Задача по "Математической статистике"

Задачи

по  математической статистике 

      В ряде задач будет предложено использовать данные таблицы 1, в которой приведены результаты выборочного социологического обследования 100 городских семей на предмет изучения уровня жизни населения. Известно, что всего в данном городе проживает около 500 тыс. семей. Выборка 100 семей произведена по принципу случайного отбора. 

Таблица 1

Данные  обследования 100 городских семей 

Задача 1

      По  данным таблицы 1 постройте ряд распределения  тех жилищ, которые являются отдельными квартирами, по числу жилых комнат. Наряду с локальными частотами подсчитайте накопленные частоты. Постройте полигон распределения, а также кумуляту. Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Методические  советы по выполнению задания

по теме «Статистические ряды распределения и их характеристики». 

Ряд распределения – это ряд чисел, в котором значение изучаемого признака (варианты), расположены в определенном порядке: либо в порядке возрастания, либо убывания. Наряду с вариантами ряд распределения включает и частоты – величины, показывающие сколько раз каждая варианта встречается в данной совокупности. Сумма частот равна объему совокупности. Таким образом, ряд распределения состоит из вариант (х) и частот (т).

      В зависимости от прерывности или непрерывности варьирующего признака ряды распределения удобно представлять в виде двух разновидностей: дискретного и вариационного (интервального). Дискретный ряд представляет собой ряд прерывных чисел. Например, распределение семей по числу членов (табл. I). При непрерывной вариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся ко всему интервалу. Примером интервального ряда может служить распределение совхозов области по проценту выполнения плана (табл. II). 

                                                      Табл. I                                                                             Табл. II

      В зависимости от вида ряда распределения  по разному можно изобразить их графически. Если ряд дискретный – строится полигон распределения. Величина признака откладывается на оси абсцисс, частоты – на оси ординат. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Гистограмма распределения отличается о  полигона тем, что на оси абсцисс берутся не точки, а отрезки, изображающие интервал, т.е. гистограмма строится на основе вариационного ( интервального) ряда. По накопленным частотам строится кумулятивная кривая (кумулята).

      Для определения средней арифметической надо сложить все варианты и полученную сумму разделить на число единиц, входящих в совокупность (объем совокупности). Средняя арифметическая бывает простая  и взвешенная. Простая средняя используется тогда, когда каждая варианта встречается лишь один раз. Если каждая варианта встречается несколько раз, то следует подсчитать частоты и умножить (взвесить) каждую варианту на соответствующую частоту.

Простая средняя арифметическая .

Средняя арифметическая взвешенная .

        В наших примерах средняя рассчитывается  по формуле взвешенной, для табл. I  (чел.)

Для табл. II  %.

При расчете  средней арифметической для интервального  ряда нужно сначала определить середины интервалов как полусуммы значений верхней и нижней границ интервала. При наличии интервалов, где «открыты» верхняя или нижняя граница, величину интервала определяют по последующему ил предыдущему интервалу.

      Для характеристики рядов распределения кроме средней степенной применяются структурные средние: мода и  медиана.

      Мода – варианта, которая наиболее часто встречается в данной совокупности, т.е. варианта с наибольшей частотой.

      Медиана – варианта, находящаяся в середине ряда распределения.

      Мода  для дискретного ряда определяется просто и соответствует варианте с наибольшей частотой. По данным табл. I мода равна 3, т.к. эта варианта встречается наибольшее число раз – 34. Значит, более всего в данной  совокупности из 115 семей встречаются семьи с числом членов 3 человека. Для интервального ряда (с равными интервалами) мода определяется по следующей формуле:

       .

где i – длина интервала; – частота модального, – домодального, – замодального интервалов; – начало модального интервала.

       .

Медиану дискретного ряда определяют по накопленным  частотам делением объема совокупности пополам: по табл. I – 115:2=57,5. Это соответствует медиане, равной 3.

      Для интервального ряда медиану определяют по формуле:

       ,

где – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; – локальная частота медианного интервала; – начало медианного интервала.

      В нашем примере по данным табл. II получим:

       .

      Размах  вариации – разность между наибольшей и наименьшей вариантой:  .  По данным дискретного ряда размах вариации равен 7=(8–1), по интервальному ряду 40=(135–95).

      Среднее квадратическое отклонение – показатель вариации, измеряющий величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической. Среднее квадратическое отклонение бывает простое и взвешенное и рассчитывается по формулам:

      простое (невзвешенное)    взвешенное

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией, или средним квадратом отклонений. По данным табл. I, используя формулу взвешенного среднего квадратического отклонения, рассчитаем его величину:

       (чел.)

Наряду  с абсолютным показателем колеблемости признака – средним квадратическим отклонением, широко применяется и относительный показатель – коэффициент вариации, который показывает меру колеблемости признака относительно его среднего значения и измеряется в процентах. Расчет коэффициента вариации можно проследить по данным табл. I:

       .