Контрольная работа по "Электротехнике"

Задача 1.

Дано електричне коло, в якому відбувається комутація (Рис.1). З вихідними даними: E=50 В, f=200 Гц, ψ=120 град, L=1 мГн, C=100 мкФ, R₁=3 Ом, R₂=7 Ом, R₃=10 Ом, R₄=10 Ом. Необхідно визначити закон зміни в часі струму i₂(t).

Рис.1. Вихідна схема

Класичний метод

1. Знаходимо незалежні початкові умови:

Знайдемо еквівалентний  опір :

 

Так як опори  та однакові.

 

 

2. Перехідний струм знаходимо у вигляді суми примушеного  та вільного струмів:

 

Знайдемо примушене значення струму (при ):

 

Так як при постійному струмі конденсатор це розрив, струм дорівнює нулю. Отже:

 

3. Визначаємо вільну складову струму, для цього складаємо характеристичне рівняння з використанням формули для вхідного опору (Рис.2):

Рис.2. Схема для вхідного опору

Спростимо рівняння:

Звідки квадратне рівняння матиме вигляд:

= 0

 

 

Знайдемо корені даного рівняння:

 

 

 

Звідки корені будуть дорівнювати:

;

.

 

 

Так як корені від’ємні дійсні різні, то вільну складову можна записати у вигляді:

 

Із врахуванням вільної  складової будемо мати:

 

4. Потрібно визначити постійні інтегрування та із системи рівнянь, для отримання якої знайдемо значення та в момент часу t=0.

Знайдемо похідну струму:

 

Тоді система рівнянь  буде мати вигляд:

 

Для розв’язання даної системи і знаходження постійних інтегрування необхідно визначити залежні початкові умови та .

5. Визначаємо залежні початкові умови з системи рівнянь кола за законами Кірхгофа після комутації для :

 

Знайдемо значення струму

 

Знаходимо значення струму :

 

Для знаходження  візьмемо похідну від (1) рівняння системи:

 

Напруга на котушці визначається за формулою:

 

 

Складемо рівняння за другим законом Кірхгофа:

 

 

 

Для знаходження  продиференціюємо (3) рівняння системи:

 

Напруга на конденсаторі дорівнює:

 

 

Знайдемо значення :

 

Підставимо отримані значення і та знайдемо :

 

Розв’язуємо систему рівнянь для знаходження сталих інтегрування:

 

Сталі інтегрування дорівнюють:

6. Виконавши всі обчислення перехідний струм має вигляд:

 

 

 

 

 

Операторний метод

1. Знаходимо незалежні початкові умови:

 

 

 

 

2. Складаємо еквівалентну операторну схему для врахування всіх внутрішніх джерел е.р.с. (Рис.3), опори, струми та е.р.с. якої записані в операторній формі: , , , , , :

Рис.3. Еквівалентна операторна схема

 

3. Маючи операторну схему, знайдемо невідому величину методом двох вузлів. Обчислення, остаточне значення перехідної величини та графіки приведені у файлі розрахунку перехідного процесу із використанням програми MathCAD.

Знайдемо зображення між  вузлової напруги:

 

 

 

 

 

 

 

4. Знайдемо зображення струму за другим законом Кірхгофа:

 

 

 

 

 

5. Знайдемо миттєве значення струму, використавши зворотне перетворення Лапласа:

Побудуємо графік перехідного  струму (Рис.4).

Для визначення часу перехідного  процесу візьмемо корені характеристичного  рівняння з використанням формули  для вхідного опору з попереднього класичного методу.

 

 

 

Для визначення постійної  часу використовуємо min значення р:

 

 

Визначаємо тривалість перехідного  процесу T:

 

 

Визначаємо границі для  побудови графіка та крок:

 

 

 

Рис.4. Графік перехідного струму

 

 

Задача 2.

В умові задачі 1 необхідно  замінити е.р.с. постійного струму на е.р.с. синусоїдального струму . Визначити закон зміни в часі перехідної напруги і побудувати графік перехідного процесу з використанням програми MathCAD. Параметри схеми: f=200 Гц, ψ=120 град, L=1 мГн, C=100 мкФ, R₁=3 Ом, R₂=7 Ом, R₃=10 Ом, R₄=10 Ом, E=50 В.

Для спрощення знаходження  незалежних початкових умов,  а саме струму та напруги , їх примушені складові знайдемо символічним методом, а вільні шукатимемо як різницю їх значень до комутації та у момент часу , тобто: ;

. Далі складаємо  еквівалентну операторну схему  для вільних складових перехідних величин (Рис.5), в якій зображення зовнішніх е.р.с. не враховуються, тому що вони впливають лише на примушені значення.

Рис.5. Еквівалентна операторна схема

Для даної схеми  краще використати метод двох вузлів та знайти між вузлову напругу  , а потім знаходимо вільну та примушену складові струму. Розрахунок та побудова графіка виконувались у програмному обчислювальному комплексі MathCAD. Індекси: d – докомутаційна складова, v – вільна складова, p – примушена складова.

Комплекс е.р.с.:

 

1. Розрахунок докомутаційного режиму методом двох вузлів.

 

За другим законом Кірхгофа складаємо рівняння та виражаємо струми. Запишемо комплекси струму та їх миттєві значення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді значення напруги  на конденсаторі буде дорівнювати:

 

 

 

 

 

2. Розрахунок примушених складових методом двох вузлів.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напруга на конденсаторі та її миттєве значення:

 

 

 

 

 

3. Розрахуємо вільні складові, та знайдемо початкові значення для них.

 

 

 

Міжвузлова напруга, використовуючи оператор Лапласа, буде мати вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зображення вільної складової  струму знаходимо за другим законом  Кірхгофа:

 

 

 

 

 

Отже перехідний струм  буде мати вигляд:

 

 

4. Побудуємо графік перехідного струму (Рис.6).

Для визначення часу перехідного  процесу візьмемо корені характеристичного  рівняння з використанням формули  для вхідного опору з попереднього класичного методу.

 

 

 

Для визначення постійної  часу використовуємо min значення р:

 

 

Визначаємо тривалість перехідного  процесу T:

 

Визначаємо границі  для побудови графіка та крок:

Рис.6. Графік перехідного  струму

Побудуємо графік у більшому масштабі для наочності(Рис.7).

Рис.7. Графік перехідного  струму у більшому масштабі для наочності

 

Задача 3.

Задана електрична схема (Рис. 8), на вході якої діє напруга, що змінюється в часі за заданим законом (Рис. 9). Потрібно визначити закон зміни в часі струму , застосувавши інтеграл Дюамеля. Параметри кола:

Рис.8. Вихідна схема

Рис.9. Закон зміни напруги  в часі

1. Знайдемо аналітичний вираз для перехідної провідності. Для цього знайдемо характеристичне рівняння, прирівнявши вхідний опір перетвореної схеми (Рис. 10) до нуля, тим самим визначивши його корені.

 

Рис.10. Схема для вхідного опору

=0

 

 

Спрощуємо цей вираз та знаходимо корінь характеристичного  рівняння.

 

 

 

 

Так як на корінь дійсний, від’ємний, то можемо записати вираз для вільної складової перехідної величини .

 

 

де  – стала інтегрування, яку визначимо за допомогою початкових умов.

Склавши рівняння за другим законом Кірхгофа, примушене значення струму (при ):

 

Тоді перехідний струм  буде мати вигляд:

 

Для моменту часу () отримуємо:

 

Струм , що надходить у схему буде дорівнювати:

 

 

Виходячи з цього отримаємо:

 

Тоді стала інтегрування буде дорівнювати:

 

Знаючи, що перехідна провідність  чисельно дорівнює перехідному струму при дії е.р.с. в 1 В, запишемо вираз для та перехідної провідності:

 

 

2. Скориставшись отриманим виразом, виконаємо обчислення перехідного струму за допомогою обчислювального пакету MathCAD. Закон зміни напруги:

 

 

 

тоді знаходимо  та к:

 

 

Перехідна провідність має  вигляд:

 

Перехідні струми на інтервалах будуть дорівнювати:

 

 

Будуємо графік перехідного  струму (Рис.11), залежність якого виражена формулою:

 

 

 

Рис.11. Г графік перехідного струму