ячеек сетки поля, сформулированные в графическом методе построения картины поля, то картина поля даст возможность судить и о значении напряженности поля в разных точках.

Значение напряженности поля можно измерить и непосредственно, пользуясь маленькой безэлектродной неоновой лампой. Располагая лампу в некоторой точке поля в направлении линий напряженности, увеличиваем напряжение на изоляторе до тех пор, пока лампа не вспыхнет. Лампа вспыхивает при определенной напряженности поля, которая может быть найдена предварительно путем помещения лампы в нарастающее известное поле. Производя опыт в разных точках исследуемого поля, определяем напряжения на изоляторе, при которых вспыхивает лампа в этих точках поля. Результаты измерений дают возможность путем пропорционального пересчета получить напряженность в разных точках поля при одном напряжении на изоляторе.

Для исследования постоянного магнитного поля или магнитного поля, изменяющегося с небольшой частотой, но не меняющего своей конфигурации, можно воспользоваться аналогичным методом, помещая в различные точки поля, свободно вращающуюся стрелку из ферромагнитного материала и наблюдая положения, которые занимает стрелка в этих точках поля. Для исследования магнитного поля можно использовать также явление электромагнитной индукции. Помещая в разные точки поля небольшой виток или катушку и измеряя с помощью баллистического гальванометра электрический заряд, переносимый сквозь поперечное сечение провода катушки при убывании потока до нуля, или измеряя действующее значение или амплитуду ЭДС, индуцируемой в катушке при периодически изменяющемся потоке, можно вычислить значение потока, сцепляющегося с витками катушки. Отыскивая положение катушки около данной точки поля, при котором поток имеет наибольшее значение, получаем направление вектора В, перпендикулярное плоскости катушки. По значению потока при этом находим значение магнитной индукции в середине катушки. Катушка должна быть столь малых размеров, чтобы в ее пределах поле мало отличалось от однородного.

Исследование электрического поля постоянного тока в проводящей среде производится весьма просто. Если среда твердая, можно исследовать поле только на ее поверхности. Если же среда жидкая или рыхлая, то поле можно исследовать и внутри ее. С этой целью вводят в среду зонд, представляющий собой тонкий металлический стержень, изолированный по всей длине, кроме небольшого отрезка на конце.

Зонд принимает потенциал той точки среды, в которой находится его открытый конец. Разность потенциала зонда и потенциала какой-либо другой неизменной точки среды может быть измерена вольтметром или при малых разностях потенциалов — высокочувствительным гальванометром. Сопротивление вольтметра или гальванометра должно быть достаточно велико, чтобы ток через них, выходящий из конца зонда в среду, не вызывал заметного изменения потенциала в месте расположения конца зонда. Наиболее точные результаты могут быть получены при использовании для измерения разности потенциалов компенсационного метода. Помещая конец зонда в различные точки исследуемого поля, можно найти в них потенциалы, что дает возможность построить поверхности равного потенциала или линии равного потенциала на поверхности среды или в каком-нибудь сечении среды. Линии напряженности электрического поля, а в однородной в отношении проводимости среде и линии тока проводят перпендикулярно поверхностям равного потенциала. На поверхности среды линии тока лежат в этой поверхности, и, следовательно, они перпендикулярны к линиям равного потенциала на этой поверхности.