Системы счисления

Содержание 

 

1. Введение 
2. История развития числа
3. Системы нумерации некоторых народов
4. Основные понятия и определения
5. Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

       На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

       Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе («семь раз отмерь – один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед – один ответ» и т.д.).

       С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами, как инструментами счета: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т.п. Такой вид счета носит название унарной системы счисления, т.е. система счисления, в которой для записи числа применяется только один вид знаков. Это удобно, так как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые эти знаки обозначают. Все мы ходили в первый класс и считали там на счетных палочках – это отзвук той далекой эпохи. Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, разделенная на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio» (отсюда наше слово «калькуляция»); а происходит оно от слова «calculus», означающего «камешек».

         Особо важную роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.

Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились  на основе числа 10 – по количеству пальцев  на руках; у некоторых народов  возникали также названия чисел  на основе числа 5 – по количеству пальцев  на одной руке или на основе числа 20 – по количеству пальцев на руках  и ногах.

На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее  дошли до сотни. У многих народов  число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно  большого количества. В русском языке  слово «сороконожка» имеет смысл  «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее  всякое воображение.

На следующей ступени  счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для  числа 100. Вместе с тем слово «сто»  приобретает смысл неопределенно  большого числа. Такой же смысл приобретают  потом последовательно числа  тысяча, десять тысяч (в старину это  число называлось «тьма»), миллион.

На современном этапе  границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает какое либо конкретное число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

История развития числа

 

          При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число; делить ее на доли не нужно, а часто и невозможно (при счете камней прибавление к двум камням половины третьего дает три камня, а не два с половиной). Однако делить единицу на доли приходится уже при грубых измерениях величин, например при измерении длины шагами (два с половиной шага и т.д.). Поэтому уже в отдаленные эпохи создалось понятие дробного числа.

Так, в вавилонской системе  мер веса (и денег) 1 талант составлял 60 мин, а одна мина – 60 шекелей. Соответственно с этим в вавилонской математике широко употреблялись шестидесятиричные дроби. В древнеримской весовой (и денежной) системе 1 асс делился на 12 унций; сообразно с этим римляне пользовались двенадцатиричными дробями.

Наши «обыкновенные дроби» широко употреблялись древними греками  и индийцами. Правила действий с  дробями, изложенные индийским ученым Брамагуптой (VIII век н.э.), лишь немногим отличаются от наших. Наша запись дробей тоже совпадает с индийской; только дробной черты индийцы не писали; греки записывали сверху знаменатель, а снизу числитель.

Индийской обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в IX веке в мусульманских странах благодаря узбекскому ученому Мухаммеду Хорземскому (аль-Хваризми). Они были перенесены в Западную Европу итальянским купцом и ученым Леонардо Фибоначчи из Пизы (XIII век).

Наряду с «обыкновенными»  дробями до XVII века применялись (преимущественно в астрономии) шестидесятиричные дроби. Они были вытеснены десятичными дробями, введенными голландским купцом и выдающимся инженером-ученым Симоном Стевином (1548 - 1620).

В дальнейшем оказалось необходимым  еще больше расширить понятие  числа; последовательно появились  числа иррациональные, отрицательные  и комплексные.

 Довольно поздно к  семье чисел присоединился нуль. Первоначально слово «нуль» означало  отсутствие числа (буквальный  смысл латинского слова nullum – «ничто»). Для того чтобы это «ничто» считать числом, появились основания лишь в связи с рассмотрением отрицательных чисел.

 

 

 

 

 

Системы нумерации некоторых  народов 

Древнегреческая нумерация

 

   В древнейшее время в Греции была распространена т.н. аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками , , , . Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» – пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались , , , . Число 10 обозначалось (начальной буквой слова «дека»  – десять). Числа 100, 1000 и 10000 обозначались , , . Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000. Общую запись чисел в аттической нумерации иллюстрирует пример 1.1.

 

Пример. Запись чисел в аттической системе счисления

 

	,
	,
	,
	.

 

В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена так  называемой ионийской системой. В  ней числа 1 – 9 обозначались первыми  девятью буквами алфавита; числа 10, 20, 30, … , 90 – следующими девятью  буквами; числа 100, 200, … , 900 – последними девятью буквами.

 

 

Славянская нумерация

 

Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у  русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в  греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный  значок:   («титло»).

 

Таблица 1.Обозначение чисел  в древнеславянской системе нумерации

 

Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Название	Значе-ние	Обозна-чение	Назва-ние	Значе-ние
	Аз	1		И	10		Рцы	100
	Веди	2		Како	20		Слово	200
	Глаголь	3		Люди	30		Твердо	300
	Добро	4		Мыслите	40		Ук	400
	Есть	5		Наш	50		Ферт	500
	Зело	6		Кси	60		Хер	600
	Земля	7		Он	70		Пси	700
	Иже	8		Покой	80		Омега	800
	Фита	9		Червь	90		Цы	900

 

В России славянская нумерация  сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация», которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. В таблице 1.2 приведены славянские цифры.

При записи чисел, больших 10, цифры писались слева направо  в порядке убывания десятичных разрядов (однако иногда для чисел от 11 до 19 единицы записывались ранее десяти). Для обозначения тысяч перед  числом их  (слева внизу) ставился особый знак .

Пример 1.3 иллюстрирует написание  чисел в славянской системе нумерации.

 

Римская нумерация

 

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется  до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных  дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или  строф стихотворения.

В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: , , , , , , .

В римской нумерации явственно  сказываются следы пятиричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятиричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (предположительно у этрусков).

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных  цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз. Рассмотрим примеры.

 

 

 

Основные понятия и  определения

 

Выше мы говорили о системах счисления, не вдаваясь в подробности  этого понятия. Каково же научное  определение системы счисления?

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

В зависимости от способа  изображения чисел с помощью  цифр системы счисления делятся  на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах любое число определяется как  некоторая функция от численных  значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных  системах счисления соответствуют  некоторым фиксированным числам.  Пример непозиционной системы –  рассмотренная ранее римская  система счисления. Дpевние египтяне пpименяли систему счисления, состоящую  из набоpа символов, изобpажавших pаспpостpаненные  пpедметы быта. Совокупность этих символов обозначала число. Расположение  их  в числе не имело значения, отсюда и появилось название.

Исторически первыми системами  счисления были именно непозиционные  системы. Одним из основных недостатков  является трудность записи больших  чисел. Запись больших чисел в  таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно  велик.

В вычислительной технике  непозиционные системы не применяются.

Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра  может принимать различные численные  значения в зависимости от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих заданное число. Пример такой системы – арабская десятичная система счисления.

Количества и количественные составляющие, существующие реально  могут отображаться различными способами. В общем случае в позиционной  системе счисления число N  может быть представлено как:

, где:             (2.1)

 – основание системы счисления (целое положительное число, равное числу цифр в данной системе);

 –  любые цифры из  интервала от нуля до  .

Основание позиционной системы  счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются  двоичная, восьмеричная, десятичная и  шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно указать используемую систему счисления, будем заключать число в скобки и в нижнем индексе указывать основание системы счисления.

  

 

        Непозиционная система счисления — система, в которой, значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. Они использовались в древности римлянами, египтянами, славянами и другими народами. Примером непозиционной системы счисления, дошедшей до наших дней, служит римская система счисления.

        Цифры в римской системе обозначаются различными знаками: 1—I; 3—III; 5—V; 10—X; 50—L; 100—C; 500—D; 1000—M. Для записи промежуточных значений существует правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а слева — вычитается из него. Так, IV обозначает 4, VI—6, LX— 60, XC—90 и т.д. Основной недостаток непозиционных систем — большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

        Позиционная система счисления — система, в которой значение символа зависит от его места в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 7382 первая цифра слева означает количество тысяч, вторая — количество сотен, третья — количество десятков и четвёртая количество единиц. Позиционные системы счисления (ПСС) более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили более широкое распространение. Позиционная система счисления характеризуется основанием.