Преобразование измерительных систем

Подпись

Дата

Лист

10

ПГУ200102–КР091.02ПЗ

 Разраб.

Арискина Е.В.

 

 Пров.

Мясникова М.Г.

 Реценз.

 

 Н. Контр.

 

 Утв.

 

Применение ДПФ             для фильтров

Лит.

Листов

46

ПГУ

каф. «ИИТ»

гр.09ПД-1

 

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Основное  определение: 

X(ω)=

Формула  обращения

ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что S=1. В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если X(ω)⇔x[n], то обратное преобразование задается формулой:

x[n]=dω

Данная  формула вытекает из соотношения: интеграл dt равен 0 при m≠0 и 1 иначе.

Свертка

Свертка двух последовательностей определяется  формулой: 

=·, =

ДПФ от свертки  двух последовательностей равняется  произведению из преобразований Фурье,  а ДПФ от произведения двух последовательностей  есть свертка их преобразований Фурье:

x[n]·y[n]=du·dv

X(ω)·Y(ω)=

(ω)=X(–ω)

Z-преобразование

Иногда  вместо преобразования Фурье используют Z–преобразование. Оно определяется формулой:

X(Z)=

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

11

ПГУ200102–КР091.02ПЗ

 

ПГУ 1901-КР031.11 ПЗ

В этой формуле ряд является формальным, если же он сходится, то определяет аналитическую функцию. Для Z–преобразования справедливы аналоги свойств, доказанных для преобразования Фурье. Это же относится и к передаточной функции фильтра. В случае фильтра с бесконечным временем отклика:

Y(Z) = X(z)

Формула удобна в том случае, когда переменная Z может принимать любые значения на комплексной плоскости. Еще раз обратим внимание на то, что в формуле предполагается, что ряд для X(z) имеет лишь конечное число ненулевых коэффициентов при положительных степенях. В этом случае мы можем в явной форме получить члены выходной последовательности.

Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени ≤ t.

Рассмотрим  сосредоточенную в одной точке  последовательность ∆: ∆[0]=1; ∆[t]=0, t ≠0. Пусть T=, а по определению [t]=[t-k].

Для произвольной последовательности справедливо разложение =x[k]. В силу линейности T=x[k]T, а в силу инвариантности T=. Окончательно, если = T, то:

y[n]=x[k]h[n-k]

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

12

ПГУ200102–КР091.02ПЗ

 

ПГУ 1901-КР031.11 ПЗ

Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки  этой последовательности и последовательности , называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.

Если  имеются две последовательно  соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности  операции свертки, результирующая функция  отклика получается как свертка  функций отклика отдельных систем, следовательно, она бесконечна и надо ввести дополнительные ограничения.

При параллельном соединении в качестве функции отклика  получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.

Линейные инвариантные системы 

Рассматриваются последовательности . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате  сдвига получается новая последовательность z[n]=x[n-a]. Дальнейшая работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью различных устройств.

Система T осуществляет это преобразование:  T=. Отметим, что  выходная последовательность  является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.

Определение. Система T называется инвариантной для любого a, если:

T=

Примеры:

• Точечные системы: T(x[n])=f(x[n]), где f произвольная функция, –инвариантная система.
• y[n]=x[n-k] для произвольного фиксированного M –инвариантная система
• y[n]=nx[n-k] не будет инвариантной.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

13

ПГУ200102–КР091.02ПЗ

 

ПГУ 1901-КР031.11 ПЗ

Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.

Рекуррентные системы

Предположим, что входная последовательность обладает свойством x[m]=0, m≤. Пусть:

y[n]=y[n-k] + [n-k], n>

y[m]=0, m≤

где M - натуральное, а N и L – любые целые числа. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и . Она будет линейной, если число одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если N>L≥0. Последовательность, заданная последними соотношениями называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой системы также можно построить функцию отклика.

Общее уравнение фильтрации

Пусть имеется  система с функцией отклика , на вход которой подается , а на выходе получается последовательность . Переходя к преобразованиям Фурье, получим:

Y(ω) = H(ω)X(ω)

Это уравнение является основным в теории фильтрации. Функция H(ω) называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой  1/T, то H(ω) будет периодической функцией с периодом 1/T. Если последовательность – вещественная, то (ω)=H(–ω). Отсюда следует, функция   является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале [0;1/2T]  и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.

Фильтры с конечным временем отклика

Предположим, что в последовательности лишь конечное число элементов отличны от нуля.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

14

ПГУ200102–КР091.02ПЗ

 

ПГУ 1901-КР031.11 ПЗ

В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае:

y[n]= h[k]x[n-k]

 Переходя  к преобразованиям Фурье и  учитывая, что x[n]⇔X(ω) ⇒           x[n-k] X(ω), получим:

Y(ω)=h[k]X(ω)

Другими словами, передаточная функция фильтра  имеет вид:

H(ω)=h[k]

Фильтры с бесконечным временем отклика

Фильтром  с бесконечным временем отклика  (IIR) называется фильтр, определенный с  помощью рекуррентного соотношения. Она может быть задана с помощью функции отклика . Последняя будет иметь бесконечное число ненулевых элементов, хотя и не может быть произвольной сходящейся последовательностью. Передаточную функцию находим, переходя к преобразованиям Фурье:

Y(ω) = X(ω)

  IIR фильтр является линейной инвариантной системой, а его функцию отклика можно найти формальным представлением H(ω) в виде ряда: U(1+V+++…), где U=, V= с последующим суммированием коэффициентов при одинаковых степенях .

Отыскание параметров фильтра

В левой  и правой частях в знаменателе находятся многочлены от переменной z. Найдем корни этих многочленов. Множество корней по построению инвариантно относительно замены z→1/z . Для устойчивости фильтра нужно, чтобы корни находились внутри единичного круга. Для отыскания нулей знаменателя в правой части получим уравнение:

= – , откуда

2–z–1/z= , где k=1,…M, где – корень степени M  из (–1).

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

15

ПГУ200102–КР091.02ПЗ

 

ПГУ 1901-КР031.11 ПЗ

Каждое из этих уравнений сводится к квадратному  уравнению. Найдем корни этих уравнений  и выберем те из них, которые по модулю меньше единицы. Составим произведение:

f(z)=(1–)·…·( 1–)

  Проблема  может возникнуть лишь в случае, когда среди корней окажется  корень равный по модулю 1. Такая  ситуация не возможна, так как  в противном случае 1+= 0для некоторого .

Полосовой фильтр

Рассмотри выражение:

, где 0<c<1/2

Очевидно, что эта функция достигает  своего максимума при ω=c. Это означает, что передаточная функция изображает полосовой фильтр. При замене в выражении 1++…+ ω→ω–c получим фильтр с комплексными коэффициентами. Формально - это решение задачи, однако использование комплексного фильтра для фильтрации вещественного сигнала не очень удобно. Поэтому используют выражение вида:

 

Для четного M оно снова достигает максимума при ω=c.

Полосовой фильтра как последовательное соединение фильтров высоких и низких частот

При последовательном соединении фильтров высоких и низких частот их передаточные функции перемножаются. В результате получаем передаточную функцию полосового фильтра. Это  наиболее простой способ получения  полосового фильтра, но при этом повышается  размерность.

Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот

Любой фильтр можно получить на основе фильтра низких частот с помощью универсальной процедуры.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

16

ПГУ200102–КР091.02ПЗ

 

ПГУ 1901-КР031.11 ПЗ

Пусть имеется  сигнал с преобразованием Фурье X(ω). Рассмотрим новую последовательность z[n]=x[n]. По определению Z(ω)= X(ω-θ). Если нам нужен полосовой фильтр, можем поступить следующим образом. Сдвиг осуществляется генератором на основе осциллятора, о котором будет сказано ниже. Обратный сдвиг осуществляется так же:

Непосредственное  применение указанного способа не удобно, поскольку приходится работать с комплексными числами, и в результате обратного сдвига получается, как правило, комплексный сигнал. Выход заключается в преобразовании z[n]=x[n]cos(nθ). В результате:

Z(ω)= (X(ω-θ)+X(ω+θ))/2

Если  исходный сигнал имеет ограниченный спектр и θ выбран так, что носители X(ω+θ) и X(ω-θ) не пресекаются, задача решается без применения комплексных чисел. Например, пусть спектр X(ω) находится в интервале 2kHz-4kHz, и требуется получить лишь часть сигнала в диапазоне 2,5kHz-3,5kHz. Выбираем θ=3kHz  и используем фильтр низких частот с полосой пропускания 0,5kHz. После обратного сдвига придется использовать еще один фильтр низких частот с полосой пропускания 3,5kHz.

 

 

3 Применение программы LabVIEW для реализации фильтров

Трудно себе представить, как можно  при проведении научных экспериментов  в лИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

17

ПГУ200102–КР091.02ПЗ

 Разраб.

Арискина Е.В.

 

 Пров.

Мясникова М.Г.

 Реценз.

 

 Н. Контр.

 

 Утв.

 

Применение программы  LabVIEW для реализации фильтров

Лит.

Листов

46

ПГУ

каф. «ИИТ»

гр.09ПД-1

аборатории или стендовых испытаниях на производстве обойтись без такой процедуры цифровой обработки сигналов как фильтрация.

Рассмотрим  подробнее – какие виды фильтров наиболее часто применяются на практике и их основные характеристики:

• фильтры Баттерворта характеризуются гладкостью частотной характеристики на всех частотах. Они имеют наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания и ноль в полосе заграждения;
• фильтры Чебышева имеют малую амплитуду ошибки в процессе пропускания, большую крутизну спада в переходной полосе (по сравнению с фильтром Баттерворта), плоскую характеристику в полосе заграждения, а также характеризуются наличием выброса перед переходной полосой;
• инверсные фильтры Чебышева имеют малую амплитуду ошибки в полосе заграждения и наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания. Следует также отметить, что, в отличие от обычных фильтров Чебышева, в инверсных фильтрах отсутствует выброс перед переходной полосой. Крутизна характеристики в переходной области такого фильтра значительно превышает крутизну фильтра Баттерворта (при одинаковых порядках);
• эллиптические фильтры характеризуются самой высокой крутизной в переходной полосе.