Второй замечательный предел, непрерывное начисление процентов

 

Оглавление

 

 

Введение 2

Второй замечательный  предел 3

Применение  второго замечательного предела  при непрерывном начислении процентов 7

Примеры 12

Выводы 16

Список использованной литературы 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Во многих серьезных экономических  исследованиях применяют формулу  непрерывного начисления сложных процентов. Формула выведена с помощью второго  замечательного предела.

В нашей работе мы приведем математический вывод второго замечательного предела для последовательности и для функции. Расскажем о  принципах применения предела к  раскрытию неопределенностей. Рассмотрим принципы начисления процентов по вкладам. Приведем вывод формулы непрерывного начисления сложных процентов.

В практической части будут  приведены примеры раскрытия  неопределенностей с помощью  второго замечательного предела, применение второго замечательного предела  к финансовым вычислениям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй  замечательный предел

 

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.    

Применим этот признак  для последовательности , .

По формуле бинома Ньютона 

Полагая , , получим

Из последнего равенства  следует, что с увеличением  число положительных слагаемых в правой части возрастает. Более того, при увеличении величина уменьшается, а значит числа возрастают. То есть, последовательность - возрастающая, при этом

                                                                                    (1)

Покажем, что последовательность ограничена.

Заменим в правой части  равенства

Каждую скобку на единицу, правая часть увеличиться и мы получим неравенство:

.

Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5, …, стоящие в  знаменателях дробей числом 2: .

Сумму в скобках найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

, следовательно,

                                                                                    (2)

Итак, последовательность ограничена, при этом для всех выполняются неравенства (1) и (2): .

Следовательно, на основании  теоремы Вейерштрасса последовательность , , имеет предел, обозначаемый обычно буквой :

.

Число называют неперовым числом. Это иррациональное число

Докажем, что функция  , при , стремится к числу .

1. Пусть . Каждое значение заключено между двумя положительными целыми числами , где - это целая часть . Отсюда следует , , поэтому

.

Если  , то . Поэтому

.

По признаку (о пределе  промежуточной функции) существования  пределов

.                                   (3)

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда .

.                                  (4)

Из равенств (3) и (4) следует  равенство 

.                                             (5)

Если в равенстве (5) положить ( при ), оно запишется в виде

                                              (6)

Равенства (5) и (6) называются вторым замечательным пределом.

К числу е  приводят решения  многих прикладных задач статистики, экономики, физики, биологии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.

Применение  второго замечательного предела  при непрерывном начислении процентов

 

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов.

Первоначальный вклад  в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно % годовых. Необходимо найти размер вклада  через t лет.

При использовании простых  процентов размер вклада ежегодно будет  увеличиваться на одну и ту же величину  , т. е.

- размер вклада через год;

- размер вклада через два  года;

…

- размер вклада через t лет.

На практике значительно  чаще применяются сложные проценты, когда размер вклада ежегодно увеличивается  в одно и то же число раз.

- размер вклада через год;

- размер вклада через два  года;

….

- размер вклада через t лет.

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а  раз, то при том же ежегодном приросте % процент начисления за -ю часть года составит %, а размер вклада за t лет при начислениях составит

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие ( ), ежеквартально ( ), ежемесячно ( ), каждый день ( ), каждый час ( )  и т.д., непрерывно ( ). Тогда размер вклада за t лет составит

То есть

Полученная формула выражает показательный (экспоненциальный) закон  роста вкладов (при ) или убывания (при ). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

На практике в банках редко  используют формулу непрерывного начисления процентов. Непрерывное начисление процентов применяют при анализе макроэкономических проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании.

При непрерывном наращении  процентов применяют особый вид  процентной ставки – силу роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

Постоянная сила роста. При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

_{. Чем больше m, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов. При   имеем .}

_{Для того, чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, обозначим силу роста как . Теперь можно записать}

_{.                                                                       (1)}

_{Итак, при  непрерывном наращении  процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей  от первоначальной суммы, срока наращения  и силы роста. Последняя представляет собой номинальную ставку сложных процентов при .}

_{Легко показать, что дискретная и непрерывная ставка находятся в функциональной зависимости. Из равенства множителей наращения}

_{следует:}

_.

_{(Пример 5)}

_{Для того, чтобы найти дисконтный множитель на основе силы роста (математическое дисконтирование) решим  уравнение (1) относительно Р:}

_.

_{То есть, дисконтный множитель  равен  .}

_{(Пример 6)}

Переменная сила роста. Пусть сила роста изменяется во времени, следуя некоторому закону, представленному в виде непрерывной функции времени: _{. Тогда наращенная сумма и современная величина определяются так:}

_{; .}

_{Функция времени может  быть самого различного вида. Рассмотрим только два ее варианта –  линейную и экспоненциальную. Начнем с линейной функции:}

_,

_{где - начальное значение силы роста, - прирост силы роста в единицу времени.}

Нетрудно доказать, что 

_.

_{Таким образом, множитель  нарощения находится как}

_.

_{(Пример 7).}

_{Рассмотрим  ситуацию, когда сила роста изменяется экспоненциально (по геометрической прогрессии):}

_,

_{где - начальное значение силы роста, - постоянный темп роста.}

_{В этом случае степень множителя  равна} 

_{.                                     (2)}

_{(Пример 8)}

_{Срок  ссуды и размер силы роста. Срок ссуды при постоянной силе роста найдем на основе (1):}

_.

_{При наращении  с изменяющейся силой  роста (с постоянным темпом роста  ) на основе (2) получим}

_.

_{В свою очередь при наращении  с постоянной силой  роста}

_.

_{При наращении  с изменяющейся с  постоянным темпом силой  роста}

_.

 

Примеры

 

Пример 1. Найти предел

Решение:

В данном случае имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом в виде

Пример 2. Найти предел

Решение:

Для раскрытия неопределенности вида воспользуемся вторым замечательным пределом в виде

Пример 3. Найти предел

Решение:

Пример 3. Найти предел

Решение:

Сделаем замену , тогда , при , . Получается

Пример 4.  Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, составил 10 тыс. руб. Определить вклад через 20 лет, при начислении процентов: а) ежегодном;  б)  поквартальном;  в) непрерывном.

 

Решение:

а) Денежный через 20 лет при ежегодном начислении процентов составит:

67,275 тыс. руб.

 

б) Денежный через 20 лет при поквартальном начислении процентов составит:

70,39989 тыс. руб.

 

в)  Денежный через 20 лет при непрерывном начислении процентов составит:

73,89056 тыс. руб.

По результатам вычислений можно установить, что при непрерывном  начислении процентов на вклад денежный прирост будет больший, чем при  других видах начислений.

Пример 5. Сумма, на которую начисляют непрерывные проценты, равна 2 млн. руб., сила роста 10 %, срок 5 лет. Наращенная сумма составит

 руб.

Непрерывное начисление процентов  по ставке равной 10 % равнозначно наращению  за тот же срок дискретных сложных  процентов по годовой ставке. Находим

_.

_{В итоге  получим}

 _руб.

Пример 6. Определим стоимость платежа в 5 млн. рублей, сроком на 5 лет, при условии, что дисконтировании производится по силе роста 12 % и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера. Получим в тыс. руб.:

_,

_.

_{Пример 7. Пусть начальное значение силы роста равно 8%, процентная ставка непрерывно и линейно изменяется, прирост за год составляет 2 % ( ). Срок наращения 5 лет. Для расчета множителя наращения найдем его степень:}

_.

_{Искомый множитель составит .}

_{Продолжим пример. Предположим, что сила роста  линейно уменьшается  ( пусть ). В этом случае степень множителя равна 0,15 и соответственно .}

Пример 8. Начальный уровень силы роста 8 %, процентная ставка непрерывно и экспоненциально увеличивается (годовой прирост 20 %, _{), срок наращения 5 лет. Необходимо определить множитель наращения.}

_{Степень этого множителя  за весь период равна}

_{, соответственно  .}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выводы

Инструменты, которые предоставляет  математика другим наукам, позволяют  не только обобщать результаты исследований в различных областях науки и  практики, но и получать новые результаты.

В нашем исследовании мы рассмотрели второй замечательный  предел с математической точки зрения и познакомились с практическим его применением в области  финансов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованной литературы

 

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 и 2. М.: Высшая школа, 2004.

 

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.: 1999.