Способы представления и преобразования сообщений, сигналов и помех

Способы представления  и преобразования сообщений, сигналов  и помех

План: 

 

• Способы представления и преобразования сообщений, сигналов и помех

 

• Векторное представление сообщений и сигналов

Математические модели  сообщения

 

• При решении задач анализа и синтеза систем передачи информации широко используется математические модели сообщений. Мат. Моделью дискретных сообщений служит дискретная случайная последовательность { xj } –  случайный процесс у которого область определения и область значений является дискретными множествами
• { xj } = a1, a2, … , an (1)

Для дискретного источника  без памяти используется математическая  модель на основе последовательности  Бернулли.

 

• Для этой последовательности случайные величины xj независимы и принимают значения из алфавита (1) с вероятностью:
• P(ar) = Pr, r = 1,…m
• Для дискретного источника с памятью, используется дискретная случайная последовательность с зависимыми элементами, задаётся в вероятностной системе:
• P(x(r1)j+1, x(r2)j+2, … x(rn)j+n) = P(x(r2)j+2/ x(r 1)j+1) … P(x(rn)j+1/x(rn-1)j+N-1, … , x(r1)j+1)
• Где  x(rk)j+k – элементы последовательности, j – начальный момент дискретного времени, P(x(rk)j+k/x(rk-1)j+k-1, … , x(r1)j+1) – вероятность появления на выходе источника сигнала ark dв момент времени tj+k при условии что предыдущими символами были последовательности ark-1, … , ar1. Верхний индекс означает номер символа в алфавите, а нижний индекс время.

Математической моделью  непрерывного сообщения является  непрерывный случайный процесс x(t). Для его описания используется n-мерная функция распределения  или плотность вероятности при n→∞ .

 

• Функция распределения:

Fn(x1, x2, … xn; t1, …  ,tn) – P{x(t1)≤x1, x(tn)≤xn}        (3)

В качестве стационарных  моделей сообщений и помех  часто используют Гаусовский  случайный процесс

 

• W(x)= 

Среди моментных функций  наибольшее применение получили:

 

• Математическое ожидание случайного процесса
• Дисперсия случайного процесса
• Корелляционная функция случайного процесса

mx(t)=M{x(t)}=                (5)

 

(5)

 

(5)

Дисперсия:

Dx(t) = M {x(t)-mx(t)2} =

 

(6)

 

Корреляционная функция:

Rx(t1,t2) = 

• Автокорреляционная функция

 

Автокорреляционная функция  случайного процесса показывает  степень статистической зависимости (похожести) двух сечений одного  и того же процесса.

взаимо корреляционная  функция:

 

• Для стационарных случайных процессов выполняются следующие равенства:
• mx(t) = mx = const
• Dx(t) = Dx = const
• Rx(t1,t2) = Rx(t1-t2) = Rx(τ)

“эргодический” случайный  процесс 

 

Dx(t) =  

 

Rx(τ)=

Пик-фактор К^п сообщения это отношение его максимальной мгновенной мощности к средней:

 

 

Динамический диапазон

Для телефонного речевого  сообщения:

 

• Fe=3100 Гц
• Fп дБ=13...17 дБ
• D = 35...45 дБ

Векторное представление  сообщений и сигналов

В современной теории  информации для описания анализа  и преобразования сообщений и  сигналов широко используется  геометрическое представление, при  котором сигнал рассматривается  как элементы некоторого пространства.

 

• Пусть имеется аналоговый сигнал f(t) заданный на интервале [a,b]:

Если временной интервал [a,b] разделить на одинаковые отрезки  и взять отсчеты этого сигнала, перевести в цифровую форму  и записать в виде ряда значений  М точек, f=(f1, f2, … , fn) , то f можно представить n-мерным вектором:

 

• с увеличением n степень приближается к функции f(t) повышается, если увеличивать  n  до бесконечно большого числа, то вся  информация содержащаяся в f(t) будет содержаться в векторе f.

Рассмотрим двумерный  вектор расположенный в двумерном  пространстве:

 

Пусть имеется два сигнала f(t) и g(t). Возьмём из этих сигналов  по два значения f1, f2 и g1, g2

Определим двумерный вектор f и g содержащий по 2 элемента из  выборок каждого сигнала

 

Определим абсолютное  значение векторов f и g которая также  называется нормой вектора:

Определим расстояния  между векторами  f и g:

 

Рассмотрим 3 вектора  f, g и h, векторы g и h одинаково удаленны  от вектора f.

 

Для выражения связи  между векторами используют скалярное  произведением между векторами f и g определяют:

Величина r называется коэффициентом  корреляции и выражает силу  связи между векторами f и g через  угол между ними.

 

Скалярное произведение между векторами можно выразить через их компоненты:

 

 

Скалярное произведение вектора f на само себя равна квадрату нормы:

 

Пара  взаимно перпендикулярных  векторов {        ,         }  
 
называется  ортогональным  базисом , если их скалярное произведение  равняется  0. <         ,         >=0.  
 
Кроме того, если ║υ1║=║υ2║=1,  то эта пара называется ортонормированным  базисом.  
 
 
Вектор можно выразить через векторы ортонормированного базиса и коэффициент С1 и С2. 
=C1 + С2

 

• Норма вектора   (f1,f2,…,fN) N –мерного пространства определяется как:

 

 

 

 

 

 

 

 

 норма  N-мерного пространства определяется по следующей  формуле:

 

 Расстояние между векторами  f  и g  в N-мерном пространстве определяется:

d(f,g) = 

 

Скалярное  произведение векторов

 

 

 

 Коэффициент корреляции

 

  В случае бесконечно мерного пространства, т.е.  пространства функции, норма  функции f (t) в интервале (а ≤ t ≤в), определяется соотношением.

 

 

но чем больше интервал [ а, в], тем больше значение нормы, поэтому удобнее пронормировать  норму функции

 

 

Расстояние между двумя функциями  f(t)  и  g(t)  определяется 

 

 

Скалярное произведение функций  f(t)  и  g(t) имеет вид:

 

Пусть  имеется бесконечное число  функций φм(t),k=0,1,2,.., если любые  две функции из этого семейства  функций  на интервале [а, в]  взаимно  перпендикулярны, т.е.  
<φм(t),φn(t)> =0, (m≠n), то семейство этих функций называется системой ортогональных функций, кроме того, если норма каждой их этих функций равна 1 
║φм(t)║=1, то это семейство функций называется  ортонормированной системой функций. С помощью ортонормированной системы функций, функцию f(t) можно выразить следующим  образом:

Если в качестве ортонормированной  системой функций использовать  функции  sinkΩt  и coskΩt, то любой  периодический   сигнал можно  представить в виде его разложения  в ряд Фурье. Существует 3 формы  рядов Фурье.

 

•  Классический sin – cos – не тригонометрический ряд Фурье

 

 

Ω= 2π/T

 

 

2.    Амплитудно-фазовый тригонометрический ряд Фурье:

 

 

 А⁰⁼а⁰

 

 

φ^к=arctg b^k/a^k

3.  Комплексный ряд Фурье.

 

 

С^к=(A^k/2) *e^jφk

 

 

   - комплексно сопряжены.

Существуют 3 вида спектра  сигнала.

 

• Амплитудный спектр

 

 

2. Фазовый спектр

 

 

3. Спектр мощности