Высшая математика в упражнениях и задачах

Лекция 1

4 сентября 2006 года

    Вычислительная  математика отличается от других математических дисциплин следующими специфическими особенностями.

1. Вычислительная математика обычно имеет дело не с непрерывными, а с дискретными объектами, которыми приближаются непрерывные. Так, вместо отрезка прямой часто рассматривается система точек (это введенная на отрезке СЕТКА), вместо непрерывной функции f(х) — табличная функция , вместо первой производной — ее разностная аппроксимация, например,

      

    Такие замены, естественно, порождают погрешности  метода.

Погрешности метода являются неустранимыми погрешностями.

Рассмотрим  вопрос, какую неустранимую погрешность вносит замена непрерывной функции ее ПРОЕКЦИЕЙ (ОГРАНИЧЕНИЕМ) на сетку.

Примечание. Переход от непрерывной функции  к ее сеточному аналогу достигается  применением оператора ограничения, или проектора. Такие операторы  могут быть построены разными  способами. Простейший способ построения проектора – взять значения функции в точках сетки. Конечно, применение оператора проектора приводит к появлению неустранимых погрешностей, так как часть информации о функции теряется.

Здесь и далее мы будем считать, что  функция, проекцией которой на сетку мы пользуемся, достаточно гладкая и нужное число раз непрерывно дифференцируемая. Какое число непрерывных производных нам потребуется, каждый раз будем оговаривать специально. 

Пример. Оценить неустранимую погрешность, возникающую при проекции на сетку дважды непрерывно дифференцируемой функции Считаем, что введенная на отрезке [0,1] сетка равномерная, т.е.

Решение. Очевидно, что  принадлежит рассматриваемому классу. Сеточная функция есть проекция на сетку. Рассмотрим функции и Обе этих функции принадлежат рассматриваемому классу функций, а применение оператора проекции дает в результате . Тем не менее, между узлами скетки данные функции могут отличаться на

2. В машинных вычислениях используются числа с конечным количеством знаков после запятой (конечные приближения действительных чисел) из-за конечности длины мантиссы при представлении действительного числа в памяти ЭВМ. Другими словами, в вычислениях присутствует машинная погрешность (округления) . Это приводит к вычислительным эффектам, неизвестным, например, в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики или в математическом анализе.
3. В вычислительной практике большое значение имеет обусловленность задачи, т. е. чувствительность ее решения к малым изменениям входных данных.
4. В отличие от «классической» математики выбор вычислительного алгоритма влияет на результаты вычислений.
5. Существенная черта численного метода — экономичность вычислительного алгоритма, т. е. минимизация числа элементарных операций при выполнении его на ЭВМ.
6. Погрешности при численном решении задач делятся на две категории — неустранимые и устранимые. К первым относят погрешности, связанные с построением математической модели объекта и приближенным заданием входных данных, ко вторым — погрешности метода решения задачи и ошибки округления, которые являются источниками малых возмущений, вносимых в решение задачи.

Элементы  теории погрешностей

Определение. Пусть u и — точное и приближенное значение некоторой величины соответственно. Тогда абсолютной погрешностью приближения u* называется величина , удовлетворяющая неравенству

    

Определение. Относительной погрешностью называется величина , удовлетворяющая неравенству

    

    Обычно  используется запись

Определение. Пусть искомая величина u является функцией параметров u* — приближенное значение u. Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина

    

Предельной  относительной погрешностью называется величина

Пусть — приближенное значение Предполагаем, что u — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,

    

где

    Отсюда  где

    Можно показать, что при малых  это оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой

      где 

    Несложно  показать, что

    а) предельная погрешность суммы или разности равна сумме или разности предельных погрешностей.

    в) Предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей

    

    Погрешность метода

    Оценим  погрешность при вычислении первой производной при помощи соотношения :

    

где O(h) есть погрешность метода. В данном случае под погрешностью метода понимается абсолютная величина разности , которая составляет O(h) (более точно , где ).

    Если  же взять другой метод вычисления производной  , то получим, что его погрешность составляет O(h²), это оказывается существенным при малых h. Однако уменьшать h до бесконечности не имеет смысла, что видно из следующего примера. Реальная погрешность при вычислении первой производной будет

    

поскольку погрешность за счет машинного округления составит .

    В этом случае можно найти оптимальный  шаг h. Будем считать полную погрешность в вычислении производной Δ функцией шага h. Отыщем минимум этой функции. Приравняв производную к нулю, получим оптимальный шаг численного дифференцирования

    

    Выбирать  значение h меньше оптимального не имеет смысла, так как при дальнейшем уменьшении шага суммарная погрешность начинает расти из-за возрастания вклада ошибок округления.

Задача  численного дифференцирования

Рассмотрим задачу приближенного вычисления приближенного значения производной подробнее.

    Пусть задана таблица значений x_i. В дальнейшем совокупность точек на отрезке, котором проводятся вычисления, иногда будут называться сеткой, каждое значение x_i — узлом сетки. Пусть сетка равномерная, и расстояние между узлами равно — шагу сетки. Пусть узлы сетки пронумерованы в порядке возрастания, т.е.

    

     ,

    Пусть — функция, определенная в узлах сетки. Такие функции будут называться табличными, или сеточными функциями. Считаем, кроме того, что рассматриваемая сеточная функция есть проекция (или ограничение) на сетку некоторой гладкой нужное число раз непрерывно дифференцируемой функции f(x). По определению производной

    

тогда, если шаг сетки достаточно мал, по аналогии можно написать формулу  в конечных разностях, дающую приближенное значение производной сеточной функции:

      (1.1)

    Если  параметр достаточно мал, то можно считать полученное значение производной достаточно точным. Погрешность формулы (1.1) оценена в пункте 1.4. Как показано выше, при уменьшении шага сетки h ошибка будет уменьшаться, но при некотором значении ошибка может возрасти до бесконечности. При оценке погрешности метода обычно считается, что все вычисления были точными. Но существует ошибка округления. При оценке ее большую роль играет машинный ε — мера относительной погрешности машинного округления, возникающей из-за конечной разрядности мантиссы при работе с числами в формате с плавающей точкой. Напомним, что по определению машинным ε называют наибольшее из чисел, для которых в рамках используемой системы вычислений, выполнено 1 + ε = 1. Тогда абсолютная погрешность при вычислении значения функции (или представлении табличной функции) есть Максимальный вклад погрешностей округления при вычислении производной по формуле (1.1) будет тогда, когда члены в знаменателе (1.1) имеют ошибки разных знаков.

Пусть максимум ищется на отрезке, на котором вычисляются значения производных. Тогда суммарная ошибка, состоящая из погрешности метода и погрешности округления, есть

    Для вычисления оптимального шага численного дифференцирования найдем минимум суммарной ошибки, как функции шага сетки откуда

    Если  требуется повысить точность вычисления производных, необходимо воспользоваться формулами, имеющими меньшие погрешности метода. Так, из курсов математического анализа известно, что

    

По аналогии напишем конечно-разностную формулу

 (1.2)

(1.2) —  формула с центральной разностью. Исследуем ее на аппроксимацию, т.е. оценим погрешность метода. Предположим, что функция, которую спроектировали на сетку, трижды непрерывно дифференцируема, тогда

    

    

Погрешность метода определяется 3-й производной  функции. Введем тогда суммарная погрешность при вычислении по формуле с центральной разностью есть

    

для вычисления оптимального шага, находя минимум погрешности, как функции шага сетки, имеем откуда

    

    Для более точного вычисления производной, необходимо использовать, разложение более высокого порядка, шаг будет увеличиваться.

    Формула (1.1) — двухточечная, (1.2) — трехточечная: при вычислении производной используются точки (узлы) (узел входит с нулевым коэффициентом), , — совокупность узлов, участвующих в каждом вычислении производной, в дальнейшем будем иногда называть сеточным шаблоном.

    Введем  на рассматриваемом отрезке шаблон из нескольких точек.

    Считаем, что сетка равномерная — шаг  сетки постоянный, расстояния между любыми двумя соседними узлами равны. Используем для вычисления значения первой производной следующую приближенную (конечноразностную) формулу:

      (1.3)

шаблон  включает l точек слева от рассматриваемой точки x_j и m справа. Коэффициенты α — неопределенные коэффициенты. Формула дифференцирования может быть и односторонней — либо l, либо m могут равняться нулю. В первом случае иногда называют (на наш взгляд, не слишком удачно) такую приближенную формулу формулой дифференцирования вперед, во втором — формулой дифференцирования назад. Потребуем, чтобы (1.3) приближала первую производную с точностью Используем разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x_j. Подставляя их в (1.3), получим

    

    

Потребуем выполнение условий:

       …, … (1.4)

Получаем  систему линейных алгебраических уравнений  для неопределенных коэффициентов  α (1.4). Матрица этой системы есть

    

    Вектор правых частей (0, 1, 0, …,0)^T.

    Определитель  данной матрицы — детерминант  Вандермонда. Из курса линейной алгебры  следует, что он не равен нулю. Тогда  существует единственный набор коэффициентов α, который позволяет найти на шаблоне из (1 + l + m) точек значение первой производной с точностью

    Для нахождения второй производной можно  использовать ту же самую формулу (1.3) с небольшой модификацией

    

только  теперь Очевидно, что и данная система уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов имеет единственное решение. Для получения с той же точностью приближенных значений производных до порядка l + m включительно с точностью модификации формулы (1.3) и условий (1.4) очевидны, набор неопределенных коэффициентов находится единственным образом.

    Таким образом, доказано следующее утверждение. На сеточном шаблоне, включающем в себя N + 1 точку, с помощью метода неопределенных коэффициентов всегда можно построить единственную формулу для вычисления производной от первого до N порядка включительно с точностью .

    Утверждение доказано для равномерной сетки, но на случай произвольных расстояний между сеточными узлами обобщение проводится легко.

    Так как на практике вычисления проводятся с конечной длиной мантиссы, то получить нулевую ошибку невозможно.