Векторная алгебра

1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы , найти координаты:

а) вершин C, B₁, C₁;

б) точек K и L – середин ребер A₁B₁ и CC₁ соответственно.

Решение:

а) Координаты вершин C, B₁, C₁;

Найдем координаты точек C, B₁, C₁ из разложения векторов по базисным векторам .

1. ,

координаты точки  ;

2. ,

координаты точки  ;

3. ,

координаты точки  ;

б) Координаты точек K и L – середин ребер A₁B₁ и CC₁ соответственно.

Найдем координаты точек K, L из разложения векторов по базисным векторам .

1. ,

координаты точки  ;

2. ,

координаты точки  ;

Ответ:         

 

2. Определить координаты точки M, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

Решение:

Пусть координаты точки M(x;y;z)

Тогда направляющие косинусы будут равны:

Так как углы с координатными осями равны, то направляющие косинусы также равны:

_{Модуль  радиус-вектора равен:}

_Тогда:

_{Получаем  систему уравнений, после решения которой найдем координаты точки M.}

_{Получаем  две точки, удовлетворяющие  заданным условиям:}

_Ответ:

 

3. Даны векторы   . Вычислить направляющие косинусы вектора

Решение:

Найдем координаты вектора  _:

_{Найдем  направляющие косинусы:}

_Ответ: 

 

4. . Вычислить:

а)

б)

_{Решение:}

_{а) Воспользуемся свойствами скалярного произведения и упростим выражение:}

_{Подставив данные из условия, получим:}

_{б) Воспользуемся свойствами векторного произведения и упростим выражение:}

Подставив данные из условия, получим:

_Ответ:

 

5. Найти скалярное  и векторное произведение векторов 

Решение:

Скалярное произведение:

_{Векторное произведение:}

_Ответ:

6. . Вычислить .

Решение:

Упростим выражение, используя свойства скалярного произведения:

_{Подставим данные из условия:}

_Ответ:

 

7. Показать, что  четырехугольник ABCD – ромб, если A(1;2;2), B(3;5;8),

 C(-3;2;6), D(-5;-1;0). Найти угол при вершине ромба.

Решение:

1) Проверим, что все точки лежат в одной плоскости. Для этого найдем смешанное произведение векторов

Смешанное произведение равно 0, значит векторы  компланарны, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

2) Проверим, что  длины всех сторон равны.

_{Получили, что все стороны  равны, значит ABCD – ромб.}

 

3) Найдем угол  при вершине A как угол между векторами _.

 

_Ответ:

 

8. Параллелограмм OBCA построен на векторах .

Точка M – середина стороны AC. Найти угол между OM и диагональю OC.

 

Решение:

Пусть N – середина OB. Тогда:

_Ответ:

 

9. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1;1;1), B(2;3;4), C(4;3;2).

Найдем площадь  треугольника, как половину длины векторного произведения векторов

 

_Ответ:

10. Убедиться, что векторы могут быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро .

1) Проверим, что  векторы  могут быть взяты за ребро куба,  т. е. проверим, что длины векторов равны и что векторы перпендикулярны:

_{Длины векторов равны и векторы перпендикулярны, значит они могут быть взяты за ребра куба.}

_{2) Найдем третье  ребро  .}

Для вектора  должны выполняться следующие условия:

 

 

_{Кроме этого, векторы  не должны лежать в одной плоскости, т.е. их смешанное произведение не равно 0.}

_{Получаем  систему уравнений  для координат  вектора  :}

_{Условие не компланарности проверим отдельно.}

  

        

 

 

_{Найдем  условие, при котором  векторы  не компланарны:}

_{Проверим выполняется ли это условие для найденных точек:}

_{Для найденных значений координат условие  не компланарности выполняется. Получаем два варианта вектора  :}

_Ответ:

11. Установить, образуют ли векторы  базис в пространстве всех векторов, если:

а)

б)

_{Решение.}

_а)

_{Чтобы проверить, образуют ли векторы базис, проверим, являются они линейно зависимыми или нет. Для этого составим векторное уравнение:}

_{Если  найдется такое решение, что не все x1, x2, x3 равны 0, то векторы будут линейно зависимы, иначе векторы линейно независимы и образуют базис.}

_{Найдем  решение уравнения  методом Гаусса. Для  этого составим матрицу системы и приведем ее к диагональному виду путем элементарных преобразований. При расчете правые части системы не записываются, так как они равны нулю и при элементарных преобразованиях  не изменяются.}

 

_{Поменяем  местами первую и  последнюю строки:}

_{Прибавим  к элементам 2-ой строки элементы 1-ой строки, умноженные на 3,}

_{Прибавим  к элементам 3-ей строки элементы 1-ой строки, умноженные на 2.}

_{Разделим  элементы 2-ой строки на 8, элементы 3-ей строки на 7:}

_{Вычтем  из элементов 3-ей строки элементы 2-ой строки:}

_{Получаем  решение системы:}

_{Если  взять x3=1, то решение системы будет:}

_{Нашлись x1, x2, x3 , не все равные 0, при которых выполняется равенство:}

 

_{Значит, векторы линейно зависимы, и не образуют базис.}

 

б)

_{Составим  уравнение:}

_{Составим  матрицу системы  и найдем ее решение методом Гаусса.}

_{Поменяем  местами первую и  последнюю строки:}

_{К элементам 2-ой строки прибавим элементы 1-ой строки, умноженные на 2. Из элементов 3-ей строки вычтем элементы 1-ой строки, умноженные на 3.}

_{Разделим  элементы второй строки на 5.}

_{К элементам 3-ей строки прибавим элементы 2-ой строки, умноженные на 4.}

_{Получаем  решение системы:}

_{Не  нашлось таких x1, x2, x3 , не равных 0, при которых выполняется равенство:}

 

_{Система векторов линейно  независима, векторы  образуют базис.}

_Ответ:

_{а) векторы  не образуют базис;}

_{б) векторы  образуют базис.}

 

_{12. Вычислить объем  тетраэдра с вершинами  в точках A(1;1;2), B(-1;1;3), C(2;-2;4), D(-1;0;2).}

 

_{Решение.}

_{Объем тетраэдра равен:}

_{Найдем  смешанное произведение векторов:}

_{Тогда объем тетраэдра  будет равен:}

 

_Ответ:

 

_{13. При каком значении  λ векторы будут компланарны:}

 

Решение.

Найдем смешанное произведение векторов :

 

Смешанное произведение равно 0 при любом значении λ.

Ответ:

Векторы компланарны  при любом значении λ.

 

14. Упростить  выражение 

_{Решение:}

Найдем векторные  произведения:

_{Упростим  выражение:}

_Ответ:

 

_{15. Даны три вектора  . Вычислить}

_.

_{Решение.}

_Ответ:

_{16. При каком значении  x четырехугольник с вершинами A(3;-1;2), B(1;x;-1), C(-1;1;-3), D(3;-5;3) является трапецией?}

 

_{Решение.}

Чтобы четырехугольник ABCD был трапецией, достаточно чтобы либо AB‖CD, либо AD‖BC. Найдем условия, при которых векторы, соответствующие сторонам трапеции, будут колинеарны.  При этом векторное произведение этих векторов будет равно 0.

1. AB‖CD

Найдем  такие значения x, при которых векторное произведение будет равно нулевому вектору. Для этого решим систему:

2. AD‖BC

Векторное произведение не будет равно нулевому вектору при любом значении x.

Ответ:

x=2

 

17. Найти вектор , удовлетворяющий условиям:

_{Решение.}

_{Пусть координаты вектора  :}

_{- Из первого условия:} 

_{- Из второго условия:}

_Ответ: