Роль математических моделей в медицине

границах области интегрирования и границах раздела сред.  Одним из

наиболее важных показателей качества численного решения  является его

близость к точному вблизи областей с большими градиентами решений.

Численное изучение биомедицинских процессов,  показали

эффективность использования  численного моделирования при решения задач

на основе системы  уравнений механика сплошных сред и  методов,

учитывающих характеристические свойства систем уравнений

гиперболического  типа.

4.Модель  Хилла

Одна из наиболее ранних феноменологических моделей  мышечного

сокращения принадлежит  Хиллу. Эта модель была разработана  еще до того,

как стали известны детали анатомии мышечного сокращения. Хилл заметил,

что когда скелетная  мышца сокращается под постоянной нагрузкой

(изотонический режим  сокращения),  связь между постоянной  скоростью

укорочения v  и нагрузкой p  хорошо описывается уравнением:

(p+a)v=b(p-p0),  где a  и b  константы,  которые можно найти на

основании экспериментальных данных.

Параметры модели можно  найти,  например,  следующим образом.  В

состоянии тетануса  (состояние максимального напряжения мышцы при

частоте стимуляции,  настолько высокой,  что расслабления мышцы между

сокращениями не происходит) к мышце прикладывают постоянную нагрузку

до тех пор,  пока длина мышцы не перестанет изменяться.  Затем резко

уменьшают нагрузку на мышцу.  После переходного процесса мышца

начинает укорачиваться  с постоянной скоростью.  Повторяя эксперимент с

различными амплитудами  изменения силы,  можно получить серию точек

кривой сила-скорость,  по которым можно экстраполировать параметры в

уравнении Хилла.

V. Математическая модель  эпидемии

Применение дифференциальных уравнений в медицине мы

продемонстрируем  на примере простейшей математической модели

эпидемии.  В модели описывается распространение инфекционного

заболевания в изолированной  популяции.  Особи популяции делятся  на три

класса.  Инфицированный класс численностью x(t)  (t — время)  состоит из

инфицированных  (заболевших)  особей,  каждая из этих особей заразна

(предполагается,  что инкубационный период заболевания  пренебрежимо

короток). Второй класс  численностью y(t) составляют восприимчивые особи,

т.  е.  особи,  которые могут заразиться при  контакте с инфицированными

особями.  И,  наконец,  третий класс состоит из невосприимчивых  особей

(приобретших иммунитет  или погибших в результате  заболевания).  Его

численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность

популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти

и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы: 14

1) заболеваемость  в момент времени t равна x(t)y(t)  (эта гипотеза

основывается на правдоподобном предположении,  что  число заболевающих

пропорционально числу  встреч между больными и восприимчивыми

особями,  которое в свою очередь в первом приближении пропорционально

x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y

убывает со скоростью  ax(t)y(t) (a > 0);

2) численность становящихся  невосприимчивыми особей

(приобретших иммунитет  или погибших)  растет со скоростью, 

пропорциональной  численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t)  (b > 0).

ВЫВОД

Полезным являются не только математические расчеты,  но и

накопленный в современной  математике большой опыт структуризации

знаний.  Главным  в математическом моделировании - целостность,

выражающиеся в  том, что их элементы могут объединяться в самостоятельно

функционирующие подсистемы в зависимости от целей, которые  стоят перед

ними как целым.  Необходимо активно воспринимать поступающую

информацию,  организовать ее в каждой конкретной ситуации в  структуры,

состоящие из небольшого числа единиц, которые определяются целостными

свойствами рассматриваемого объекта и целями исследователя.

Математический подход не только облегчает точное количественное

описание определенной задачи путем построения той или  иной подходящей

модели, но и дает (или может дать) средство к решению  этой задачи. Если же

задача сформулирована неудовлетворительно или принятая модель

недостаточно реалистична,  то при любом количестве абсолютно точных

математических выкладок будет получен ошибочный результат.

Основной проблемой  прикладной математики является выбор

первоначальной математической модели, и ни в одной области  знания это не

чувствуется так  остро,  как в биологии и медицине. Еще одно следствие

широты математической теории состоит в том,  что не только существует

большое число способов решения данной задачи,  но и сама задача может

быть сформулирована различными способами, с использованием различных

понятий, что в  высшей степени полезно.