Мостовая измерительная схема

1.Мостовая измерительная схема. Принцип ее работы

Рисунок 1. Мостовая схема

   Одним из распространенных методов измерения  сопротивления является метод, в  котором используется мостовая схема.

   Мостовая  схема (рис. 1) состоит из реохорда (R), образцового сопротивления (R₀) известной величины и измеряемого сопротивления (R_Х). 

   Реохорд — это проволочное сопротивление, у которого имеется средний передвижной  контакт 3. Реохорд обычно выполняется  из высокоомной проволоки, намотанной на каркас, или просто представляет собой отрезок натянутой проволоки  из материала с высоким удельным сопротивлением. Предполагается, что  общее сопротивление реохорда (между  контактами 1 и 2) известно, а также  известны сопротивления между контактом 3 и контактами 1 (R₁) и 2 (R₂) при любом положении контакта 3.

   Измерение активного сопротивления обычно производится с использованием постоянного  напряжения U следующим образом. Подвижный контакт 3 устанавливают так, чтобы напряжение между точками 3 и С стало равным нулю. В этом случае справедливы следующие отношения между величинами падения напряжения на сопротивлениях R₁ , R₂, R₀ и R_X:   

    ,                                                 (1)

    .                                                (2)

   Поделим правые и левые части уравнений (1) и (2) друг на друга:

    .                                              (3)

   В силу закона Ома справедливы следующие  соотношения:  

   

,    ,    ,    ,  

где    I₁, I₂ — электрические токи в левой и правой частях моста (см. рис. 1).

   Подставив эти выражения в соотношение (3), получим

или

    .                                              (4)

   Соотношение (4) используется для определения  неизвестного сопротивления R_X. Точность измерения R_X определяется точностью, с которой известны значения R₀, R₁, R₂.

   Соотношение (4) остается справедливым и в том  случае, когда к точкам А и В  моста (см.рис. 1) приложено переменное напряжение. При этом предполагается, что величины емкостей и индуктивностей элементов схемы, показанной на рис. 1, пренебрежимо малы.  

   Измерение емкости конденсатора.

   Покажем теперь, что мостовая схема, к которой  подводится переменное напряжение (U_~), может быть использована для измерения электрической емкости. Для измерения неизвестной емкости С_X сопротивление  в схеме нужно заменить на  (образцовую емкость), a R_X  – на С_X.

   Синусоидальное  напряжение на конденсаторе С:  

,

где    

,  f — частота переменного напряжения. Заряд, емкость и напряжение на конденсаторе связаны следующим соотношениемq=CU. 

Следовательно,

.

   Рассмотрим  мостовую схему, показанную на рисунке 2. 

   

Рисунок 2. Мостовая схема 

   Если  напряжение между точками 3 и С равно нулю, то для напряжений на сопротивлениях R₁, R₂ и емкостях С₀ и С_X справедливы соотношения:

               

Следовательно,               .                                                           (5)

   Далее

,

аналогично,

,

где    ,    – напряжения на   и  , а    и   – амплитуды напряжений на   и  .

   Отсюда  получается   

или                     .                             (6)

   Подставляя (6) в (5), получаем

                                                          или                            .                                                        (7) 

   Измерение индуктивности проволочной  катушки.

   Рассмотрим  индуктивность, к которой приложено  переменное напряжение  .

   Ток I и напряжение U на индуктивности связаны соотношением:

.                                                  (8)

   Если  мы заменим в схеме на рис. 2  С₀ на L₀, а С_х на L_х, то, используя соотношение (8) и рассуждения, аналогичные тем, которые мы провели выше, получим

    .                                                  (9)

   Таким образом, мостовая схема, к которой  приложено переменное напряжение, может  быть использована для определения электрической ёмкости и индуктивности.                                                                  

   Обсудим особенности измерения индуктивности  мостовым методом и вопрос о точности таких измерений.

   Катушка индуктивности представляет собой  в простейшем случае тонкую медную проволоку, плотно намотанную в один слой на цилиндрический каркас из непроводящего материала.

   При подаче на индуктивность L переменного синусоидального напряжения U сдвиг фазы между напряжением и током составляет 90° (рис. 3). Амплитуда напряжения на индуктивности и тока через нее связаны между собой соотношением

    .                                             (10)  

   Коэффициент, связывающий между собой ток  и напряжение в (10), определяет эффективное  сопротивление индуктивности в  цепи переменного тока

   

.

   Очевидно, что это сопротивление растет с повышением частоты ω.  

   Реальная  проволочная катушка индуктивности  обладает некоторым активным сопротивлением. Поэтому эквивалентная схема  катушки индуктивности представляет собой последовательно включенные индуктивность L и активное сопротивление R (рис. 3а).

Рисунок 3.а)мостовой метод                                               b) мостовой метод

   Напряжение  на индуктивности опережает по фазе на 90° напряжение на сопротивлении, что отражено на векторной диаграмме  напряжений (рис. 3b). Результирующее напряжение   определяется как результат векторного сложения   и  .

   Амплитуды напряжения   и тока  , сдвиг фазы φ связаны между собой соотношениями

   ,          .                    (11)

   При получении соотношения (9) для   мы пренебрегли влиянием сопротивления R. Выясним условия, при которых влияние R мало, и оценим точность определения   с помощью формулы (9) при этих условиях. Воспользуемся соотношением (11), представив его в следующем виде:

.          (12)

   Для того чтобы влияние R на результаты измерения было мало, должно быть выполнено соотношение

            .                            (13)

   Рассмотрим  катушку индуктивности из медной проволоки (рис. 3). Длина катушки 1, диаметр катушки D. Обозначим диаметр проволоки через d, массу проволоки m, длину проволоки A, ее сопротивление R. Можно показать, что индуктивность такой катушки при условии l>>D определяется следующим выражением

    ,                                             (14)

где     10^-7 Гн/м – магнитная постоянная;

• =1,6×10^-8 Ом×м – удельное сопротивление меди;

       =8,9 г/см³ – удельный вес меди.

   Из  формулы (14) видно, что отношение     пропорционально отношению   . Таким образом, для катушек индуктивности, изготовленных из проволоки одинакового диаметра, отношение    будет оставаться постоянным, т.к. масса проволоки пропорциональна длине l катушки.

   Возьмем катушку из медной проволоки с  конкретными параметрами:

m=50 г,     l=6 см,       D=2 см,     d=0,3 мм.  

   Тогда число витков       =200.

   Длина проволоки   м.

   Сопротивление      Ом.

   Индуктивность      Гн.

   Индуктивное сопротивление   при частоте

   f=100 Гц                    Ом,

   f=10 кГц                   R_L=107 Ом.

   Таким образом, при частоте f=10 кГц соотношение (13) выполняется, а именно,

    .                                       (15)

   Отметим, что при изменении диаметра проволоки d отношение  , полученное из формулы (14), будет меняться, но по порядку величины будет оставаться тем же для реально используемых катушек индуктивности. Поэтому соотношение (15) является справедливым для реальных катушек.

   В мостовой схеме (рис. 2) сравниваются напряжения на индуктивностях L₀ и L_X. При условии (15)  R<<R_L, а при частоте  f=10 кГц расчет результирующего напряжения по формуле (12) дает значение

   

,

т.е. отличие  U_M от  U_L составляет  ~0,04%.

   Следовательно, погрешность измерения L_X, вносимая активным сопротивлением катушки, при частоте f=10 кГц, составляет ~0,04%. На самом деле реальная погрешность будет еще меньше, поскольку образцовая катушка также обладает некоторым активным сопротивлением (см. (9)).

   1. При использовании моста переменного  тока увеличение частоты задающего  генератора уменьшает погрешность  измерения индуктивности.

   2. Если образцовая и измеряемая  катушки имеют одинаковую форму  (сравнимые отношения ) и намотаны одинаковым проводом, то погрешность определения L_X за cчет активного сопротивления провода будет существенно меньше полученной из формулы (12).

   3. Если образцовая и измеряемые  катушки имеют разную форму,  намотаны проводом разного сечения,  сделаны из разного материала,  то в этом случае ни при  каком положении подвижного контакта 3 реохорда (рис. 2) не удастся добиться  нулевого показания милливольтметра.  Это связано с разностью фаз  напряжений в точках 3 и С. Отношение  минимального напряжения милливольтметра  к напряжению на индуктивности L₀ (или L_X) может служить мерой погрешности измерения L_X.