Дидактическое моделирование в обучении топологии

Дидактическое моделирование в обучении топологии.

А.Г. Алябьева.

 

«Роль топологии … в системе университетского образования … весьма значительна. Без привлечения топологических понятий вряд ли возможно построить курсы математического анализа, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, механики, функционального анализа, отвечающих современному состоянию этих математических дисциплин. Необходимо уже на младших курсах знакомить студентов с топологическими методами исследования.» [1]

Однако топология для студентов является одной из самых трудных и абстрактных дисциплин. Это связано, в первую очередь, со слабой геометрической подготовкой студентов. К тому же в учебных планах математических факультетов на изучение топологии отводится малое количество часов.

Одним из путей решения возникшей проблемы является внедрение в учебный процесс компьютерных обучающих систем по топологии. В работе рассматриваются особенности дидактического моделирования таких обучающих систем.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что центральный момент в создании любой обучающей системы – это именно дидактическое моделирование. Компьютерная реализация обучающей системы, выбор инструментальной оболочки – это второстепенный вопрос. Отсюда следует, что результатом дидактического моделирования должен быть специальный документ, составленный в форме, доступной и понятной неспециалисту в предметной области, и являющийся руководством к действию для программиста.

Давно утвердившимся языком при разработке компьютерных программ является язык блок-схем. Перечислим набор блоков, с помощью которых можно передать содержание обучающей системы: информационный блок, блок задания, блоки тестовых заданий, блок сравнения.

Информационный блок будем изображать в виде прямоугольника. Для обозначения блока тестовых заданий применяется эллипс. Мы будем использовать три вида тестовых заданий: закрытого типа, открытого типа (активная подсказка), на правильную последовательность.

Центральным является блок задания, которое предполагает вычисление какой-либо величины. Если все предыдущие блоки в блок-схеме располагаются последовательно, то после блока задания схема может разветвляться. Здесь возможны несколько случаев. Если обучаемый выполняет задание правильно, то ему предлагается либо следующее задание, либо активная подсказка, либо новая информация и т.д.

Другое ветвление схемы предусматривает случай, когда обучаемый ошибся. При этом он может совершить ошибку, которую проектировщик системы либо предусмотрел, либо не предусмотрел. Ответ обучаемого сначала сравнивается с правильным решением, затем, если нет совпадения, с предполагаемыми неверными решениями. Блок сравнения оформляется в виде ромба со вписанным в него номером предусмотренной ошибки. Если обучаемый допускает запрограммированную ошибку, то он проходит ошибочную траекторию до конца и воочию убеждается в своей ошибке. Тем самым реализуется обратная связь в обучающей системе. В нашем случае это информационная обратная связь, которая оказывает вспомогательное воздействие, способствующее устранению допущенной обучаемым ошибки.

Рассмотрим пример дидактической модели темы «Определение топологического пространства» (см. рис. 1.).

Информационный блок (И.):

 

Топологической структурой (или топологией) в множестве X называется такая совокупность W его подмножеств, что объединение любого семейства множеств, принадлежащих совокупности W, также принадлежит совокупности W; пересечение любого конечного семейства множеств, принадлежащих совокупности W, также принадлежит совокупности W; пустое множество Æ и все X принадлежат W. Тогда множество X с выделенной топологической структурой W (т.е. пара (X, W)) называется топологическим пространством; элементы множества W называются открытыми множествами пространства (X, W). Примеры: X – числовая прямая. Топология задается следующим набором подмножеств: пустое множество Æ, все возможные интервалы и их объединения. X – произвольное множество. Зададим W0={Æ, X}. Эта топология называется антидискретной. X – произвольное множество. Зададим W1={всевозможные подмножества из X}. Эта топология называется дискретной С понятием открытого множества тесно связано двойственное понятие замкнутого множества: так называют множество, дополнение которого открыто.

 

 

Тестово-информационный блок (Т.):

Задание 1. (Тест закрытого типа.)  Какие топологии можно задать на произвольном множестве?

Варианты ответов:

1. дискретную;
2. непрерывную;
3. антидискретную;
4. нельзя задать;
5. топологию правых стрелок.

Правильный ответ 1, 3 или 3, 1. В случае неверного ответа, программа возвращает студента к информационному блоку.

Задание 2. (Тест на правильную последовательность.) Пусть X – произвольное множество. Дискретной называется топология, состоящая из

Части ответа:

1. всех;
2. конечных;
3. пустого множества Æ;
4. и;
5. подмножеств;
6. множества X.

Правильная последовательность 1), 5), 6). В случае неверного ответа, программа возвращает студента к информационному блоку.

Задание 3. (Тест открытого типа.) Множество, называется … , если его дополнение открыто.

Правильный ответ: «замкнутым». В случае неверного ответа, программа возвращает студента к информационному блоку.

Блок задания.

Задача (): Пусть X состоит из четырех элементов: X={a,b,c,d}. Выясните, какие из следующих трех наборов его подмножеств являются топологическими структурами в X:

1. Æ, X, {a}, {b}, {a,c},{a,b,c}, (a,b};
2. Æ, X, {a}, {b}, {a,b}, {b,d};
3. Æ, X, {a,c,d}, {b,c,d}.

Правильный ответ: 1.

Ошибочные траектории (О.):

Если дан ответ 2, то студенту предлагается рассмотреть объединение {a,b}È{b,d}={a,b,d} и снова дать ответ. Если после рассмотрения объединения дается неверный ответ, то программа возвращает обучаемого в начало, т.е. к информационному блоку.

Если дан ответ 3, то предлагается рассмотреть пересечение {a,c,d}Ç{b,c,d}={c,d} и снова дать ответ. Если после рассмотрения пересечения дается неверный ответ, то программа возвращает обучаемого в начало, т.е. к информационному блоку.

 

 

 

 

 

Дидактическая блок-схема:

«Определение топологического пространства»

 

 

                                                                                               нет

 

                                                                                               да

                                                                                                                                   нет

                                                                                                                          

 

                                                                                                                       

                                                                                                                      да

                                                                                                                    

 

                                                                                                                      Рис. 1.

Список литературы

 

1. Атанов Г.А., Пустынникова И.Н. Обучение и искусственный интеллект или основы современной дидактики высшей школы. Донецк, 2002.
2. Введение в топологию: Учеб. Пособие для вузов. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. – М., 1980.
3. Малиночка Э.Г. Автоматизированная обратная связь как средство совершенствования процесса обучения. Саратов, 1989.