Моделирование гемодинамики системы кровообращения

     Динамическая  система, описываемая (1) - (3) является неавтономной, поскольку в условия перехода (2) явно входит время t. Наличие p-q переходов  означает, что объект моделирования  в различных фазах сердечного цикла (систола, диастола) описывается, вообще говоря, различными системами  обыкновенных дифференциальных уравнений. 

3.   Модель кислородного обмена

     В основе модели кислородного обмена лежит концепция кислородного долга. С достаточной степенью условности величину кислородного долга DO2 можно охарактеризовать как меру концентрации молочной кислоты и других недоокисленных продуктов обмена веществ в тканях организма. Можно еще называть эту величину фактором усталости.

     Входными  параметрами модели кислородного обмена являются величина SpO2 сатурации артериальной крови, характеризующая эффективность  деятельности легких, величина He концентрации гемоглобина в крови и величина RO2 потребления кислорода тканями  организма (фактор нагрузки). Величина AO2 концентрации кислорода в артериальной крови пропорциональна сатурации  артериальной крови и концентрации гемоглобина в крови

             (1)

     где коэффициент пропорциональности СH имеет смысл кислородной емкости  гемоглобина крови.

     Величина gO2 доставки кислорода тканям пропорциональна  кровотоку через ткани и разности концентраций кислорода в артериальной и венозной крови (артерио - венозной разнице по кислороду)

            (2)

     где кровоток через ткани Q = Fij , i = AL, j = VL;

     VO2 – концентрация кислорода в  венозной крови.  (3)

     Скорость  изменения кислородного долга пропорциональна  разности между потреблением и доставкой  кислорода:   (4)

     где A1 , A2 – числовые параметры, определяемые эмпирическим путем, DO2 - кислородный  долг, характеризующий накопленную  величину неудовлетворенной потребности  организма в кислороде. 
 

3. Модель  сосудистого русла 

     Объект  моделирования представляет собой  систему резервуаров, последовательно  связанных между собой в кольцевую  систему: левый желудочек сердца (HL), артериальный резервуар большого круга кровообращения (AL), капиллярно-венозный резервуар большого круга (VL), правый желудочек сердца (HR), артериальный резервуар малого круга (AR), капиллярно-венозный резервуар малого круга (VR). Система  клапанов аортального, трехстворчатого, легочной артерии и митрального  обеспечивают однонаправленное движение тока крови по кольцевой системе  резервуаров.

     Давление  крови Pi в i-м участке сосудистого  русла описывается следующей  зависимостью от объема крови Vi в этом участке:  (1)

     В формуле (1) , объёмная упругость Gi описывает свойства жесткости сосудистой стенки, ωi - ненапряженный объём участка сосудистого русла. Величины объёмной упругости и ненапряженного объёма характеризуют тонус сосудов и сами нелинейно зависят от вектора x состояния и вектора A параметров динамической системы: (2)

     Скорость  изменения объема крови Vi в i - м участке  сосудистого русла определяется разностью входящего и выходящего кровотоков, т. е. имеет место дифференциальное уравнение:    (3)

     где Fki – величина входного кровотока, Fij – величина выходного кровотока, k - индекс резервуара "вверх по течению", j - индекс резервуара "вниз по течению".

     Величина  тока крови Fij на участке между i-м  и j-м резервуарами определяется разностью давлений в этих резервуарах: (4)

     Величины  проводимости Yij соответствующих участков сосудистого русла описываются  в общем случае нелинейными зависимостями  от вектора x состояния и вектора A параметров вида:

       (5) 

     3.1. Модель желудочков

     Рассматривается модель заполнения желудочков в фазе диастолы и их опорожнение в систолу. Дифференциальные уравнения для  объема крови в желудочке определяются формулой (3) из пункта 3 

     где Fki - кровоток через входной клапан, Fij - кровоток через выходной клапан. Для левого желудочка (i = HL) k = VR (легочная вена), j = AL (аорта), входной клапан - митральный, выходной клапан - аортальный. Для правого  желудочка (i = HR) k = VL (полые вены), j = AR (легочная артерия), входной клапан - трехстворчатый, выходной клапан - легочной артерии.

     Кровоток  через выходной клапан определяется разницей между давлением в желудочке Pi и давлением в артерии Pj :   (1)

     Вторая  часть формулы (1) описывает процесс обратного тока крови через выходной клапан в фазе диастолы в случае наличия дефекта запирающего элемента клапана (порок клапана). В случае наличия порока 0<rij<1, в норме rij=0.

     Кровоток  через входной клапан определяется разницей между давлением в вене Pk и давлением в желудочке Pi:   (2)

     Вторая  часть формулы (2) описывает процесс обратного тока крови через входной клапан в фазе систолы в случае наличия дефекта запирающего элемента клапана (порок клапана). В случае наличия порока 0<rki<1, в норме rki=0.

     Систолическое давление в желудочке определяется в соответствии с (19). Модель желудочков завершается описанием их заполнения в диастолу. Диастолическое давление в желудочке представляется в  виде частичной суммы ряда Тейлора  разложения функции переменной Vi объема крови в желудочке:     (3)

     где ωi - ненапряженный объем желудочка.

     При построении реальной модели функция (3) подбирается таким образом, чтобы работа сердца в целом отражала основные закономерности саморегуляции и обеспечивала подобие кривых внутрижелудочкового давления. 

     В заключение следует отметить, что  исследование системы кровообращения на основе ее модели в рамках системного анализа играет важную роль в первую очередь с точки зрения расчета  методик работы с заболеваниями  ССС и их профилактики.