Марковские процессы. Их математическое описание и область их применения

 

                   B1

     Здесь MU1 =  ----  -  интенсивность решения задач первым процессором;

                  teta

           B2

     MU2 = ---- - интенсивность решения задач вторым процессором.

           teta

 

     По графу   запишем   систему   линейных    дифференциальных уравнений А.Н.Колмогорова.

 

     dP00(t)

    --------- = LA*P00(t) + MU1*P10(t) + MU2*P01(t)

       dt

     dP10(t)

    --------- = LA*P00(t) - (MU1 + LA)*P10(t) + MU2*P11(t)

       dt

     dP01(t)

    --------- = - (LA + MU2)*P01(t) + MU1*P11(t)

       dt

     dP11(t)

    --------- = LA*P10(t) + LA*P01(t) - (MU1 + MU2)*P11(t)

       dt

     P00(t) + P10(t) + P01(t) + P11(t) = 1

 

 

     Пусть начальные условия заданы вектором вероятностей:

 

     P00(0) = 1, P10(0) = P01(0) = P11(0) = 0.

 

     Решение этой   системы   при  заданных  начальных условиях позволяет определить вероятности состояний как функции  времени.

Последние, в   свою   очередь,  позволяют  определить  требуемые характеристики вычислительной системы.

     Поскольку  марковский     процесс,     описывающий    работу вычислительной системы,   является   эргодическим,    существует стационарный режим,  при котором вероятности состояний стремятся к постоянным величинам.

     При этом  система  дифференциальных  уравнений  Колмогорова вырождается в  систему линейных уравнений:

 

-LA*P00            + MU1*P10  +   MU2*P01                   = 0

LA*P00 - (MU1 + LA)*P10                      + MU2*P11 = 0

                          -(LA + MU2)*P01         + MU1*P11 = 0

                      LA*P10 + LA*P01 - (MU1 + MU2)*Р11 = 0

        P00                + P10        + P01        + P11 = 1

 

 

 

     Выражения  для  вероятностей  в установившемся режиме имеют вид:

                  MU1*MU2*(2*LA + MU1 + MU2)

            P00 = -----------------------------  * Р11;

                    LA**2 * (LA + MU2)

 

                              MU1

                   P01 = -------------- * Р11;

                          LA + MU2

 

                     MU2*(LA + MU1 + MU2)

              P10 = ------------------------- Р11;

                      LA*(LA + MU2)

 

                            LA**2

P11 = ----------------------------------------------------------

                 MU1*MU2

      LA**2 * ----------- * (2*LA+MU1+MU2)+LA*(MU1+MU2)

                LA + MU2

 

     Вероятность  отказа совпадает с вероятностью  состояния,  в котором оба процессора заняты, т. е. Ротк = Р11.

     Коэффициенты  загрузки процессоров KSIi (i = 1,2) представляют собой вероятности пребывания соответствующих процессоров в занятом состоянии:

                      KSI1 = Р10 + Р11;

                      KSI2 = Р01 + Р11.

 

     Примерами  потоков с  ограниченным  последействием  являются потоки Эрланга.  Они  образуются путем закономерного просеивания простейшего потока. Под закономерным просеиванием будем понимать такую процедуру,  в  результате  которой безусловно  исключается некоторая последовательность событий в исходном потоке.

     Если из  исходного  простейшего  потока  исключить  (К - 1) событие, а каждое К-е сохранить,  то получим поток Эрланга  К-го порядка.

 

            +-+            +-+                  +-+

           -|+|--+---+--+--|+|------+--+----+---|+|-+----->t

            +-+            +-+                  +-+

                 <- K-1->   <- Ti -><- K-1 ->

                            <------- Tk* ------->

 

     Случайная  величина  Тк* интервала между соседними событиями потока Эрланга К-го порядка  представляет  сумму  К  независимых случайных величин,     подчиненных     показательному  закону распределения

             k

     Tk* = SUMMA Ti. Плотность распределения имеет вид:

           i = 1

                              k-1

                   LA(LA*TAUk)        -LA*TAUk

     fk(TAUk) = -------------------- e

                  (K -1)!

 

     Обычно случайную величину  Tk*  нормируют коэффициентом К, т. е.

           Tk*

     Tkн = -----

             К

     Для нормированного потока Эрланга К-го порядка

 

                  1                             1

     M(Tkн) = --------          D(Tkн) = ----------------

               LA                            (LA*K)**2

 

     Таким образом,  при  неограниченном  увеличении  порядка  К нормированный поток 

 

 

Эрланга приближается к регулярному  потоку с постоянными интервалами, равными                                                

   1

-------- .

  LA

 

     Нормированный поток Эрланга в зависимости от  порядка К позволяет получить   любую  степень  последействия,  от  полного отсутствия (К  =  1)  до  жесткой  статистической  связи  (К = бесконечности). Благодаря   этому   реальный   поток  событий  с последействием можно  в   некоторых   случаях   аппроксимировать нормированным потоком Эрланга соответствующего порядка,  имеющим примерно те же математическое ожидания и дисперсию,  что находит широкое применение при моделировании произвольных потоков.

Область применения Марковских процессов.

 

Марковские процессы составляют весьма важный класс случайных процессов, давая возможность описывать  многочисленные явления, встречающиеся  в науке и технике. Привлекательность  марковских процессов связанна с  возможностью получить полное статическое  описание на основе ПВ не выше второго порядка.

Марковские процессы используются в экономике, физике, химии и биологии. Далее идут примеры:

Процессы гибели и размножения, вложенная цепь Маркова для которых  является случайным блужданием. Оператор обобщенного дифференцирования  Гельфонда-Леонтьева. Свертка с помощью производящих функций первой и второй систем уравнений для переходных вероятностей. Асимптотическое поведение средних для процессов чистого размножения пуассоновского, степенного и линейного типов. Процессы квадратичного и полиномиального типов.

Ветвящийся процесс и его  уравнения. Вывод свойства ветвления  для переходных вероятностей. Вывод  нелинейного дифференциального  уравнения Колмогорова. Интерпретация  ветвящегося процесса через частицы. Приложения в физике. Цепная ядерная  реакция размножения нейтронов T ® kT. Докритические, критические, надкритические процессы и вероятностный смысл параметра критичности. Вычисление вероятности вырождения ветвящегося процесса, исходя из стационарного первого уравнения.

Структура множества марковских процессов  при дискретном фазовом пространстве Nⁿ. Марковские процессы с взаимодействием. Второе уравнение для многомерной производящей функции переходных вероятностей. Конструктивное описание как процессов с взаимодействием частиц. Схема взаимодействий. Иммиграция частиц, финальные частицы. Ветвящиеся процессы с взаимодействием. Первое и второе уравнения для экспоненциальной производящей функции и производящей функции переходных вероятностей (уравнения в частных производных). Ветвящиеся процессы. Свойство ветвления и нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приложения в формальной химической кинетике. Виды кинетических уравнений. Детерминированная и вероятностная  модели мономолекулярной реакции T₁ ® T₂. Явное решение уравнений Колмогорова. Предельная теорема при большом начальном числе частиц. Бимолекулярная реакция T₁ + T₂ ® T₃ и закон действующих масс. Бимолекулярная реакция 2T ® T. Приложения в экологии. Детерминированная и вероятностная модели системы "хищник-жертва". Применение статистического моделирования. Стохастическая модель эпидемии. Пороговая предельная теорема для финальных вероятностей. Приложения в технике. Вычисление стационарного распределения для системы массового обслуживания 0 ® T, T ® 0.

Сведения из истории развития теории случайных процессов. Макроскопический и микроскопический, детерминистический и стохастический, непрерывный и  дискретный подходы при построении математических моделей сложных  систем. Перечисление основных схем взаимодействий, задача классификации схем. Проблема вывода третьего (нелинейного) уравнения  для специальных классов марковских процессов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

• Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием. Успехи математических наук, 2002, т. 57, вып. 2, с. 23-84. kalin2u.ps
• КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "МОДЕЛИРОВАНИЕ"