Случайные величины

Такой способ оценки точности обычно используется на производстве. Так, если нам нужно  изготовить в одном месте валик, а в другом — просверлить отверстие, в которое этот валик должен входить, то разность между измеренными значениями диаметров отверстия и валика должна не превосходить суммы максимальных ошибок измерений обоих диаметров  и величины минимального допустимого  зазора между рассматриваемыми деталями.

Однако  в более сложных случаях использование  такой характеристики сопряжено  с большими неудобствами, так как  приводит к очень грубым оценкам  точности. Покажем это для случая, когда ошибка ξ распределена по нормальному  закону с математическим ожиданием, а = 0и заданным стандартным отклонением σ, и определим, с какой вероятностью можно ожидать того, что модуль ошибки ξ не превзойдет некоторой величины Δ.

Из определения (1.5.1) функции распределения Fix) вытекает, что для любой непрерывной  случайной величины f следует

 

 

Отсюда, пользуясь выражением (1.5.7) для функции нормального распределения, находим, что при а = О справедливо

 

 

Далее, из выражения (1.5.8) для следует, что . Поэтому

Таким образом, вероятность того, что  зависит только от отношения к величине Δ к среднему квадратическому значению σ ошибки ξ.

В таблице 1.7.1 помещены вычисленные по формуле (1.7.3) значения в зависимости от величины

 при нормальном распределении  ошибок и а = 0.

 

Таблица 1.7.1. Зависимость вероятности от величины &=Δ/σ при нормальном (с а=0) и произвольном распределениях ошибок ξ

 

Из таблицы  видно, что при нормальном распределении  ошибок ξ величина быстро убывает с увеличением к. Так, при в среднем лишь в 3 случаях из 1000 можно ожидать того, что При это будет иметь место в 6 случаях из 100000, а при случаях из 10000 000! Таким образом, при вероятность близка к вероятности погибнуть в транспортной катастрофе на улицах города со многомиллионным населением в течение ближайших нескольких дней. Как известно, подобной вероятностью большинство людей в обыденной жизни пренебрегают!

Исходя  из приведенных выше соображений, на практике обычно пренебрегают редкой возможностью появления очень больших  ошибок ξ ив качестве максимального  значения Δ модуля ξ принимают  величину, для которой вероятность достаточно велика. Эту вероятность обычно называют надежностью принятого максимального значения Δ ошибки ξ и обозначают через . При этом возможны следующие два подхода к оценке точности рассматриваемой величины X:

задаются  некоторой надежностью (Δ), и в качестве характеристики точности используют соответствующее значение максимальной ошибки;

задаются  величиной Δ максимальной ошибки и характеризуют точность соответствующей  надежностью До сих пор мы исходили из допущения о нормальности распределения ошибок |. Если отказаться от этого допущения, то можно для определения зависимости #{Δ) воспользоваться известным неравенством Чебышева:

 

 

справедливым  при любом распределении ошибок ξ [7]. Здесь σ — стандартное  отклонение ξ, называемое обычно средней  квадратической ошибкой.

В последней  строке таблицы 1.7.1 приведены полученные при помощи этого неравенства  минимальные значения надежности #(Δ), соответствующие определенным образом  выбранному наихудшему с рассматриваемой  точки зрения распределению ошибок ξ. Из таблицы 'видно, что переход  от нормального распределения к. произвольному может существенно (на несколько порядков) ухудшить зависимость

Из зависимостей (1.7.3) и (1.7.4) видно, что как при нормальном, так и при произвольном распределении  величины ξ максимальная ошибка Δ  определяется выражением,

 

   где коэффициент к зависит от принятой надежности . Поэтому при решении прикладных задач в, качестве характеристики точности обычно используют среднюю квадратическую ошибку. При необходимости оценить соответствующее максимальное значение ошибки Δ пользуются равенством (1.7.5). При этом в большинстве задач полагают к = 3, что для нормального распределения ошибок соответствует надежности #(Δ) « 0,997.

При выводе зависимости (1.7.5) мы предполагаем, что  математическое ожидание ошибки

 

 

Если  это условие не выполняется, но величина известна, то можно всегда перейти к случаю справедливости равенства (1.7.6) путем замены измеренного значения X величиной w Действительно, ошибка этой величины , а математическое ожидание этой ошибки

Однако  во многих задачах точное значение неизвестно, а может быть указана лишь верхняя граница т его модуля, удовлетворяющая неравенству

 

 

В этом случае исключить влияние математического  ожидания ошибки не представляется возможным. Для учета этого влияния при  решении прикладных задач часто  прибегают к одному из следующих двух приемов:

Добавляют величину т к вычисляемой по формуле (1.7.5) максимальной ошибке и. определяют последнюю выражением

 

         Пользуясь зависимостью (1.6.8), находят максимальное значение Ртах математического ожидания квадрата ошибки ξ:

 

 

и определяют максимальную ошибку Δ по формуле, аналогичной  зависимости (1.7.5),

 

 

При этом в обоих случаях определение коэффициента к для заданной надежности #(Δ) производится описанным выше способом (для нормального и произвольного распределений ошибок).

Формулы (1.7.8) и (1.7.10) являются приближенными  и дают, вообще говоря, завышенное значение максимальной ошибки Δ при заданной ее надежности Я (или заниженное значение Я при заданном Δ); Точная зависимость между Я и Δ в рассматриваемых условиях для нормального и произвольного распределений ошибок ξ дана в [4].

Рассмотрим  в качестве примера задачу определения  некоторого параметра X, представляющего  собой сумму η величин При этом все Хг измеряются и находятся их измеренные значения Х{, по которым вычисляется соответствующая величина

Требуется охарактеризовать ошибку найденной величины в предположении, что все ошибки ξ = величин Х{ удовлетворяют неравенству

 

(1.7.11) где — заданное число»

 

Таким образом, мы нашли основные числовые характеристики ошибки ξ величины X. Постараемся  теперь от этих характеристик перейти  к ожидаемым максимальным значениям  этой ошибки. Для этого воспользуемся  центральной предельной теоремой теории вероятностей, согласно которой распределение  суммарной ошибки ξ при большем η близко к нормальному. Основываясь на этом, будем в дальнейшем полагать, что ошибка ξ приближенно распределена по нормальному закону. Из зависимостей следует, что основные параметры этого распределения

 

 

Пользуясь приведенными выше результатами и принимая к = 3, находим, что с надежностью  Η = 0,997 осуществляется неравенство

 

 

Из этой зависимости видно, что при большом  числе η можно с незначительным риском существенно уменьшить определяемое правой частью неравенства (1.7.13) значение максимума модуля ошибки . Так, при и = 100 оно уменьшается примерно в шесть раз.

Следует отметить, что переход от неравенства (1.7.13) к неравенству (1.7.17) обоснован  лишь при некоторых дополнительных допущениях об ошибках ξ<. Основными  из них являются:

симметричность  распределений величин |< относительно точки  приводящая к равенству нулю математических ожиданий этих ошибок;

взаимная  независимость ошибок ξ*, приводящая к их частичному взаимному исключению при суммировании по формуле (1.7.12).

Вопрос  о влиянии возможных отклонений от этих допущений при оценке точности решений аналогичных задач рассмотрен в следующей главе. При этом оказывается, что даже малые отклонения от принятых допущений могут при большом  числе η существенно ухудшить точность конечного результата. Таким  образом, здесь, как и всюду в  мире, ничего не дается само собой: для  существенного уменьшения максимального  значения ошибки ξ нужны дополнительные сведения об ошибках.

 

Список литературы

 

1. Измерительная информация: сколько  ее нужно? Как ее обрабатывать? Эльясберг П.Е.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.—208 с,