Вычислительная математика

• Задание 1

 

1. Определить, какое равенство точнее.
• ;
• .

 

Решение.

 

                                              

 

Находим абсолютную погрешность

  (округл. в > ст.)          

 

Находим относительную погрешность

 

        

Т. к. < , то первое число посчитано более точно.

 

 

 

2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:
• а) в узком смысле  38.4258±0.0014;
• б) в широком смысле 0.66385; d=0.34%.

Определить  абсолютную погрешность результата.

 

Решение.

 

а) модуль погрешности  в узком смысле должен быть меньше ,

подбираем - , отсюда

при m = 1, получаем n = 4.

 

Округляем до 4 значащих знаков

38.4258±0.0014 = 38.43±(|38.43-38.4258|+0.0014) = 38.43±0.0056

 

Выражение 0.0056 < 0.005 неверно, значит округляем до 3х значащих знаков

38.4258±0.0014 = 38.4±(|38.4-38.4258|+0.0014) = 38.4±0.0272

 

Выражение 0.0272 < 0.05, следовательно  округлили правильно

 

Верные знаки 38.4, абсолютная погрешность |38.4258-38.4| 0.0258

 

 

 

б) найдем предельную абсолютную погрешность 

.

Модуль погрешности  в широком смысле должен быть меньше ,

подбираем - , отсюда

при m = -1, получаем n = 2.

 

Округляем до 2 значащих знаков

0,66385±0.0023 = 0,66±(|0,66 -0,66385|+0.0023) = 0,66± 0,0062

 

Выражение 0.0062 < 0.01, следовательно  округлили правильно

 

Верные знаки 0.66, абсолютная погрешность |0,66385-0,66| 0.00385

 

 

3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры:
• а) в узком смысле  6.743 
• б) в широком смысле 0.543

 

а)  Если все цифры  числа 6.743 верные в узком смысле, то n = 4   m = 0

     

n>2

     

     

б)  Если все цифры  числа 0,543 верны в широком смысле, то n = 3  m = -1

 

     

     

• Задание 2

 

Вычислить и  определить погрешность результата.

 

 

а) m=1.6531±0.0003 n=3.78±0.002    c=0.158±0.0005

б) a=9.542±0.001   b=3.128±0.002  m=2.8±0.03   c=0.172±0.001    d=5.4±0.02

 

 

Решение.

 

а) найдем относительные  погрешности:

 

; 

Y = 2618.9±27.5

 

б) найдем относительные погрешности:

; 

; 

 

X=1.272657±0.021334

 

 

• Задание 11

 

Используя метод  сеток, составить решение смешанной  задачи для дифференциального уравнения  параболического типа (уравнение теплопроводности) при заданных начальных условиях , , , где . Решение выполнить при h=0.1 для с четырьмя десятичными знаками.

 

 

№ варианта	f(x)	j(t)	y(t)
1	cos(x+0.845)	6t+0.66	0.1205

 

 

Решение

 

         (2) 

Условие устойчивости           

 

  

;  

    – значения первого столбца таблицы

    – значения последнего столбца таблицы

    – значения первой строки таблицы

 

Остальные элементы таблицы  считаем по формуле (2), например:

  и т.д.

 

	i	0,0000	1,0000	2,0000	3,0000	4,0000	5,0000	6,0000
n	tn   \  xi	0,0000	0,1000	0,2000	0,3000	0,4000	0,5000	0,6000
0,0000	0,0000	0,6600	0,5857	0,5019	0,4130	0,3201	0,2239	0,1205	y=cos(x+0,845)
1,0000	0,0020	0,6720	0,7010	0,6013	0,4948	0,3834	0,2672	0,1205
2,0000	0,0040	0,6840	0,8154	0,7202	0,5928	0,4592	0,3146	0,1205
3,0000	0,0060	0,6960	0,9332	0,8578	0,7101	0,5488	0,3676	0,1205
4,0000	0,0080	0,7080	1,0573	1,0149	0,8494	0,6546	0,4279	0,1205
5,0000	0,0100	0,7200	1,1904	1,1933	1,0134	0,7791	0,4974	0,1205
		y=6t+0,66						y=0,1205

• Задание 12

 

 

Используя метод  сеток, составить решение смешанной  задачи для уравнения колебания  струны при заданных начальных условиях , (0≤x≤1) и краевыми условиями , . Решение выполнить при h=0.1 для с четырьмя десятичными знаками.

 

№ варианта
1				0

 

Решение

 

Разностная  схема:

   

В этой схеме условие  устойчивости: ≤ h     

 = 0.1         

  Краевые условия:

    – заполняем  нулевой столбец

        – заполняем  десятый столбец

 

 Заполняем нулевую строку

    (0 ≤ x ≤ 1)  

Заполняем первую строку

 

Остальные элементы таблицы  определяем по формулам:

 

	i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	tn\xi	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	0,0	0,00	0,4900	0,6400	0,8100	1,0000	1,2100	1,4400	1,6900	1,9600	2,2500	0
1	0,1	0,05	0,6237	1,0758	1,3625	1,6621	1,9750	2,3032	2,6503	3,0207	2,1391	0
2	0,2	0,10	1,2594	2,4219	3,2904	3,9996	4,7303	5,4884	6,2841	5,8501	2,9098	0
3	0,3	0,15	3,1577	5,8960	8,3494	10,3582	12,2434	14,1997	14,9724	12,0233	6,6207	0
4	0,4	0,20	7,9442	14,9812	21,3132	26,9514	32,0709	35,9270	34,9112	27,7663	15,7342	0
5	0,5	0,25	19,9677	38,3427	54,8964	69,9774	82,7059	88,7095	83,6322	66,3885	36,8798	0