Задача Ламе – Гадолина для составной анизотропной трубы

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего  профессионального образования

Пермский  национальный исследовательский политехнический  университет

Аэрокосмический факультет

Кафедра механики композиционных материалов и конструкций

Дисциплина: Математические основы механики

 

Курсовая работа

Тема: «Задача Ламе – Гадолина для составной анизотропной трубы»

 

 

Выполнил студент гр._________

               _______________________

(ф.и.о.)

  Проверили:        ____________

 

_____________________________________

(должность, ф.и.о.  руководителя  от кафедры)    

___________        ______________

  (оценка)                              (подпись)

                                                  ________ 

                                                            (дата)

_____________________________________

(должность, ф.и.о.  руководителя  от кафедры)    

___________        ______________

  (оценка)                              (подпись)

                                                  ________ 

                                                            (дата)

Пермь  2011 

Содержание

Введение                                                                                                               4

Глава I. Постановка задачи                                                                                 5

Глава II. Решение матиматической задачи                                                         6

Заключение                                                                                                      11

Список литературы                                                                                             12

 

 

Введение

Составные полые трансверсально-изотропные цилиндрические тела широко применяются в самых разных областях геологии, на предприятиях нефте-газо-химического комплексов, на предприятиях химической промышленности, военной промышленности и д.р. областях (при прокладке трубопроводов большого протяжения,). Поэтому необходимо знать напряжения в точках проектируемых деталей конструкций, для оценки статической и циклической прочности.

 

Глава I. Постановка задачи

Необходимо найти и вычислить напряжения и перемещения, которые появляются в составной анизотропной трубе под внутренним давлением () и внешним давлением (). Эти условия, заданные на внутренней и внешней поверхности составного цилиндрического тела [1], [2]:

,                                                                                  (1)

позволяют определить константы интегрирования общих решений и получить аналитические зависимости компонент тензора напряжений в направлении радиальной координаты  r. Кроме того, запишем условия непрерывности перемещений и радиальных напряжений на поверхности контакта следующим образом [1], [2]:

,                                                                  (2)

Рассмотрим составной полый цилиндр, находящийся в условиях плоско-деформированного состояния и состоящий из двух соосных однородных и линейно упругих толстостенных цилиндрических тел, из которых внутренний – стальной (r = a;, а внутреннего цилиндрического тела), внешний – стеклопластиковый (r = b; , а коофициенты Пуассона внешнего цилиндрического тела). В результате соосной посадки, точки, принадлежащие внешней поверхности внутреннего цилиндра и внутренней поверхности внешнего цилиндра, получают радиальные перемещения, алгебраическая сумма которых составляет величину натяга . При построении решения предполагаем, что граница раздела двух тел, составляющих элемент конструкции, известна и располагается на расстоянии c от оси вращения. Все константы и функции, которые относятся к внутренему и внешнему цилиндрам, в дальнейшем будем обозначать стоящими в нижней позиции индексами 1 и 2 соответственно.

 

Глава II. Решение математической задачи

Используя обобщенный закон Гука:

Для изотропного цилиндрического тела [1]:

                                                                         (3)

)

 

И трансверсально-изотропного цилиндрического тела [2]:

 

 

 

Выражая из закона Гука составляющие напряжений, подставляя деформации где , в эти напряжения и подставляя полученные выражения в уравнение равновесия, получаем дифференциальные уравнения [1], [2]:

, ,                                         (4)

решая которые, находим общие решения для перемещений:

, .                                                                               (5)

где – показатель анизотропии внешнего цилиндра [2].

Подставляя перемещения  в уравнения обобщенного закона  Гука, получаем общие решения для напряжений:

,                                 (6)

 

 

Решая систему четырех  уравнений с четырьмя неизвестными, которые получаются после подстановки полученных выражений для напряжений и перемещений точек внутреннего и внешнего цилиндра в граничные условия (1), получаем постоянные интегрирования:

                                                (7)

 

 

 

которые содержат коэффициенты:

                           (8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Полученные константы интегрирования (7) подставим в уравнения перемещений и напряжений, получая частное решение задачи:

(9)

 

 

 

 

 

 

Параметры геометрии конструкции толстостенного цилиндра и упругие постоянные материалов были приняты следующими: a= 0,230 м, b= 0,288 м, с= 0,256 м, p_a=4,5 МПа, p_b=1,0 МПа, E₁=2,8 10⁵МПа, μ₁=0,3, E_r=E_z=5,68 10⁵МПа, E_θ=1,57 10⁵МПа, μ_rθ=0,06, μ_rz=0,38, μ_θz=0,38, μ_θr=0,217, μ_zθ=0,105, μ_zr=0,38, Δ=1,05 10^-5м.

Анализируя рис.1,2,3, видно, что на поверхности контакта радиальные напряженияи равны, т.е. выполняются условия непрерывности, и величина этих радиальных напряжений в r=с равна контактному давлению :

 

окружные напряжения претерпевают разрыв. Следует отметить, что радиальные перемещения на поверхности контакта так же претерпевают разрыв, величина которого равна натягу .

Рисунок 1. Зависимость радиальных  напряжений от радиальной координаты r.

Рис. 2. Зависимость окружных напряжений от радиальной координаты r.

Рис. 3.Зависимость перемещений от радиальной координаты r.

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Таким образом, получено точное аналитическое решение задачи Ламе – Гадолина для полого толстостенного трансверсально-изотропного цилиндрического тела и проиллюстрировано одно из возможных приложений этого решения.

 

Список литературы:

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. Для вузов. – 10-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 592 с.

 

2. Термопрочность деталей машин / И.А. Биргер, Б.Ф. Шорр, И.В. Демьянушко и др. М.: Машиностроение, 1975. – 455 с.