Система диференціальних рівнянь з внутрішньою точкою звороту

В.О. Болілий, канд. фіз.-мат. наук, доцент.

І.О. Зеленська, аспірант.

Кіровоградський державний педагогічний університет імені В. Винниченка

 

СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ  РІВНЯНЬ З ВНУТРІШНЬОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ

Сучасні асимптотичні методи розв’язування систем сингулярно збурених диференціальних рівнянь (ССЗДР) є найбільш придатними для вирішення нагальних проблем інженерії, теоретичної та прикладної фізики і математики. Дослідження, що проводились для систем диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту показали, що вони потребують більш детального вивчення [1-3].

Мета даної роботи побудувати рівномірно придатну асимптотику розв’язку ССЗДР для випадку внутрішньої диференціальної точки звороту.

Будемо досліджувати наступну систему диференціальних рівнянь:

.                                  (1)

Тут – шукана вектор-функція, – задана вектор-функція, – відома матриця, де

,                  .

Систему рівнянь (1) будемо досліджувати за умов, що

                                 (2)

Вироджене рівняння:

.                                         (3)

Коренями характеристичного рівняння є

1. Регуляризація системи сингулярно збурених рівнянь

Для побудови рівномірної асимптотики  розв’язку системи рівнянь, згідно з методом регуляризації введемо додатково нову змінну , де регуляризуюча функція задовольняє задачі

,           ,                  (1.1)

тобто

Функція має такі властивості:

1. .
2. монотонно спадає на заданому відрізку.
3. і .

Для визначення “розширеної” вектор-функції одержимо наступне “розширене” векторне рівняння:

.       (1.2)

Асимптотику розв’язку векторного рівняння (1.2) шукаємо у вигляді

,                                      (1.3)

, ,

за умови, що , де – функції Ейрі-Лангера, де , s – – аналітичні вектор-функції відносно малого параметра і нескінчено диференційовані за змінною , які необхідно визначити. Істотно особлива функція є розв’язком такої задачі: ,      ,       .

Вивчивши дію розширеного оператора на функцію , отримаємо такі векторні рівняння ( ):

(1.4)

2. Побудова формальних розв’язків  однорідної розширеної системи

Оскільки система рівнянь (1.4) регулярно збурена, то її розв’язок шукаємо у вигляді вектор-функцій

Для визначення та отримаємо наступні рекурентні системи рівнянь:

.                        (2.1)

,

.               (2.2)

Обчислимо визначник цієї системи:

.

Врахувавши явний вигляд регуляризуючої функції  (1.1), бачимо, що визначник матриці (2.2) дорівнює нулю, тобто . Тоді існує нетривіальний розв’язок однорідної системи (1.4) вигляду

,                   (2.3)

де  , – до певного часу довільні, досить гладкі функції коли .

Продовжуючи далі розв’язувати ітераційні системи алгебраїчних рівнянь коли , можна показати, що ці системи рівнянь асимптотично коректні в такому розумінні. Якщо вимагати існування розв’язків систем рівнянь коли , то кожна з цих систем коли і фіксованому визначається з точністю до двох довільних скалярних множників і , які утворюють довільний вектор .

3. Побудова формальних  частинних розв’язків неоднорідної  розширеної системи

Частинний розв’язок шукаємо у вигляді вектор-функцій

.                      (3.1)

Для визначення компонентів вектор-функцій та отримаємо наступні рекурентні системи рівнянь:

,                                  (3.2)

За аналогією з дослідженням, проведеним в [2]

,                    (3.3)

де  , – до певного часу довільні, досить гладкі функції при .

Розв’язок виродженого рівняння (3)

Теорема. Нехай  та виконуються умови (2). Тоді на відрізку можна побудувати загальний розв’язок сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь (1) у вигляді асимптотичного ряду (1.3), коефіцієнти якого є досить гладкі функції на відрізку .

 

Література

1. Бобочко В.М., Перестюк М.О. Асимптотичне інтегрування рівняння Ліувілля з точками звороту. – Київ: Наукова думка. 2002. – 310 с.
2. Бобочко В.М., Зеленська І.О. Система диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. – 2007. вип. № 8. С. 40-47.
3. Бобочко В.М., Болілий В.О. Внутрішня псевдодиференціальна точка звороту в диференціальному рівнянні типу Орра-Зоммерфельда // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. Київ, 2002. вип. № 1. С. 89-96.