Шпаргалка по "Математике"

КК  сходимости ЧР:

// Если ряд сходится, то

Признак Абеля:

Признак Дирихле:

Ряд a_nb_n сходится, если:

По определению  полагают:

Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба  ряюа сходятся, а равенство б) –  если, сверх того, по меньшей мере один из этих рядов сходится абсолютно.

Признак Абеля: Ряд

сходится  равномерно на X, если: 1) Ряд a_n сх. равн. на X; 2) функции b_n(x) ограничены в совокупности и "x образуют монотонную последовательность.

Признак Дирихле: Ряд (1) сходится равномерно на множестве X, если: 1) Част. суммы a_n(x) (n=1,…,N) в совокупности ограничены; 2) посл-ть b_n(x) (n=1,2,…) монотонна "x и равномерно на X стремится к нулю при n®µ.

Th:{f_t; tÎT}, f_t: X® C; B-база в T. Если f_t сх.равн. к f на X при базе B и функции f_t непрерывны в точке x₀ÎX, то функция f: X® C тоже непрерывна в этой точке.

Следствие 1: Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве.

Следствие 2: Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.

Th: {f_t , tÎT}, f_t:[a,b]®C; B-база T; Если функции семейства интегрируемы на [a,b] и f_t сх. равн. к f на [a,b] при базе B, то предельная функция f:[a,b]®C тоже интегрируема на отрезке [a,b] и

Следствие: Если ряд из интегрируемых на [a,b] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a,b],

Th: Степенной ряд

сходится  в круге K={zÎC | | z – z₀ | < R}, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара:

Вне этого  круга ряд расходится. На любом  замкнутом круге, лежащем строго внутри круга K сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.

Th: Если круг KÎC сходимости ст. ряда

не сводится к единственной точке z=z₀ , то внутри K сумма f(z) этого ряда дифференцируема, причем

Кроме того, f(z):K®C можно интегрировать по любому гладкому пути g:[0,1]®K, и если

то

Аналитическая в точке a ф-я f (x) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд

Остаточный  член в форме Лагранжа:

в форме Коши:

Основные  разложения:

Совокупность  A вещественно (комплексно)-значных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной) алгеброй функций на X, если из f,gÎA и aÎR(C) следует, что

Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K, то A является всюду плотным подмножеством простанства C(K,R).

Если  f ÎC([a,b],C), то $ {P_n; nÎN} многочленов P_n:[a,b]®C, что P_n сх. равн. к f на [a,b]. При этом, если fÎC([a,b],R), то и многочлены P_n можно выбрать из C([a.b],R).

Непрерывность: P={(x,y)ÎR²| xÎ[a,b], yÎ[c,d]}. Если функция f :P®R непрерывна, то ф-я

непрерывна в  любой точке yÎ[c,d].

Дифференцирование: Если на прямоугольнике P функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y, то интеграл ­ принадлежит к классу C⁽¹⁾([c,d], R), причем

Пусть f(x,y), g(x,y) интегрируемы по x на любом отрезке [a,b]Ì[a,w]  "yÎY.

Если "xÎ[a,w], "yÎY  | f(x,y)| ≤ g(x,y), а интеграл

сходится равномерно на Y, то интеграл

сходится абсолютно "y и равномерно на мн-ве Y.

Th: Пусть f(x,y) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на xÎ[a,w), и пусть B_Y -база в Y.

Следствие: Пусть "yÎYÌR вещ. ф-я f(x,y) неотрицательна и непрерывна на xÎ[a,w). Если с ростом y ф-ции f(x,y), монотонно возрастая, стр. к j(x), jÎC([a,w],R) и

то справедливо  равенство (*).

Th: Если

а) ф-ции f(x,y), f’_y(x,y) непрерывны на {(x,y)ÎR²| xÎ[a,w), yÎ[c,d]},

b) интеграл

c) интеграл

то он сх. равн. на Y; при этом ф-я F(y) оказывается дифференцируемой и

Если  f(x,y) непрерывна на {(x,y)ÎR²| xÎ[a,w), yÎ[c,d]} и интеграл

то ф-я  F интегрируема на [c,d] и

Если  X – Л.П. со скал. пр-ем < , >, а {l_k}–ортог. система ненулевых векторов в X, то любому в. x можно сопоставить ряд Фурье:

Экстремальное свойство: "yÎL ||x–x_l||≤||x–y||. Равенство возможно только при y=x_l.

Неравенство Бесселя:

Равенство Парсеваля:

Линейное  нормированное пр-во наз. гильбертовым, если оно полно и имеет бесконечную размерность.

Систему экспонент{e^inx; nÎN} называют триг. сист. в комплексной записи. Она явл. ортогон. с. в-в пр-ва R([-p,p], C) отн. скал. пр-ния в-в.

Сопоставляемый  ф. f триг.ряд

наз. триг.рядом Фурье ф-ции f.

Th:(ТРФ)"fÎR([-p,p],C)сх.к f в средн.,т.е.f=ТРФ,

Если  локально интегрируемая ф-я f:[w₁,w₂]®R абсолютно интегрируема (хотя бы в несоб смысле), на промежутке [w₁,w₂], то

Гов., что  f:U₀®C, заданная в проколотой окр-ти точки xÎR, удовлетворяет усл. Дини, если

а) в  т. x $ оба односторонних предела

б) сходится абсолютно следующий интеграл:

Th: f:R®C – 2p-периодич.ф-я, абс.инт-я на [-p,p]. Если f удовл. в т. xÎR условиям Дини, то её ряд Фурье сходится в точке x, причем

_____________

называется  нормиров.преобр. Фурье ф-ции f:R®C.

называется  интегралом Фурье ф-ции f.

Свойства: 1. Линейность преобразования Фурье.

2. Th: f:R®C – абс. инт-мая ф-я, кусочно непрерывная на каждом конечном отрезке числ. Оси R. Если ф-я f удовл. Усл. Дини в xÎR, то её òФурье сх. в этой точке к значению ½(f (x_-)+f (x₊)). 

f: R®C – лок. инт. на Rⁿ ф-ция. Функция

называется  преобр. Фурье функции f.

Многомерное пр-е Фурье можно рассматривать как n одномерных преобразований Фурье, проведенных по каждой из переменных x₁,…,x_n. 

Оператор, определяемый равенством

называется  обратным преорбазованием Фурье.

Формула обращения преобразования Фурье:

или в форме  интеграла Фурье

_________________________

Сумму условно сходящегося ряда путем  перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу.

Условно сходищимся наз. ряд a_n , если ряд a_n сходится, а ряд |a_n| -расходится.(n=1,2,…)

сходится (вообще гов. не абсолютно), если

В этом случае для  остатка ряда

имеем оценку

Признак сравнения  II:

Первая  Теорема Абеля: Если степенной ряд

сх. в  концевой точке x=R интервала сход-ти, то

Вторая  Теорема Абеля: Если степенной ряд

сходится  в некоторой точке zÎС, то он сходится равномерно на отрезке с концами z₀ ,z.

Th:{f_t , tÎT}–семейство f_t: X®C, определенных на выпуклом ограниченном мн-ве X ; B-база T. Если функции семейства дифференцируемы на X, семейство {f_t’, tÎT} производных сх. равн. на X к некоторой ф-ции j:X®C, а исходное семейство сх. хотя бы в одной точке x₀Î X, то оно сх. равн. на всем мн-ве X к дифференцируемой функции f:X®C, причем f’=j.

Если  последовательность непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная. 

Следствие: Если члены ряда a_n(x) (n=1,2,…) суть неотрицательные непрерывные на компакте K функции a_n: K®R и ряд сходится на K к непрерывной функции. То он сходится на K равномерно.

Th: {F_t ; tÎT }, F_t: X® C; B_X – база в X, B_T– база в T. Если при базе B_T cем-во сх. равн. на X к F: X®C, а "t $

то $ оба повторных предела

и имеет место  равенство этих пределов.

u₁(x)+…+u_n(x)+… сходится абсолютно и равномерно на множестве X, если существует сходящийся числовой ряд   c₁+c₂+…+c_n+…

такой, что

Интеграл, зависящий от параметра, – это  ф-я вида

Если "t ò явл. собственным, то F есть собственный интеграл, зав. от параметра.

Th: Если ф-я f : P®R непрерывна в прямоугольнике P={(x,y)ÎR²| xÎ[a,b], yÎ[c,d]}, то интеграл

интегрируем на отрезке [c,d] и имеет место рав-во

Если  комплексная алгебра A функций f :X®C не вырождается на X и разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры A можно утверждать, что она плотна в C(X,C).

Нормированная алгебра называется Банаховой, если она является нормированным линейным пространством, полным относительно метрики, порожденной нормой (B-пространством).

Подмн-во пространства C(K,Y) наз. всюду плотным, если функциями, составляющими это мн-во, можно со сколь угодно малой абсолютной погрешностью аппроксимировать любую непрерывную функцию f :K®Y.

где

Или

Если  а) ф-я f(x,y) непрерывна на {(x,y)ÎR²| xÎ[a,w), yÎ[c,d]}, b) интеграл

то ф-я F(y) непрерывна на [c,d].

Th: Пусть f(x,y), g(x,y) "yÎY интегрируемы по x на любом отрезке [a,b]Ì[a,w]. Для равн.сх. интеграла

на мн-ве Y достаточно:

Говорят, что  несобственный интеграл

зав. от пар. yÎY, сх. равн. на мн-ве EÌY, если

КК: Чтобы несоб. ò (1) сходился равномерно на множестве EÌY  Û

D_n называется ядром Дирихле. Ядро Дирихле 2p-периодично, четно, и, кроме того,

а) Если ф-я f(x) четная, то

б) если ф-я f(x) нечетная, то

Ряд Фурье в комплексной форме:

Th (О сх-ти в среднем): "f(x)ÎR([-p,p],C)

Линейное  нормированное пр-во бесконечной  размерности наз. предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем.

Система в-в наз. {e_k; kÎK} ортонормированной, если " i,jÎK  < e_i ,e_j >=d_i,j, где d_i,j – символ Кронекера

Система {x_a; aÎA} в-в нормир.пр-ва X наз. полной по отношению к мн-ву EÌ X, если "xÎE можно сколь угодно точно в смысле нормы пр-ва X приблизить конечными лин. комб-ми в-в системы.

 В конечномерном  пр-ве X полнота в X сист.в-в, как следует из сообр. компактности и непрер-ти, равносильна тому, что эта сист. явл. базисом в X.

Th: X– лин.пр-во со скал. пр-ем < , >; l₁,…,l_n,…– кон. или счет.сист.¹0 вз. ортогон.в-в X. Þ Эквив:

a){l_k} полна по отн. к EÌ X;b)"xÎEÌ X им.место

L₂ – пополнение (S,d), d – метрика сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Rⁿ.

S(Rⁿ,C) – сов-ть всех ф-ций fÎC^(∞)(Rⁿ,C), удовлетворяющих условию

такие ф-ции наз. быстро убывающими. 

Если fÎS, то

Более того,

- Ф-лы, связывающие операции свертки  и умножения функций посредством пр.Фурье.

f : R®C – 2p-периодическая абс. инт-мая на [-p,p] ф-я. Тогда

a) если на EÌ R   f равномерно непрерывна, то

b) если fÎC(R,C), то

c) если f непрерывна в xÎR, то

__________________________________________

Th: Если f:[-p,p]®C такова, что а) fÎC^(m-1)[-p,p], mÎN; b) f ^(j)(-p)=f ^(j)(p), j=0,1,…m–1; c) f имеет на [-p,p] непрерывную производную f ^(m) порядка m>=1,

то ряд  Фурье ф-й f сх. к f абсолютно и равномерно на отрезке [-p,p], причем отклонение n-й частичной суммы S_n(x) ряда Фурье от f(x) на всем отрезке [-p,p] имеет оценку

где {e_n}–стремящаяся к нулю посл-ть положительных чисел.