Векторная алгебра

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором  изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над  векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число. 

Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами: 

a+b=b+a (коммутативность) 

(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность) 

a + 0=a (наличие нулевого  элемента ) 

a+(-a)=0 (наличие противоположного  элемента), 

где 0 - нулевой вектор, - a есть вектор, противоположный вектору  а . Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a. 

Произведением l x вектора  а на число l в случае l № 0 , а №  О называют вектор, модуль которого равен | l ||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a , если l >0, и в противоположную, если l <0 . Если l =0 или (и) a =0, то l a=0 . Операция умножения вектора на число обладает свойствами: 

l *(a+b)= l *a+ l *b (дистрибутивность относительно сложения векторов) 

( l +u)*a= l *a+u*a (дистрибутивность  относительно сложения чисел) 

l *(u*a)=( l *u)*a (ассоциативность) 

1*a=a (умножение на  единицу) 

Множество всех векторов пространства с введенными в нем  операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). 

В Векторной алгебре  важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a , b ,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство: 

a a+ b b+… g c=0. (1) 

Для линейной зависимости  двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости  трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a , b ,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов. 

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e 1 ,e 2 ,e 3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы: 

a=a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 . 

Числа a 1 ,a 2 ,a 3 называют координатами (компонентами) вектора  а в данном базисе и пишут a={a 1 ,a 2 ,a 3 } . 

Два вектора a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } ,b № 0, является пропорциональность их соответствующих координат: a 1 = l b 1 ,a 2 = l b 2 ,a 3 = l b 3 . Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 } , b={b 1 ,b 2 ,b 3 } и c={c 1 ,c 2 ,c 3 } является равенство : 

| a 1 a 2 a 3 | 

| b 1 b 2 b 3 | = 0 

| c 1 c 2 c 3 | 

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } равны суммам соответствующих координат: a+b={a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,a 3 +b 3 } . Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l : 

l а= { l а 1 , l a 2 , l a 3 }. 

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус  угла j между ними: 

(а, b) = | а |*| b | cos j . 

За j принимается  угол между векторами, не превосходящий p . Если а=0 или b=0 , то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами: 

(a, b)= (b, а) (коммутативность), 

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность  относительно сложения векторов), 

l (a,b)=( l a,b) =(a, l 6) (сочетательность  относительно умножения на число), 

(a,b)=0, лишь если  а=0 или (и) b=0 или a ^ b. 

Для вычисления скалярных  произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно  перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов : 

a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } 

заданных в ортонормированном  базисе, вычисляется по формуле:  
 
 

(a,b)=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3  
 
 

Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } 

может быть вычислен по формуле: 
 
 

где  и    

Косинусы углов  вектора a={a 1 ,a 2 ,a 3 } с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а: 

,  ,  .  
 
 

Направляющие косинусы обладают следующим свойством: 

cos 2 a +cos 2 b +cos 2 g =1 

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным  вектором е-ортом, задающим положительное  направление на прямой. Проекцией  Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е . Проекции обладают свойствами: 

Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b (аддитивность), 

Пр. е a = Пр. е l a (однородность). 

Каждая координата вектора в ортонормированном  базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса. 

В пространстве различают  правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с  называется правой, если наблюдателю  из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными. 

b b 
 
 
 
 

c c 

a a 

правило левой руки правило правой руки 

Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой . 

Пусть на плоскости  задано направление положительного вращения (от i к j ). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k : 

aVb=| a || b |*sin j 

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами: 

aVb=-bVa (антикоммутативность), 

aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность  относительно сложения векторов), 

l (aVb)= l aVb (сочетательность  относительно умножения на число), 

aVb=0, лишь если  а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны. 

Если в ортонормированном  базисе векторы а и и имеют  координаты {a 1 ,a 2 } {b 1 ,b 2 }, то : 

aVb=a 1 b 1 -a 2 b 2.